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平面解析几何二 圆 教师版

平面解析几何(二)圆
1、圆的方程:
2 ⑴圆的标准方程: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 。 a ? 5 2 2

2 ⑵ 圆 的 一 般 方 程 : x2 ? y 2 ? Dx? Ey? F? D+ E- 4F ? 0) 特 别 提 醒 : 只 有 当 , 0( 2

D2+E 2-4F ? 0 时,方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 才表示圆心为 (?

D E , ? ) ,半径为 2 2

1 D 2 ? E 2 ? 4 F 的圆(二元二次方程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要 2
条件是什么? ( A ? C ? 0, 且 B ? 0 且 D ? E ? 4 AF ? 0 ); )
2 2

⑶圆的参数方程:

?xy ? ab ? rr cos?? ? ? sin

( ? 为参数) ,其中圆心为 ( a, b) ,半径为 r 。圆的参数方

程的主要应用是三角换元:

x2 ? y 2 ? r 2 ? x ? r cos? , y ? r sin ?
x2 ? y 2 ? t ? x ? r cos? , y ? r sin ? (0 ? r ? t ) 。



【练习】若 x, y ? R ,且 3x2 ? 2 y 2 ? 6 ,则 x ? y 的最大值是____, x 2 ? y 2 的最小值是__ ⑷ A ? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 为直径端点的圆方程 【练习】 (1)圆 C 与圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 关于直线 y ? ? x 对称,则圆 C 的方程为_____ (2)(2)圆心在直线 2 x ? y ? 3 上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ (3)已知 P(?1, 3) 是圆

?xy ? rr cos?? ? sin

( ? 为参数, 0 ? ? ? 2? ) 上的点,则圆的普通方程

为________,P 点对应的 ? 值为_____,过 P 点的圆的切线方程是____
2 2 (4)(4)直线 l 将圆:x +y -2x-4y=0 平分,且不过第四象限, l 的斜率的取值范围是 _ 2 2

(5)方程 x +y -x+y+k=0 表示一个圆,则实数 k 的取值范围为____ (6)若 M ? {( x, y ) |

?xy ? 3cos?? ? 3sin

( ? 为参数, 0 ? ? ? ? )} , N ? ?( x, y) | y ? x ? b? 若

M ? N ? ? ,则 b 的取值范围是_________
(7)方程 x( x ? y ? 4) ? 0与x ? ( x ? y ? 4) ? 0 表示的曲线是(
2 2 2 2 2 2



A. 都表示一条直线和一个圆 C. 都表示两个点

B. 前者是一条直线或一个圆,后者是两个点 D. 前者是两个点,后者是一直线和一个圆

(8)方程 y=- 25 ? x2 表示的曲线是 A、一条射线 B、一个圆 C、两条射线 D、半个圆

(

)

(9)方程 ?x ? y ? 1? x 2 ? y 2 ? 4 ? 0 所表示的图形是 A.一条直线及一个圆 B.两个点 C.一条射线及一个圆
2 2





D.两条射线及一个圆

2、点与圆的位置关系:已知点 M ? x0 , y0 ? 及圆 C: ? x-a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ? r ? 0 ? ,
2 (1)点 M 在圆 C 外 ? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r ; 2 2 2 (2)点 M 在圆 C 内 ? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r ; 2 2 2 (3)点 M 在圆 C 上 ? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 。 2 2

练习: 1、点 P(5a+1,12a)在圆(x-1) +y =1 的内部,则 a 的取值范围是______
2 3、直线与圆的位置关系:直线 l : Ax ? By ? C ? 0 和圆 C:x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ? 2 2
2 2

(1)代数方法(判断直线 ? r ? 0? 有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断: 与圆方程联立所得方程组的解的情况) ? ? 0 ? 相交; ? ? 0 ? 相离; ? ? 0 ? 相切; : (2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小) :设圆心到直线的距离为 d ,则

d ? r ? 相交; d ? r ? 相离; d ? r ? 相切。
提醒:判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。 练习:
2 2 (1)圆 2 x ? 2 y ? 1与直线 x sin ? ? y ? 1 ? 0(? ? R, ? ?

?
2

? k? ,k ? z ) 的位置关系为_

(2)若直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x ? y ? 4 x ?1 ? 0 切于点 P(?1, 2) ,则 ab 的值____
2 2 2 2 (3)直线 x ? 2 y ? 0 被曲线 x ? y ? 6x ? 2 y ?15 ? 0 所截得的弦长等于

(4)一束光线从点 A(-1,1)出发经 x 轴反射到圆 C:(x-2) +(y-3) =1 上的最短路程是 (5)已知 M (a, b)(ab ? 0) 是圆 O : x ? y ? r 内一点, 现有以 M 为中点的弦所在直线 m
2 2 2

2

2

和直线 l : ax ? by ? r ,则
2

A. m // l 且 l 与圆相交 B. l ? m 且 l 与圆相交 C. m // l ,且 l 与圆相离 D. l ? m ,且 l 与 圆相离; (6)已知圆 C: x ? ( y ? 1) ? 5 ,直线 L: mx ? y ? 1 ? m ? 0 。①求证:对 m ? R ,直线
2 2

L 与圆 C 总有两个不同的交点;②设 L 与圆 C 交于 A、B 两点,若 AB ? 17 ,求 L 的倾斜 角;③求直线 L 中,截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. (答:② 60 或 120 长: y ? 1 ,最短: x ? 1 ) 4、圆与圆的位置关系(用两圆的圆心距与半径之间的关系判断) :已知两圆的圆心分别为 (2)当 |O O 2 ?? 1 ?2r O1,O2 ,半径分别为 r1 , r2 ,则(1)当 |O 1 2 ?? 1 ? 2r 时,两圆外离; O r r 1 时,两圆外切; (3)当 r ? r2 <|O1O2 ?? r1 ? r2 时,两圆相交; (4)当 |O1O2 ??? r1 ? r2 | 时, 1 两圆内切; (5)当 0 ? |O1O2 ??? r ? r2 | 时,两圆内含。 1
?

?

③最

如双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线右支上任意一点,则分别以 a 2 b2

线段 PF1、A1A2 为直径的两圆位置关系为 5、圆的切线与弦长: (1)切线:①过圆 x2 ? y 2 ? R2 上一点 P( x0 , y0 ) 圆的切线方程是: xx0 ? yy0 ? R2 ,过圆

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2







P( x0 , y0 )







线









( x ? a)( x0 ? a) ? ( y ? a)( y0 ? a) ? R2 ,一般地,如何求圆的切线方程?(抓住圆心到直线的
距离等于半径) ;②从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条 件,运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求;③过两切点的直线(即“切点 弦” )方程的求法:先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆,该圆与已知圆的公共弦 就 是 过 两 切 点 的 直 线 方 程 ; ③ 切 线 长 : 过 圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

( ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2 ) 外 一 点 P( x0 , y0 ) 所 引 圆 的 切 线 的 长 为
2 2 x0 2 ? y0 2 ? Dx0 ? Ey0 ? F ( ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? R 2 ) ;如设 A 为圆 ( x ? 1) ? y ? 1上动

点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则 P 点的轨迹方程为_________ (2)弦长问题:①圆的弦长的计算:常用弦心距 d ,弦长一半
2 2

1 a 及圆的半径 r 所构成的 2

直角三角形来解: r ? d ? ( a ) ;②过两圆 C1 : f ( x, y) ? 0 、C2 : g ( x, y) ? 0 交点的圆(公
2

1 2

共弦)系为 f ( x, y) ? ? g ( x, y) ? 0 ,当 ? ? ?1 时,方程 f ( x, y) ? ? g ( x, y) ? 0 为两圆公共弦所 在直线方程.。 练习:

1.求圆心在直线 2 x ? y ? 3 上,且与两坐标轴相切的圆的方程 2.求过点 A(2, 4) 向圆 x 2 ? y 2 ? 4 所引的切线方程 3.圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为( A.x ? 3 y ? 2 ? 0 B.x ? 3 y ? 4 ? 0 ) .

.

C.x ? 3 y ? 4 ? 0

D.x ? 3 y ? 2 ? 0

4.已知圆 C 的半径为 2 ,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为(
2 2


2 2 2 2 2 2

A x ? y ? 2x ? 3 ? 0 B x ? y ? 4 x ? 0 C x ? y ? 2x ? 3 ? 0 D.x ? y ? 4 x ? 0
2 2 5.若直线 x ? y ? 2 被圆 ( x ? a) ? y ? 4 所截得的弦长为 2 2 ,则实数 a 的值为(



A. ?1 或 3

B. 1 或 3

C. ?2 或 6

D. 0 或 4 )

2 2 6.若 P(2, ? 1) 为圆 ( x ? 1) ? y ? 25的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是(

A. x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0
2

C. x ? y ? 1 ? 0
2

D. 2 x ? y ? 5 ? 0

7. 直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 9 交于 E , F 两点, ? EOF ( O 是原点) 则 的面积为( )

3 A. 2

3 B. 4

C. 2 5

6 5 D. 5

8.求圆心在直线 3x-y=0 上, x 轴相切, 与 且被直线 x ? y ? 0 截得的弦长为 2 7 的圆的方 程。

高二直线与圆单元测试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题意要求的。 1、曲线 C : f ( x, y) ? 0 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称的曲线 C 的方程为
'





A、 f ( y ? 2, x) ? 0

B、 f ( x ? 2, y) ? 0

C、 f ( y ? 2, y) ? 0

D、 f ( y ? 2, x ? 2) ? 0 ( )

2、直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x 2 ? y 2 ? 4 所得的劣弧所对的圆心角为 A、

? 6

B、

? 4

C、

? 3

D、

? 2
( )

3、如果 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 ,那么 x ? 2 y 的最大值是 A、10 B、8 C、

3 2

D、

5 2
( )

4、 与点 P(1,?1) 相距为 5, 且到 Y 轴的距离等于 4 的点的个数是 A、2 B、3 C、4 D、0

5 、 设 集 合 M ? {( x, y) / x 2 ? y 2 ? 4}, N ? {( x, y) /( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? r 2 (r ? 0)} 当

M ? N ? N 时, r 的取值范围是
A、 [0, 2 ? 1] B、 [0,1] C、 (0,2 ? 2 ] D、 (0,2)





6、在 ?ABC 中,三内角 A, B, C 所对的边是 a, b, c 且 lg sin A, lg sin B, lg sin C 成等差数列, 那么直线 x sin A ? y sin A ? a 与直线 x sin B ? y sin C ? c 的位置关系是 (
2 2



A、平行

B、重合

C、垂直

D、相交但不垂直

7、若关于 x 的方程 4 ? x 2 ? k ( x ? 2) ? 3 ? 0 有且只有两个不同的实数根,则实数 k 的取 值范围是 A、 ( ( B、 ( )

5 3 , ] 12 4

5 ,1] 12

C、 (0,

5 ] 12

D、 [

5 ,?? ) 12

2 2 8、已知圆 ( x ? 3) ? y ? 4 和直线 y ? mx 的交点分别为 P 、 Q 两点, O 为坐标原点,则

OP. OQ 的值为
A、 1 ? m
2

( B、

)

5 1? m2

C、5
2 2

D、10

9、若直线 mx ? 2ny ? 4 ? 0 ( m、n? R)始终平分圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的周长,则 mn 的取值范 围是 A、 (0,1) B、 (0,1] C、 (-∞,1) ( D、 (-∞,1] )

10、设△ABC 的一个顶点是 A(3,-1) ,∠B,∠C 的平分线方程分别是 x=0,y=x,则直

线 BC 的方程是 A.y=2x+5 B.y=2x+3 C.y=3x+5

( D. y ? ?



x 5 ? 2 2

11、设集合 A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边长},则 A 所表示的平面区域(不含边 界的阴影部分)是 ( )

12、在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且 包括边界)内,目标函数 z ? 2 x ? ay 取得最 大值的最优解有无数个,则 a 为 A.-2 B.2 ( ) C.-6 D.6

二、填写题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题卡相应位置。 13、已知θ∈R,则直线 x sin? ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是___________ 14、 已知直线 ax+by+c=0 与圆 O: 2+y2=1 相交于 A、 两点, x B 且|AB|= 3 , OA? OB 则 = .

15、已知两圆 ( x ? 1)2 ? ( y ?1)2 ? r 2 和 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? R2 相交于 P,Q 两点.若 P 点的坐标 为(1,2) ,则 Q 点的坐标为 .

16、当 ? 2 ? x ? 2 时,要使动直线 y ? kx ? 3k ? 1 的点都在横轴的上方(不包括横轴) ,则 实数 k 的范围为__________________ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分)自点(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射线 所在直线与圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,求光线 L 所在直线方程.

18、(本小题满分 12 分)某工厂的一个车间生产某种产品,其成本为每公斤 27 元,售价为 每公斤 50 元。在生产产品的同时,每公斤产品产生出 0.3 立方米的污水,污水有两种排放方 式:其一是输送到污水处理厂,经处理(假设污水处理率为 85%)后排入河流;其二是直接排入河 流.若污水处理厂每小时最大处理能力是 0.9 立方米污水,处理成本是每立方米污水 5 元;环保 部门对排入河流的污水收费标准是每立方米污水 17.6 元,根据环保要求该车间每小时最多允 许排入河流中的污水是 0.225 立方米.试问:该车间应选择怎样的生产与排污方案,才能使其净 收益最大.

19、 (本小题满分 12 分)已知 x2+y2=9 的内接△ABC 中,A 点的坐标是(-3,0) ,重心 G 的坐标是 ( ?

1 ,?1) ,求: (1)直线 BC 的方程; (2)弦 BC 的长度. 2

20、 (本小题满分 12 分)已知曲线 C:x2+y2-2x-4y+m=0 (1)当 m 为何值时,曲线 C 表示圆; (2)若曲线 C 与直线 x+2y-4=0 交于 M、N 两点,且 OM⊥ON(O 为坐标原点),求 m 的值。

21、 (本小题满分 12 分) 已知圆 M: 2+2y2-8x-8y-1=0 和直线 l: 2x x+y-9=0 过直线 上 一点 A 作△ABC,使∠BAC=45°,AB 过圆心 M,且 B,C 在圆 M 上。 ⑴当 A 的横坐标为 4 时,求直线 AC 的方程; ⑵求点 A 的横坐标的取值范围。

22、 (本小题满分 14 分)已知圆(x+4)2+y2=25 的圆心为 M1,圆(x-4)2+y2=1 的圆心为 M2, 一动圆与这两个圆都外切. (1)求动圆圆心 P 的轨迹方程; (2)若过点 M2 的直线与(1)中所求轨迹有两个交点 A、B,求|AM1|·|BM1|的取值范 围.


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