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2011-2012学年上海市吴淞中学高二上学期期末考试数学试题

上海市吴淞中学 2011-2012 学年高二上学期期末考试 数学试题
(满分 150 分,考试时间 120 分钟) 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题 共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分。 1.若向量 a ? (?1,2) , b ? (2,1) ,则 2a ? b 等于 .5 条.4

2.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,与直线 AD1 异面,且与 AD1 所成角为 60 ? 的面对角线共有 3.增广矩阵为 ? ?

?1 1 3 ? ?x ? 2 ? 的线性方程组的解为________________. ? ? ?1 ? 1 1 ? ?y ? 1

1 2 3 1 3 4.行列式 4 5 6 中元素 8 的代数余子式为______________. ? =6 4 6 7 8 9
5.已知| a |= 4 ,| b |= 2 , a 与 b 的夹角为
n

?

?

?

?

? ? ? ,则 b 在 a 上的投影为_____________.1 3

6.已知极限 lim (1 ? x ) 存在,则实数 x 的取值范围是____________. (?2,0]
n??

7.球的表面积为 16? cm ,则球的体积为___________ cm .
2
3

32? 3

8. 已 知 e1 , e2 是 两 个 不 共 线 的平 面 向 量 , 向 量 a ? 2e1 ? e2 , b ? e1 ? ?e2 (? ? R) , 若 a // b , 则 ? = _____________. ?

1 2
.

9.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 4, an?1 ? 3an ? 4 ,则数列 ?an ? 的前 n 项和 S n =

an ? 2 ? 3n?1 ? 2, S n ? 3n ? 1 ? 2n
10.若取地球的半径为 6371 米,球面上两点 A 位于东经 121 27? ,北纬 31 8? , B 位于东经 121 27? ,北
0
0

0

0 纬 25 5? ,则 A 、 B 两点的球面距离为_____________千米(结果精确到 1 千米). 673

1 1 1 ? ? ??? ? a a2 an n ?1 11.已知正数数列 ?an ?( n ? N ? ) 定义其“调和均数倒数” Vn ? 1 ( n? N? ) , 那么当 Vn ? n 2

时, a2012 =_______________.

1 2012

12.如图,由编号 1 , 2 ,…, n ,…( n ? N* 且 n ≥ 3 )的圆柱自下而上组成.其中每一个圆柱的高与其 底面圆的直径相等,且对于任意两个相邻圆柱,上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半.若编号 1 的圆柱的

… … 高为 4 ,则所有圆柱的体积的和为____________(结果保留 ? ) .

n

128π 7

3
2

13.若 {an } 是等差数列, m, n, p 是互不相等的正整数,有正确的结论:

(m ? n)ap ? (n ? p)am ? ( p ? m)an ? 0 ,类比上述性质,相应地,若等比数列
m, n, p 是互不相等的正整数,有_________. b p
m?n

{bn }
1



? bm

n? p

? bn

p ?m

?1

14.如图 1,一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰 盛有 a 升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点 P.如果将容器倒置,水面也恰好 (图 2).有下列四个命题: A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半; B.将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点 P ; C. 任意摆放该容器, 当水面静止时, 水面都恰好经过点 P ; D.若往容器内再注入 a 升水,则容器恰好能装满. 其中真命题的代号是: ___________________(写出所有 的代号) .B,D

第 12 题

块, 容器内 过 点 P

P P

图 1
第 14 题

图 2

真命题

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题 有且只 有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得 零分。 15.用一个平面去截正方体,所得截面不可能是 ( D A.平面六边形 B.菱形 C.梯形 ) D.直角三角形 )

16.如图, P 为正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的中心,△ PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( C
D1 A1 P D A B C B1 C1

(1)

(2)

(3)

(4)

A.(1)、(2)、(3)、(4) B.(1)、(3) C.(1)、(4) D.(2)、(4) 17.给出下列命题:(1)三点确定一个平面;(2)在空间中,过直线外一点只能 作一条直线与该直线平行; (3)若平面 ? 上有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? ; (4)若直线 a, b, c 满足 a ? b, a ? c 则

b // c .其中正确命题的个数是 ( B ) A. 0 B. 1 C. 2 18.点 O 在 ?ABC 所在平面内,给出下列关系式:
(1) OA ? OB ? OC ? 0 ; (2) OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ;

D. 3

? ? ? ? ? AC AB ? ? BC BA ? ? ? OB ? ? ? ?0; (3) OA ? ? ? AC AB ? ? ? BC BA ? ? ? ? ? ?

(4) (OA ? OB) ? AB ? (OB ? OC) ? BC ? 0 . 则点 O 依次为 ?ABC 的 ( C ) A.内心、外心、重心、垂心 B.重心、外 心、内心、垂心 C.重心、垂心、内心、外心 D.外心、内 心、垂心、重心 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各 题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。 19.(本题满分 12 分) 用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器,如图,已知该圆锥的母线 与底面所在平面的夹角为 45 ,容器的高为 10 cm .制作该容器 需要多少面积的铁皮?该容器的容积又是多少 ?(衔接部分忽略 不计,结果精确到 0.1cm ) 解:由已知得该容器的底面半径 r ? 10 ,母线 h / ? 10 2, 其侧面积 S侧 ? ?rh / ? 100 2? ? 444 .3(cm2 ) ; 其体积 V ?
2
0

1 2 1000? ?r h ? ? 1047 .2(cm 3 ) 3 3
2

答 : 该 容 器 需 要 铁 皮 的 面 积 约 是 444.3cm , 该 容 器 的 容 积 约 是

1047.2cm3 .
20.(本题满分 14 分) (文科同学做)已知 ABCD ? A1B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱,高 AA 1 ? 2 .求: ⑴ 异面直线 BD 与 AB1 所成的角的大小(结果用反三角函数表示) ; ⑵ 四面体 AB1D1C 的体积. 解:⑴ 连 BD, AB1 , B1D1 , AD1 ,∵

BD // B1D1 , AB1 ? AD1 ,

∴ 异面直线 BD 与 AB1 所成角为 ?AB1D1 ,记 ?AB1D1 ? ? ,

AB12 ? B1D12 ? AD12 10 cos ? ? ? 2 AB1 ? B1D1 10
∴ 异面直线 BD 与 AB1 所成角为 arccos

10 . 10

⑵ 连 AC, CB1 , CD1 ,则所求四面体的体积

1 2 V ? VABCD ? A1B1C1D1 ? 4 ? VC ? B1C1D1 ? 2 ? 4 ? ? . 3 3
20.(理科同学做)已知 ABCD ? A1B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱, O1 是 AC 1 1和B 1D 1 的交点. ⑴设 AB1 与底面 A1B1C1D1 所成的角的大小为 ? , 二面角 A ? B1D1 ? A 1 的大小为 ? ,试确定 tan ? 与 t an ? 的一个等量关系,并给出证明; ⑵若点 C 到平面 AB1D1 的距离为 的高. 解:设正四棱柱的高为 h . ⑴ 连 AO1 , AA1 ? 底面 A1B1C1D1 于 A 1 ,∴ AB1 与底面 A 1B 1C1 D 1所 成的角为 ?AB1 A 1 ,即 ?AB 1A 1 ?? . ∵ AB1 ? AD1 , O1 为 B1D1 中点,∴ AO1 ? B1D1 ,又 AO 1 1 ?B 1D 1, ∴ ?AO1 A1 是二面角 A ? B1D1 ? A 1 的平面角,即 ?AO 1A 1 ??. ∴
B
B1 A1 O1 C1 D1 B A D

C

4 ,求正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 3

A C

D

AA1 AA1 tan ? ? ? h , tan ? ? ? 2h ? 2 tan ? . A1B1 A1O1
建 立 如 图 空 间 直 角 坐 标 系 , 有
B

z A

A1 B1
C D

D1 O1 C1



A(0,0, h), B1 (1,0,0), D1 (0,1,0), C(1,1, h)
A1

AB 1 ? (1,0, ?h), AD 1 ? (0,1, ?h), AC ? (1,1,0)
设平面 AB1D1 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) , ∵ ?

B1 x

O1

D1 C1

y

? n ? AB1 ?

? n ? AB1 ? 0 ? ?? ,取 z ? 1 得 n ? (h, h,1) n ? AD n ? AD ? 0 ? ? ? 1 ? 1
点 C 到平面 AB1D1 的距离为 d ?



| n ? AC | h?h?0 4 ? ? ,则 h ? 2 . |n| h2 ? h2 ? 1 3

21.(本题满分 14 分) 已知向量 m ? (a x , ? a), n ? (a x , a) ,其中 a ? 0 且 a ? 1 , (1)当 x 为何值时, m ? n ; (2)解关于 x 的不等式

m?n ? m?n .

22. (本题满分 16 分) 如 图 , 在 四 棱 锥

P ? ABCD









ABCD













AB ? 3, AD ? 2, PA ? 2, PD ? 2 2, ?PAB ? 60? .
(1)证明 AD ? 平面 PAB ; (2)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; (3)求二面角 P ? BD ? A 的大小. 解:(1)证明:在 ?PAD 中,由题设 PA ? 2, PD ? 2 2 可得

PA 2 ? AD 2 ? PD 2 于是 AD ? PA . 在矩形 ABCD 中, AD ? AB .
又 PA ? AB ? A , 所以 AD ? 平面 PAB . (2)解:由题设, BC // AD ,所以 ?PCB (或其补角)是异面直线 PC 与 AD 所成的角. 在 ?PAB 中,由余弦定理得

PB ? PA2 ? AB2 ? 2PA? AB? cos PAB ? 7
由(1)知 AD ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB , 所以 AD ? PB , 因而 BC ? PB , 于是 ?PBC 是直角三角形, 故

tan PCB ?

PB 7 . ? BC 2 7 . 2

所以异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小为 arctan

23.(本题满分 18 分)
2 各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,满足 2(S n ? 1) ? an ? a n (n ? N * ) .

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 b1 ? 2, bn?1 ? 2bn (n ? N * ) ,数列 {cn } 满足

?a n , n ? 2k ? 1, 数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn , 求 Tn ; cn ? ? (k ? N * ) , b , n ? 2 k , ? n
(3) 若数列 Pn ?

n2 ? 24n(n ? N * ) , 甲同学利用第 (2) 问中的 Tn , 4

试图确定 T2k ? P2k (k ? N * ) 的值是否可以等于 2011?为此,他设 计了一个程序 (如图) , 但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个 “死循环” (即程序会永远循环下去,而无法结束) ,你是否同意乙 同学的观点?请说明理由.
2 解: (1) n ? 1,2(S1 ? 1) ? a1 ? a1 ? a1 ? 2 ,

2 2 n ? 2 , 2(S n ? 1) ? an ? an , 2(S n?1 ? 1) ? an ?1 ? an?1 ,

两式相减,得 2an ? an ? an?1 ? an ? an?1 ,? an ? 0,? an ? an?1 ? 1 ,
2 2

{an } 为等差数列,首项为 2,公差为 1,? an ? n ? 1 .
(2) {bn } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,?bn ? 2
n

微信公众号:上海试卷

?d4 ? d6 ? d8 ? d10 ? 2011 ? d12 ? d14 ? ?dn ? 2011,即Tn ? P n ? 2011(n为偶数)

, 且d2 ? 2011

? 乙同学的观点正确.


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