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2017-2018学年高中数学第二章参数方程一3参数方程和普通方程的互化教学案新人教A版选修4_4

3.参数方程和普通方程的互化 [对应学生用书P20] 参数方程和普通方程的互化 (1)将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线类型,曲线的参数方程和普通方 程是曲线方程的不同形式,一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x,y 的取值范围保持一致. [对应学生用书P20] 把曲线的普通方程化为参数方程 [例 1] 根据所给条件,把曲线的普通方程化为参数方程. (1) 2 x- 3 2 + y- 5 2 =1,x= 3cos θ +1.(θ 为参数) (2)x -y+x-1=0,x=t+1.(t 为参数) [解] (1)将 x= 3cos θ +1 代入 x- 3 2 + y- 5 2 =1 得:y=2+ 5sin θ . ∴? ?x= 3cos θ +1, ?y= 5sin θ +2. (θ 为参数) 这就是所求的参数方程. (2)将 x=t+1 代入 x -y+x-1=0 得: 2 y=x2+x-1=(t+1)2+t+1-1 =t +3t+1 ∴? ? ?x=t+1, ?y=t +3t+1. ? 2 2 (t 为参数) 这就是所求的参数方程. 普通方程化为参数方程时,①选取参数后,要特别注意参数的取值范围,它将决定参数 1 方程是否与普通方程等价.②参数的选取不同,得到的参数方程是不同的.如本例(2),若 令 x=tan θ (θ 为参数),则参数方程为? (θ 为参数). ? ?x=tan θ , ?y=tan θ +tan θ -1 ? 2 1.求 xy=1 满足下列条件的参数方程: (1)x=t(t≠0);(2)x=tan θ (θ ≠ kπ 2 ,k∈Z). 解:(1)将 x=t 代入 xy=1 得:t·y=1, 1 ∵t≠0,∴y= , t x=t, ? ? ∴? 1 y= ? ? t (t 为参数,t≠0). 1 (2)将 x=tan θ 代入 xy=1 得:y= . tan θ x=tan θ , ? ? ∴? 1 y= ? tan θ ? (θ 为参数,θ ≠ kπ 2 ,k∈Z). 将参数方程化为普通方程 [例 2] 将下列参数方程化为普通方程: (1)? ?x= t+1, ?y=1-2 t (t 为参数).(2)? ? ?x=5cos θ ?y=4sin θ -1 ? (θ 为参数). [思路点拨] (1)可采用代入法,由 x= t+1 解出 t代入 y 表达式. (2)采用三角恒等变换求解. [解] (1)由 x= t+1≥1,有 t=x-1,代入 y=1-2 t, 得 y=-2x+3(x≥1),这是以(1,1)为端点的一条射线. 2 ? ?x=5cos θ (2)由? ?y=4sin θ -1 ? x ? ?cos θ =5 得? y+1 ? ?sin θ = 4 2 ① , ② ① +② 得 + 25 2 2 x2 y+ 16 =1. 消去参数的方法一般有三种: (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式,然后代入消去参数; (2)利用三角恒等式消去参数; (3)根据参数方程本身的结构特征,选用一些灵活的方法从整体上消去参数. 将参数方程化为普通方程时, 要注意防止变量 x 和 y 取值范围的扩大或缩小, 必须根据 参数的取值范围,确定函数 f(t)和 g(t)的值域,即 x 和 y 的取值范围. 1 ? ?x=t+ , t 2.方程? ? ?y=2 A.一条直线 C.一条线段 表示的曲线是( ) B.两条射线 D.抛物线的一部分 1 解析:t>0 时 x=t+ ≥2 t 1 1 当 t<0,x=t+ =-(-t+ )≤-2. t -t 即曲线方程为 y=2(|x|≥2),表示两条射线. 答案:B 3.把参数方程? ? ?x=sin θ -cos θ , ?y=sin 2θ ? (θ 为参数)化成普通方程是________. 2 解析:将 x=sin θ -cos θ 两边平方得 x =1-sin 2θ , 即 sin 2θ =1-x ,代入 y=sin 2θ ,得 y=-x +1. π 又 x=sin θ -cos θ = 2sin(θ - ),∴- 2≤x≤ 2, 4 2 2 3 故普通方程为 y=-x +1(- 2≤x≤ 2). 答案:y=-x +1(- 2≤x≤ 2) 2 2 [对应学生用书P21] 一、选择题 ?x=2+sin θ , ? 1.将参数方程? 2 ?y=sin θ ? 2 (θ 为参数)化为普通方程为( B.y=x+2 D.y=x+2(0≤y≤1) ) A.y=x-2 C.y=x-2(2≤x≤3) 解析:代入法,将方程化为 y=x-2,但 x∈[2,3],y∈[0,1],故选 C. 答案:C 2.参数方程? A.直线 C.线段 2 2 ?x=cos θ , ? ? ?y=sin θ 2 2 (θ 为参数)表示的曲线是( B.圆 D.射线 ) 解析:x=cos θ ∈[0,1],y=sin θ ∈[0,1], ∴x+y=1,(x∈[0,1])为线段. 答案:C 3.能化为普通方程 x +y-1=0 的参数方程为( A.? ?x=sin ? 2 2 ) t ? ?y=cos t B.? ?x=tan φ ? ? ?y=1-tan φ ?x=cos θ ? ? ?y=sin 2θ 2 2 2 C.? ?x= 1-t ?y=t 2 D.? 解析:对 A,可化为 x +y=1(y∈[0,1]);对 B,可化为 x +y-1=0;对 C,可化为 x +y-1=0(x≥0);对 D,可化为 y =4x -4x .(x∈[-1,1]). 答案:B 4.(北京高考)曲线? A.在直线 y=2x 上 ? ?x=-1+cos θ , ?y=2+s

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