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(北京专用)2018年高考数学总复习专题06数列分项练习理

专题 06 数列
1.【2006 高考北京理第 7 题】设 f (n) ? 2 ? 24 ? 27 ? 210 ? 于( )

? 23n?10 (n ? N ) ,则 f (n) 等

2 n (8 ? 1) 7 2 n ?3 (C) (8 ? 1) 7
(A) 【答案】D

2 n ?1 (8 ? 1) 7 2 n?4 (D) (8 ? 1) 7
(B)

【解析】依题意, f ( n) 为首项为 2,公比为 8 的前 n+4 项求和,根据等比数列的求和公式 可得 D 2.【2008 高考北京理第 6 题】已知数列 ?an ? 对任意的 p,q ? N* 满足 a p?q ? a p ? aq ,且

a2 ? ?6 ,那么 a10 等于(
A. ?165 【答案】C B. ?33

) C. ?30 D. ?21

考点:数列 3.【2010 高考北京理第 2 题】在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则

m 等于 (
A.9 B.10 【答案】C 【解析】

) C.11 D.12

5 试题分析:a1=1,am=a1a2a3a4a5= a 5 3 = a 1 q =a1q =a11,∴m=11.
10 10

考点:等比数列的通项公式. 4. 【2014 高考北京理第 5 题】设 {an } 是公比为 q 的等比数列,则“ q ? 1 ”是“ {an } 为递 增数列”的( ) B.必要而不充分条件

A.充分而不必要条件

1

C.充分必要条件 【答案】D 【解析】

D.既不充分也不必要条件

试题分析:对等比数列 {a n } ,若 q ? 1 ,则当 a1 ? 0 时数列 {a n } 是递减数列;若数列 {a n } 是 递增数列,则 {a n } 满足 a1 ? 0 且 0 ? q ? 1 ,故当“ q ? 1 ”是”数列 {a n } 为递增数列的既不 充分也不必要条件.故选 C. 考点:等比数列的性质,充分条件与必要条件的判定,容易题. 5. 【2015 高考北京,理 6】设 ?an ? 是等差数列. 下列结论中正确的是( A.若 a1 ? a2 ? 0 ,则 a2 ? a3 ? 0 C.若 0 ? a1 ? a2 ,则 a2 ? a1a3 【答案】C 【解析】先分析四个答案支,A 举一反例 a1 ? 2,a2 ? ?1,a3 ? ?4 , a1 ? a2 ? 0 而
a2 ? a3 ? 0 ,A 错误,B 举同样反例 a1 ? 2,a2 ? ?1,a3 ? ?4 , a1 ? a3 ? 0 ,而 a1 ? a2 ? 0 ,



B.若 a1 ? a3 ? 0 ,则 a1 ? a2 ? 0 D.若 a1 ? 0 ,则 ? a2 ? a1 ? ? a2 ? a3 ? ? 0

B 错误,下面针对 C 进行研究, ?an ? 是等差数列,若 0 ? a1 ? a2 ,则 a1 ? 0,设公差为 d , 则 d ? 0 ,数列各项均为正,由于 则 a22 ? a1a5 ? (a1 ? d )2 ? a1(a1 ? 2d ) ? a12 ? 2ad ? d 2 ? a12 ? 2ad ? d 2 ? 0, 1 1

? a1 ? aa ,选 C. a12 ?a a 13 13
考点定位:本题考点为等差数列及作差比较法,以等差数列为载体,考查不等关系问题,重 点是对知识本质的考查. 6. 【2007 高考北京理第 10 题】若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ?10n(n ? 1 , 2, 3, ) ,则此 数列的通项公式为 【答案】 an ? 2n ? 11;3 ;数列 ?nan ? 中数值最小的项是第 项.

2

【考点】数列的通项公式, an 与 Sn 的关系 7. 【2008 高考北京理第 14 题】某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植 树方案如下:第 k 棵树种植在点 P k ( xk,yk ) 处,其中 x1 ? 1 , y1 ? 1 ,当 k ≥ 2 时,

? ? ? k ?1 ? ? k ? 2 ?? ? xk ? xk ?1 ? 1 ? 5 ?T ? ? ?T ? ??, ? ? 5 ?? ? ? 5 ? ? ? y ? y ? T ? k ? 1 ? ? T ? k ? 2 ?. k k ?1 ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? ?
T (a) 表示非负实数 a 的整数部分,例如 T (2.6) ? 2 , T (0.2) ? 0 .
按此方案,第 6 棵树种植点的坐标应为 为 . (3, 402) ;第 2008 棵树种植点的坐标应

【答案】(1,2)

考点:数列的通项 8. 【2009 高考北京理第 14 题】 已知数列 {an } 满足:a4n?3 ? 1, a4n?1 ? 0, a2n ? an , n ? N? , 则

a2009 ? ________; a2014 =_________.
【答案】1,0 【解析】 试题分析:依题意,得 a2009 ? a4?503?3 ? 1 , a2014 ? a2?1007 ? a1007 ? a4?252?1 ? 0 . ∴应填 1, 0.

3

考点:周期数列等基础知识. 9. 【2011 高考北京理第 11 题】在等比数列 {an } 中,若 a1 ?

1 , a4 ? ?4 ,则公比 2

q ? ________; | a1 | ? | a2 | ?
【答案】 ?2

? | an |? ________.

2n ?1 ?

1 2

1 1 , a4 ? ?4, 所以 ?4 ? q 3 ? q ? ?2 , 2 2 1 1 {| an |} 是以 为首项,以 2 为公比的等比数列, | a1 | ? | a2 | ? ? | an |? 2n ?1 ? 。 2 2 1 10. 【2012 高考北京理第 10 题】已知 {an } 等差数列 Sn 为其前 n 项和。若 a1 ? ,S2 ? a3 , 2
【解析】由 ?an ? 是等比数列得 a4 ? a1q3 ,又 a1 ? 则 a2 =_______。 【答案】 a2 ? 1 , Sn ? 【解析】 试题分析:因为 S2 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a1 ? d ? a1 ? 2d ? d ? a1 ? 所以 a2 ? a1 ? d ? 1, S n ? na1 ? n(n ? 1)d ? 考点:等差数列的通项公式,前 n 项和. 11. 【2013 高考北京理第 10 题】若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q= __________;前 n 项和 Sn=__________. 【答案】2 2
n+1

1 2 1 n ? n 4 4 1 , 2

1 2 1 n ? n。 4 4

-2

考点:等比数列的通项公式,前 n 项和. 12.【2014 高考北京理第 12 题】 若等差数列 {an } 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0, a7 ? a10 ? 0 , 则当 n ? 时, {an } 的前 n 项和最大.

4

【答案】 8 【解析】 试题分析:由等差数列的性质, a7 ? a8 ? a9 ? 3a8 , a8 ? 0 ,又因为 a7 ? a10 ? 0 ,所以

a8 ? a9 ? 0
所以 a9 ? 0 ,所以 S8 ? S7 , S8 ? S9 ,故数列 {a n } 的前 8 项最大. 考点:等差数列的性质,前 n 项和的最值,容易题. 13.【2017 高考北京理第 10 题】若等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 满足 a1=b1=–1,a4=b4=8, 则

a2 =___________. b2

【答案】1 【解析】 试题分析:设等差数列的公差和等比数列的公比分别为 d 和 q ,则 ?1 ? 3d ? ?q3 ? 8 ,求 得 q ? ?2, d ? 3 ,那么

a2 ?1 ? 3 ? ?1. b2 2

【考点】等差数列和等比数列 【名师点睛】 等差、 等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程, 利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组)问题,因 此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种 行之有效的方法. 14. 【2005 高考北京理第 19 题】 (本小题共 12 分)

1 设数列 {a n }的首项a1 ? a ? , 且a n ?1 4
1 bn ? a 2 n ?1 ? , n ? 1,2,3,?. 4

?1 a , ? ?2 n ?? ?a ? 1 , n ? 4 ?

n为偶数,


n为奇数.

(Ⅰ)求 a2,a3; (Ⅱ)判断数列 {bn } 是否为等比数列,并证明你的结论; (Ⅲ)求 lim(b1 ? b2 ? ? ? bn ).
n ??

5

【答案】

(II)

1 1 3 1 1 3 ? a ? ,所以 a5 ? a4 ? a ? . 4 2 8 2 4 16 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 b1 ? b1 ? a1 ? ? a ? ? 0, b2 ? a3 ? ? (a ? ), b3 ? a5 ? ? (a ? ). 4 4 4 2 4 4 4 4 1 猜想: {bn } 是公比为 的等比数列. 2
因为 a4 ? a3 ? 证明如下: 因为

bn ?1 ? a2 n ?1 ?

1 4 1 1    ? a2 n ? 2 4   
1 1 1    ? (a2 n ?1 ? ) ? 2 4 4 1 1    ? (a2 n ?1 ? ) 2 4 1    ? bn , (n ? N * ) 2

1 1 ,公比为 的等比数列. 4 2 1 b1 (1 ? n ) 2 ? b1 ? 2(a ? 1 ). (III) lim(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? lim x ?? x ?? 1 1 4 1? 1? 2 2
所以 {bn } 是首项为 a ? 15. 【2006 高考北京理第 20 题】 (本小题共 14 分) 在数列 {an } 中,若 a1 , a2 是正整数,且 an ?| an?1 ? an?2 |, n ? 3, 4,5, 差数列”. ,则称 {an } 为“绝对

6

(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列” (只要求写出前十项) ; (Ⅱ)若“绝对差数列” {an } 中, a20 ? 3, a21 ? 0 ,数列 {bn } 满足 bn ? an ? an?1 ? an?2 ,

n ? 1, 2,3,

,分别判断当 n ?? 时,an 与 bn 的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;

(Ⅲ)证明:任何 “绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项. 【答案】

即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3,0,3. 所以当 n ?? 时, an 的极限 不存在. 当 n ? 20 时, bn ? an ? an?1 ? an?2 ? 6 ,所以 lim bn ? 6
n ??

(Ⅲ)证明:根据定义,数列 ?an ? 必在有限项后出现零项.证明如下 假设 ?an ? 中没有零项,由于 an ? an ?1 ? an ? 2 ,所以对于任意的 n,都有 an ? 1 ,从而 当 an?1 ? an?2 时, an ? an?1 ? an?2 ? an?1 ?1(n ? 3) ; 当 an?1 ? an?2 时, an ? an?2 ? an?1 ? an?2 ?1(n ? 3) 即 an 的值要么比 an ?1 至少小 1,要么比 an?2 至少小 1. 令 Cn ? ?

?a2 n?1 (a2 n?1 ? a2 n ), n ? 1, 2,3, ???, ?a2 n (a2 n?1 ? a2 n ),

则 0 ? CA ? Cn?1 ?1(n ? 2,3, 4, ???). 由于 C1 是确定的正整数, 这样减少下去, 必然存在某项 C1 ? 0 , 这与 Cn ? 0 ( n ? 1, 2,3, ???, ) 矛盾. 从而 ?an ? 必有零项. 若第一次出现的零项为第 n 项,记 an?1 ? A( A ? 0) ,则自第 n 项开始,每三个相邻的项周 期地取值 0, A ,

A, 即

7

?an ?3k ? 0, ? ?an ?3k ?1 ? A, k ? 0,1, 2,3, ???, ?a ? n ?3k ? 2 ? A,
所以绝对差数列 ?an ? 中有无穷多个为零的项. 16. 【2007 高考北京理第 15 题】 (本小题共 13 分)数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn

, 2, 3, ) ( c 是常数, n ? 1 ,且 a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列.
(I)求 c 的值; (II)求 ?an ? 的通项公式.

所以 an ? a1 ? ? ?1 ? 2 ? ... ? ? n ? 1? ? ?c ?

n ? n ? 1? c, 2
2

又 a1 ? 2, c ? 2 ,故 an ? 2 ? n ? n ?1? ? n ? n ? 2 ? n ? 2,3...? , 当 n ? 1 时,上式也成立,所以 an ? n ? n ? 2 ? n ? 1,2...? .
2

【考点】等比数列的定义,等差数列的求和,叠加法求数列的通项. 17. 【2009 高考北京理第 20 题】 (本小题共 13 分) 已知数集 A ? ?a1, a2 ,

an ??1 ? a1 ? a2 ?
aj ai

an , n ? 2? 具有性质 P ;对任意的

i, j ?1 ? i ? j ? n? , ai a j 与

两数中至少有一个属于 A .

(Ⅰ)分别判断数集 ?1,3, 4? 与 ?1,2,3,6? 是否具有性质 P ,并说明理由; (Ⅱ)证明: a1 ? 1 ,且

a1 ? a2 ? ? an ? an ; ?1 ?1 a1?1 ? a2 ? ? an

(Ⅲ)证明:当 n ? 5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等比数列.

8

(Ⅱ)∵ A ? ?a1 , a2 , 由于 1 ? a1 ? a2 ? 从而 1 ?

an ? 具有性质 P,∴ an an 与

an 中至少有一个属于 A, an

? an ,∴ an an ? an ,故 an an ? A .

an ? A ,∴ a1 ? 1 . an

∵ 1 ? a1 ? a2 ?

? an , ∴ ak an ? an ,故 ak an ? A? k ? 2,3,
an ? A ? k ? 1, 2,3, ak an an ? , a2 a1 an a ? an?1 , n ? an , a2 a1 an an ? ? a1 ? a2 ? a2 a1 ? an?1 ? an , , n? .

, n? .

由 A 具有性质 P 可知

又∵

an a ? n ? an an ?1

?



an a ? 1, n ? a2 , an an?1 an a ? n ? an an?1 ?

从而



a1 ? a2 ? ? an ? an . ?1 ?1 a1?1 ? a2 ? ? an a5 a 2 , ? a2 , 5 ? a3 ,即 a5 ? a2a4 ? a3 a4 a3

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 n ? 5 时,有 ∵ 1 ? a1 ? a2 ?

? a5 ,∴ a3a4 ? a2a4 ? a5 ,∴ a3a4 ? A ,
a4 ? A. a3

由 A 具有性质 P 可知

由 a2a4 ? a3 ,得
2

a3 a4 a a a ? ? A ,且 1 ? 3 ? a2 ,∴ 4 ? 3 ? a2 , a2 a2 a3 a3 a2

9



a5 a4 a3 a2 ? ? ? ? a2 ,即 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是首项为 1,公比为 a2 成等比数列.. a4 a3 a2 a1

18. 【2013 高考北京理第 20 题】(本小题共 13 分)已知{an}是由非负整数组成的无穷数列, 该数列前 n 项的最大值记为 An,第 n 项之后各项 an+1,an+2,…的最小值记为 Bn,dn=An-Bn. (1)若{an}为 2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为 4 的数列(即对任意 n∈N ,an+4=an),写 出 d1,d2,d3,d4 的值; (2)设 d 是非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3,…)的充分必要条件为{an}是公差为 d 的等 差数列; (3)证明:若 a1=2,dn=1(n=1,2,3,…),则{an}的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为 1.
*

所以 An=Bn+dn≤Bn. 又因为 an≤An,an+1≥Bn,所以 an≤an+1. 于是,An=an,Bn=an+1, 因此 an+1-an=Bn-An=-dn=d, 即{an}是公差为 d 的等差数列. (3)因为 a1=2,d1=1, 所以 A1=a1=2,B1=A1-d1=1. 故对任意 n≥1,an≥B1=1. 假设{an}(n≥2)中存在大于 2 的项. 设 m 为满足 am>2 的最小正整数, 则 m≥2,并且对任意 1≤k<m,ak≤2. 又因为 a1=2,所以 Am-1=2,且 Am=am>2. 于是,Bm=Am-dm>2-1=1,Bm-1=min{am,Bm}≥2. 故 dm-1=Am-1-Bm-1≤2-2=0,与 dm-1=1 矛盾. 所以对于任意 n≥1,有 an≤2,即非负整数列{an}的各项只能为 1 或 2. 因为对任意 n≥1,an≤2=a1, 所以 An=2. 故 Bn=An-dn=2-1=1.
10

因此对于任意正整数 n,存在 m 满足 m>n,且 am=1,即数列{an}有无穷多项为 1.

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