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宁夏银川一中2016届高三上学期第三次月考数学(文)试题


银川一中 2016 届高三年级第三次月考

数 学 试 卷(文)
命题人:王孝贤

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.不等式(1+x)(1-x)>0 的解集是 A. x ? 1 ? x ? 1 C.

? ? ?x x ? ?1或x ? 1?
B.180

B. D.

?x x ? 1? ?x x ? 1且x ? ?1?
C.200 D.220

2.等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? a3 ? ?24 , a18 ? a19 ? a20 ? 78 ,则此数列前 20 项和为 A.160
? ? ? ? 3.已知向量 a ? ( x ? 1,2) , b ? ?2,1? ,则“ x ? 0 ”是“ a 与 b 夹角为锐角”的

A.必要而不充分条件 C.充分必要条件

B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.对一切实数 x,不等式 x 2 ? a x ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 A. (- ? ,-2) 5.命题 B.[-2,+ ? ) C.[-2,2] D.[0,+ ? ) D. ?? ? ,0? ? ?4,? ??

p : ?x ? R, ax2 ? ax ? 1 ? 0 ,若 ? p 是真命题,则实数 a 的取值范围是
B. [0, 4] C. ?? ? ,0? ? ?4,? ??

A. (0, 4]

6.设点 P ? x0 , y0 ? 是函数 y ? tan x 与 y ? ? x ? x ? 0 ? 的图象的一个交点,则

?x

2

0

? 1? ?1 ? cos2x0 ? 的值为
B. 2+ 2 C. 2+ 3 D. 因为 x0 不唯一,故不确定
(a1 ? a 2 ) 2 的 b1b2

A. 2

7.已知 x、y 为正实数,且 x,a1,a2,y 成等差数列,x,b1,b2,y 成等比数列,则 取值范围是 A.R B. ?0, 4? C. ?4, ? ? ? D. ?? ?, 0? ? ?4, ? ??

8.若向量 a ? (cos? , sin? ), b ? (cos ? , sin? ), 则 a与b 一定满足 A. a与b 的夹角等于 ? ? ? C. a ∥ b 9.已知数列 ?a n ? 的通项公式为 a n = A. a n > a n?1 B. a n < a n?1 B. (a ? b) ⊥ (a ? b) D. a ⊥ b

an ,其中 a、b、c 均为正数,那么 a n 与 a n?1 的大小是 bn ? c
C. a n = a n?1 D. 与 n 的取值有关

10.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的 方程为 A. x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 C. x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 B. x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 D. x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 在下图中纵轴

11.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程

表示该同学离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是

d

d

d

d

O A

t B

O

t

O C

t D

O

t

12.函数 f ?x ? ? x ? 1 ? 2 sin ?x 的所有零点之和等于 A.4 B. 5 C. 6 D. 7

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

? x ? y ?1 ? 13.已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ?
14.直线 ax-y+1=0 与连结 A(2,3),B(3,2)的线段相交,则 a 的取值范围是__
, 2) 的直线 l 与圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 25 交于 A 、 B 两点, C 为圆心,当 ?ACB 最 15.过点 M (1

小时,直线 l 的方程是 16.已知 M、m 分别是函数 f ?x ? ? ax ? bx + sin x +1 的最大值、最小值,则 M ? m ?
5

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1)当 x ? ? ?

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? ( x ? R) 2 2

? ? 5? ? , ? 时,求函数 f ( x ) 的最小值和最大值; ? 12 12 ?

( 2 ) 设 ? ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 应 边 分 别 为 a, b, c , 且 c ?

3 , f (C ) ? 0 , 若 向 量

m ? (1, sinA) 与向量 n ? (2, sinB) 共线,求 a , b 的值.
18. (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的各项均为正数,它的前 n 项的和为 Sn ,点 (an , Sn ) 在函数 y ? 图像上;数列 ?bn ? 满足 b1 ? a1 , bn?1 (an?1 ? an ) ? bn .其中 n ? N .
?

1 2 1 1 x ? x? 的 8 2 2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

5 an ? ,求证:数列 ?cn ? 的前 n 项的和 Tn ? ( n ? N ) 9 bn

19. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆 C 与圆 D : x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 有公共点,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. (2)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; 20.(本小题满分 12 分) 已知圆 C 过点 P(1,1) , 且与圆 M:?x ? 2? ? ? y ? 2? ? r 2 ?r ? 0? 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对
2 2

称。 (1)求圆 C 的方程: (2)设 Q 为圆 C 上的一个动点,求 PQ ? MQ 最小值; 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? ln x (a, b ? R) . (1)设 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)设 a ? 0 ,且对于任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) .试比较 ln a 与 ?2b 的大小. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,正方形 ABCD 边长为 2,以 D 为圆心、 DA 为半径的 圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F ,连结 CF 并延长交 AB 于点 E . (1)求证: AE ? EB ; (2)求 EF ? FC 的值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标与参数方程
B O C E F A D

? ?x ? 1 ? ? 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 4 ? ? ?

2 t 2 ( t 为参数). 再以原点为极点,以 x 正 2 t 2

半轴为极轴建立极坐标系,并使得它与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位. 在该极坐标系中圆 C 的 方程为 ? ? 4sin ? . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A 、 B ,若点 M 的坐标为 ? ?2,1? ,求 MA ? MB 的值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 f ? x ? ? 2 x ?
3 5 ? 2x ? . 4 4

(1)关于 x 的不等式 f ? x ? ? a2 ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)设 m, n ? R ? ,且 m ? n ? 1 ,求证: 2m ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 f ? x ? .

银川一中 2016 届高三第三次月考数学(文科)试卷答案
题号 答案 1 A 2 B 3 A 14. ? ,1? ?3 ? 4 B 5 D 6 A 7 C 16. 2 8 B 9 B 10 C 11 B 12 B

二.13. 10

?1 ?

15. x ? y ? 3 ? 0

3 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 (3 分) 2 2 6 ? ? 2? 由已知得 ? ? 2 x ? ? 3 6 3
三.17.解: (1) f ( x) ?

? f ( x) 最大值为 0,最小值为 ?
(2)由 f (C ) ? 0 得 C=
2 2

3 ? 1 (6 分) 2

? (8 分) 3

由余弦定理的 a ? b ? ab ? 3 (9 分) 由 m , n 共线得 2 sin A ? sin B ,即 b ? 2a (10 分)

? a ? 1, b ? 2 (12 分)
18.解:⑴由已知条件得 S n ?

1 2 1 1 an ? an ? , 8 2 2



当 n ? 2 时, S n ?1 ? ①-②得: an ?

1 1 1 an ?12 ? an ?1 ? , ② 8 2 2

1 2 1 1 (an ? an ?12 ) ? (an ? an ?1 ) ,即 an ? an ?1 ? (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) , 8 2 4

∵数列 ?an ? 的各项均为正数,∴ an ? an?1 ? 4 ( n ? 2 ) , (3 分) 又 a1 ? 2 ,∴ an ? 4n ? 2 ; (4 分)∵ b1 ? a1 , bn?1 (an?1 ? an ) ? bn , ∴ b1 ? 2, ⑵∵ cn ?

1 bn?1 1 ? ,∴ bn ? 2 ? ( ) n ?1 ; (6 分) 4 bn 4

an ? (2n ? 1)4n?1 , (7 分) bn

∴ Tn ? 1 ? 3 ? 4 ? 5 ? 42 ? ?? (2n ? 3) ? 4n?2 ? (2n ?1) ? 4n?1 ,

4Tn ?

4 ? 3 ? 42 ? ?? (2n ? 5) ? 4n?2 ? (2n ? 3) ? 4n?1 ? (2n ?1) ? 4n ,
2 n ?1

两式相减得 ?3Tn ? 1 ? 2(4 ? 4 ? ? ? 4 ∴ Tn ?

5 5 5 ) ? (2n ? 1)4n ? ? ? (2n ? ) ? 4n ? ? , (10 分) 3 3 3

5 . (12 分) 9
2

19.解: (1)∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4) 则圆 C 的方程为: ( x ? a ) ? y ? ( 2a ? 4)

?

?2 ? 1 (2 分)

因为圆 C 与圆 D 有公共点,所以 解得, a 的取值范围为: 0, ? (2)解:由 ?

2 ? 1 ? a 2 ? ?(2a ? 4) ? (?1)? ? 2 ? 1
2

? 12 ? ? (5 分) ? 5?

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为(3,2) ,∵圆 C 的半径为 1 ?y ? x ?1
2

∴圆 C 的方程为: ( x ? 3)

? ( y ? 2) 2 ? 1 (8 分)

显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0 ∴

3k ? 2 ? 3 k ?1
2

? 1 ∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?

3 4

∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ?

3 x ? 3 即 y ? 3 或者 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 (12 分) 4

?a ? 2 b ? 2 ? ?2?0 ? ? 2 2 20.解: (1)设圆心 C(a,b) ,则 ? ?b ? 2 ? 1 ? ?a ? 2
所以圆 C 的方程为 (2)设 Q(x,y) 则
x 2 ? y 2 ?r 2

解得 a=0 b=0

将点 P 的坐标代人得

r 2 ?2

所以圆 C 的方程为

x2 ? y2 ?2

x2 ? y2 ?2
2 2

所以 PQ ? MQ ? x ? y ? x ? y ? 4 ? x ? y ? 2 所以 PQ ? MQ 的最小值为 -4
2

(可由线性规划或三角代换求得)

21 解: (Ⅰ)由 f ?x? ? ax ? bx ? ln x, x ? ?0,??? ,得 f ??x ? ? (1)当 a ? 0 时, f ?? x ? ?

2ax2 ? bx ? 1 . x

bx ? 1 x

①若 b ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?? x ? ? 0 恒成立,所以函数 f ?x ? 的单调递减区间是 ?0,??? ②若 b ? 0 ,当 0 ? x ? 当x?

1 时, f ?? x ? ? 0 ,函数 f ?x ? 的单调递减, b

1 时, f ?? x ? ? 0 ,函数 f ?x ? 的单调递增, b ? 1? ?1 ? 所以函数 f ?x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ? ,?? ? .(2 分) ? b? ?b ? 2 (2)当 a ? 0 时, f ?? x ? ? 0 , 得 2ax ? bx ? 1 ? 0 ,

? b ? b 2 ? 8a ? b ? b 2 ? 8a , x2 ? 4a 4a 当 0 ? x ? x2 时, f ?? x ? ? 0 ,函数 f ?x ? 的单调递减, 当 x ? x2 时, f ?? x ? ? 0 ,函数 f ?x ? 的单调递增,
由 ? ? b ? 8a ? 0 得 x1 ?
2

显然, x1 ? 0, x2 ? 0

所以函数 f ?x ? 的单调递减区间是 ? 0,

? ? ?

2 ? ? ? b ? b 2 ? 8a ? ? ,单调递增区间是 ? ? b ? b ? 8a ,?? ? , ? ? ? 4a 4a ? ? ?

(4 分) 综上所述 当 a ? 0 , b ? 0 时,函数 f ?x ? 的单调递减区间是 ?0,??? 当 a ? 0 , b ? 0 时,函数 f ?x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ? ,?? ? 当 a ? 0 时,函数 f ?x ? 的递减区间是 ? 0,

? ?

1? b?

?1 ?b

? ?

? ? ?

2 ? ? ? b ? b 2 ? 8a ? ? ,增区间是 ? ? b ? b ? 8a ,?? ? .(5 ? ? ? 4a 4a ? ? ?

分) (Ⅱ) 由 a ? 0 ,且对于任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) ,则函数 f ?x ? 在 x ? 1 处取得最小值,

? b ? b 2 ? 8a 是 f ?x ? 的唯一的极小值点, 4a ? b ? b 2 ? 8a 2a ? b ? 1 即 b ? 1 ? 2a .(7 分) 故 ? 1 ,整理得 4a 1 ? 4x 令 g ?x ? ? 2 ? 4 x ? ln x , 则 g ?? x ? ? (8 分) x 1 令 g ??x ? ? 0, 得 x ? , 4 1 当 0 ? x ? 时, g ??x ? ? 0, g ?x ? 单调递增; 4 1 当 x ? 时, g ??x ? ? 0, g ?x ? 单调递减. 4 1 ?1? 因此 g ?x ? ? g ? ? ? 1 ? ln ? 1 ? ln 4 ? 0 , 4 ?4? 故 g ?a ? ? 0 ,即 2 ? 4a ? ln a ? 2b ? ln a ? 0 , 即 ln a ? ?2b (12 分)
由(Ⅰ)知, 22. 解: (1)由以 D 为圆心 DA 为半径作圆,而 ABCD 为正方形,∴EA 为圆 D 的切线 依据切割线定理得 EA2 ? EF ? EC ………………2 分 另外圆 O 以 BC 为直径,∴EB 是圆 O 的切线, 同 样 依 据 切 割 线 定 理 得

A

D

E

F

B
E 2 ?B ? E F E C ………………4 分 故 AE ? EB ………………5 分 (2)连结 BF ,∵BC 为圆 O 直径, ∴ BF ? EC

O

C

BF BE = BC EC 又在 Rt?BCE 中,由射影定理得
在 RT△EBC 中,有
2
2

……………7 分

4 ? 1? 2 ? EF ? FC ? BF ? ? ? ? 5 ? 5 ? 23. 解: (1)由极坐标与直角坐标互化公式得

………………10 分

圆的直角坐标方程式为 x2 ? ? y ? 2? ? 4
2

………………4 分

(2)直线 l 的普通方程为 y ? x ? 3 ,点 M 在直线上.

? 2 t ? x ? ?2 ? ? 2 l 的标准参数方程为 ? ?y ?1? 2 t ? ? 2
代入圆方程得: t 2 ? 3 2t ? 1 ? 0 设 A 、 B 对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 t1 ? t2 ? 3 2 , t1t2 ? 1 于是 MA ? MB = t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 3 2 . 24. 解: (1)依据绝对值的几何意义可知函数 f ? x ? ? 2 x ? (

………………6 分

………………8 分 ………………10 分

3 5 ? 2 x ? 表示数轴上点 P( 2 x )到点 A 4 4

3 5 )和 B( ? )两点的距离,其最小值为 f ? x ?min ? 2 4 4

………………3 分 ………………5 分

∴不等式恒成立只需 2 ? a 2 ? a ,解得 ?1 ? a ? 2 (2)∵ f ? x ?min ? 2
2 ? 2m ? 1? ?

∴只需证明: 2m ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 2 成立即可.
?m?

2 ? ? 2n ? 1? 3 3 ?n? . ; 2 ? 2n ? 1? ? 2 2 2 2 3 3 于是 2 ? 2m ? 1? ? 2 ? 2n ? 1? ? m ? ? n ? ? m ? n ? 3 ? 4 2 2 ∴ 2m ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 2 故要证明的不等式成立.

2 ? ? 2m ? 1?

………………8 分

………………10 分


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