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【创新设计】(江苏专用)2014届高考数学二轮总复习 解答题押题练D组 文


解答题押题练 D 组
1.已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2acos B=ccos B+bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)设向量 m=(cos A,cos 2A),n=(12,-5),求当 m· n 取最大值时,tan C 的值. 解 (1)由题意, 2sin Acos B=sin Ccos B+cos Csin B,(2 分)

所以 2sin Acos B=sin(B+C)=sin(π-A)=sin A.(3 分) 因为 0<A<π,所以 sin A≠0. 所以 cos B= 2 .(5 分) 2

π 因为 0<B<π,所以 B= .(6 分) 4 (2)因为 m· n=12cos A-5cos 2A,(8 分) 所以 m· n=-10cos2A+12cos A+5 3?2 43 =-10? ?cos A-5? + 5 .(10 分) 3 所以当 cos A= 时,m· n 取最大值. 5 4 π 4 此时 sin A= (0<A< ),于是 tan A= .(12 分) 5 2 3 所以 tan C=-tan(A+B)=- tan A+tan B =7.(14 分) 1-tan Atan B

2.在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=BC=AD=2,CD=4,E 为边 DC 的中点,如图 1.将△ADE 沿 AE 折起到△AEP 位置,连 PB、PC,点 Q 是棱 AE 的中点,点 M 在棱 PC 上,如图 2. (1)若 PA∥平面 MQB,求 PM∶MC; (2)若平面 AEP⊥平面 ABCE,点 M 是 PC 的中点,求三棱锥 A MQB 的体积.

图1 解 (1)连 AC、BQ,设 AC∩BQ=F,连 MF.

图2

则平面 PAC∩平面 MQB=MF,因为 PA∥平面 MQB,PA?平面 PAC,所以 PA∥MF.(2 分) 在等腰梯形 ABCD 中,E 为边 DC 的中点,所以由题设,AB=EC=2.
1

所以四边形 ABCE 为平行四边形,则 AE∥BC.(4 分) 从而△AFQ∽△CFB,AF∶FC=AQ∶CB=1∶2. 又 PA∥MF,所以△FMC∽△APC,所以 PM∶MC=AF∶FC=1∶2.(7 分) (2)由(1)知,△AED 是边长为 2 的正三角形,从而 PQ⊥AE. 因为平面 AEP⊥平面 ABCE,交线为 AE,所以 PQ⊥平面 ABCE,PQ⊥QB,且 PQ= 3. 因为 PQ?平面 PQC,所以平面 PQC⊥平面 ABCE,交线为 QC.(9 分) 过点 M 作 MN⊥QC 于 N,则 MN⊥平面 ABCE,所以 MN 是三棱锥 M ABQ 的高. 因为 PQ⊥平面 ABCE,MN⊥平面 ABCE,所以 PQ∥MN. 1 3 因为点 M 是 PC 的中点,所以 MN= PQ= .(11 分) 2 2 由(1)知,△ABE 为正三角形,且边长为 2.所以,S△ABQ= 3 . 2

1 3 3 1 三棱锥 A MQB 的体积 VA × = .(14 分) MQB=VM ABQ= × 3 2 2 4 3.如图,某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地, △ABC 外的地方种草, △ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池, 其余的地方种花,若 BC=a,∠ABC=θ,设△ABC 的面积 为 S1,正方形的 PQRS 面积为 S2. (1)用 a,θ 表示 S1 和 S2; S1 (2)当 a 固定,θ 变化时,求 的最小值. S2 解 1 1 (1)S1= asin θ· acos θ= a2sin 2θ, 2 4 x ,RC=xtan θ, tan θ

设正方形边长为 x,则 BQ= ∴ x +xtan θ+x=a, tan θ

∴x=

a asin 2θ = ,(4 分) 1 2+sin 2θ +tan θ+1 tan θ

asin 2θ S2=?2+sin 2θ?2=

?

?

a2sin22θ ,(6 分) 4+sin22θ+4sin 2θ

(2)当 a 固定,θ 变化时, S1 1? 4 +sin 2θ+4?, = ? S2 4?sin 2θ 令 sin 2θ=t, S1 1 4 +t+4?(0<t≤1), 则 = ? ? S2 4? t

2

S1? 9 利用单调性求得 t=1 时,? ?S2?min=4.(14 分) 4.若两个椭圆的离心率相等,则称它们为“相似椭圆”.如图,在 x2 y2 直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: + =1,A1,A2 分别为椭圆 6 3 C1 的左、右顶点.椭圆 C2 以线段 A1A2 为短轴且与椭圆 C1 为“相 似椭圆”. (1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 P 为椭圆 C2 上异于 A1,A2 的任意一点,过 P 作 PQ⊥x 轴, 垂足为 Q,线段 PQ 交椭圆 C1 于点 H.求证:H 为△PA1A2 的垂心.(垂心为三角形三条高 的交点) (1)解 由题意可知 A1(- 6,0),A2( 6,0), 2 .(3 分) 2

椭圆 C1 的离心率 e=

y2 x2 设椭圆 C2 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),则 b= 6. a b b 2 因为 = 1-e2= ,所以 a=2 3. a 2 y2 x2 所以椭圆 C2 的方程为 + =1.(6 分) 12 6 y2 x2 0 0 2 (2)证明 设 P(x0,y0),y0≠0,则 + =1,从而 y2 0=12-2x0. 12 6
2 x2 y2 x2 y2 x2 y0 0 0 y0 将 x=x0 代入 + =1 得 + =1,从而 y2=3- = ,即 y=± . 6 3 6 3 2 4 2

y0 y0 因为 P,H 在 x 轴的同侧,所以取 y= ,即 H(x0, ).(12 分) 2 2 1 y 2 0 12-2x2 y0 y2 0 0 所以 kA1P· kA2H= · = 2 = 2 =-1,从而 A1P⊥A2H. x0- 6 x0+ 6 2?x0-6? 2?x0-6? 又因为 PH⊥A1A2,所以 H 为△PA1A2 的垂心.(16 分) 1 5.已知函数 f(x)=aln x= (a 为常数). x (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 x+2y-5=0 垂直,求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)当 x≥1 时,f(x)≤2x-3 恒成立,求 a 的取值范围. 解 ax+1 (1)函数 f(x)的定义域为{x|x>0},f′(x)= 2 . x

又曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 x+2y-5=0 垂直, 所以 f′(1)=a+1=2,即 a=1.(4 分)
3

ax+1 (2)由 f′(x)= 2 (x>0), x 当 a≥0 时, f′(x)>0 恒成立,所以 f(x)的单调增区间为(0,+∞). 当 a<0 时, 1 由 f′(x)>0,得 0<x<- , a 1 0,- ?; 所以 f(x)的单调增区间为? a? ? 1 由 f′(x)<0,得 x>- , a 1 - ,+∞?.(10 分) 所以 f(x)的单调减区间为? ? a ? 1 (3)设 g(x)=aln x- -2x+3,x∈[1,+∞), x -2x2+ax+1 a 1 则 g′(x)= + 2-2= . x x x2 令 h(x)=-2x2+ax+1,考虑到 h(0)=1>0, 当 a≤1 时, a h(x)=-2x2+ax+1 的对称轴 x= <1, 4 h(x)在[1,+∞)上是减函数,h(x)≤h(1)=a-1≤0, 所以 g′(x)≤0,g(x)在[1,+∞)上是减函数, 所以 g(x)≤g(1)=0,即 f(x)≤2x2-3 恒成立. 当 a>1 时, 令 h(x)=-2x2+ax+1=0, a+ a2+8 a- a2+8 得 x1= >1,x2= <0, 4 4 当 x∈[1,x1)时,h(x)>0,即 g′(x)>0, g(x)在[1,x1)上是增函数; 当 x∈(x1,+∞)时,h(x)<0,即 g′(x)<0, g(x)在(x1,+∞)上是减函数. 所以 0=g(1)<g(x1),即 f(x1)>2x1-3,不满足题意. 综上,a 的取值范围为 a≤1.(16 分) 6.已知无穷数列{an}的各项均为正整数,Sn 为数列{an}的前 n 项和. (1)若数列{an}是等差数列,且对任意正整数 n 都有 Sn3=(Sn)3 成立,求数列{an}的通项公 式; (2)对任意正整数 n,从集合{a1,a2,?,an}中不重复地任取若干个数,这些数之间经
4

过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数,且这些正整数与 a1,a2,?,an 一 起恰好是 1 至 Sn 全体正整数组成的集合. (ⅰ)求 a1,a2 的值; (ⅱ)求数列{an}的通项公式. 解 (1)设无穷等差数列{an}的公差为 d,因为 Sn3=(Sn)3 对任意正整数 n 都成立,所以分

3 ?a1=a1 , ? 别取 n=1,n=2 时,则有:? 3 ? ?8a1+28d=?2a1+d? .

因为数列{an}的各项均为正整数,所以 d≥0. 可得 a1=1,d=0 或 d=2.(4 分) 当 a1=1,d=0 时,an=1,Sn3=(Sn)3 成立; 当 a1=1,d=2 时,Sn=n2,所以 Sn3=(Sn)3. 因此,共有 2 个无穷等差数列满足条件,通项公式为 an=1 或 an=2n-1.(6 分) (2)(ⅰ)记 An={1,2,?,Sn},显然 a1=S1=1.(7 分) 对于 S2=a1+a2=1+a2,有 A2={1,2,?,Sn}={1,a2,1+a2,|1-a2|}={1,2,3,4}, 故 1+a2=4,所以 a2=3.(9 分) (ⅱ)由题意可知,集合{a1,a2,?,an}按上述规则,共产生 Sn 个正整数.(10 分) 而集合{a1,a2,?,an,an+1}按上述规则产生的 Sn+1 个正整数中,除 1,2,?,Sn 这 Sn 个正整数外,还有 an-1,an+1+i,|an+1-i|(i=1,2,?,Sn),共 2Sn+1 个数. 所以,Sn+1=Sn+(2Sn+1)=3Sn+1.(12 分) 1 1 n-1 1 1 n 1 1 S + ?,所以 Sn=?S1+ ?· 又 Sn+1+ =3? 3 - .(14 分) 2? 3 -2=2· ? 2 ? n 2? 2 1 n 1 ?1 n-1 1? 3 - =3n-1.(15 分) 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= · 3 - -?2· 2? 2 2 而 a1=1 也满足 an=3n 1.


所以,数列{an}的通项公式是 an=3n 1.(16 分)


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