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第8期3.1第1课时空间向量及其加减运算

选修 2-1(A 版) 课时学案第 8 期 3.1 第一课时 第一课时 空间向量及其加减运算 一、课前准备 1.课时目标 (1)经历向量及其加减运算由平面向空间推广的过程. (2)了解空间向量的概念,掌握空间向量的加减运算. 2.基础预探 (1)在空间中,把具有 和 的量叫做空间向量. (2)向量的 叫做向量的长度或 . (3)空间向量的表示:①用一个小写字母表示,如 、 等;②用表示向量的有向线段的 起点和终点的两个字母(常用大写字母)表示,注意起点字母写在 ,终点字母写 在 ,如 、 等. (4) 的向量叫做零向量,记作 ; 的向量叫做单位向量. (5)方向 且模 示同一向量或相等向量. 的向量,称作单位向量.在空间中,同向且等长的有向线段表 (6)与向量 长度 而方向 的方向,称为的相反向量,记作 . (7)类似平面向量,向量的加法满足 足 法则. 向量的加、减法运算满足 二、学习引领 法则和 律和 法则;向量的减法满 律. 1.空间向量与平面向量一样,即可以用有向线段表示,也可以用字母 , , 等表示, 还可以用坐标表示. 2.向量是既有大小,又有方向的量,向量的模是正数或 0,是可以进行比较大小的,由 于方向不能比较大小,因此“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的,比如可以说| |>| |, 但不能说 > . 3.空间的任意两个向量都可以转化为平面向量,所以空间向量与平面向量的加减法一 样,相加或相减后的结果仍然是一个向量,都有平行四边形法则和三角形法则,在运用时的 关键就是要注意向量的起点与终点. 向量加法,运用平行四边形法则要求两向量共起点,运 用三角形法则要求向量首尾顺次相接;对于向量减法要求两向量有共同的起点,差向量对应 的有向线段指向被减向量. 4.在掌握向量加减法的同时,应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差,如共线、 共起点、共终点等. 5.要记住常用关系、常用数据.如在△ABC 中, + + = ;以向量 , 为邻边的平行 四边形中,( ± )表示两条对角线所在的向量. 6.空间向量加法和减法的运算律与平面向量的运算律一样,都有交换律与结合律. 三、典例导析 题型一、空间向量的概念 例 1.如下图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=3,AD=2,AA1=1,以其八个顶点中的 两点为始点和终点的向量中: D1 A1 D C1 B1 C A B (1)单位向量共有多少个? (2)试写出模为 的所有向量; (3)试写出与 相等的所有向量; (4)试确定与 相反的向量. 解析:(1)由于长方体的高为 1,所以长方体的 4 条高所对应的向量 , , , , , , , , 共有 8 个,均是单位向量. (2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为 ,故模为 的向量为 , , , ,,,,. (3)与 相等的向量为 , , . (4)向量 的相反量为 , , , . 点评:在空间,单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应 的概念完全一样. 正确理解和掌握向量的概念是解决本题的关键,向量是既有大小又有方向 的量,相等向量必须方向相同且大小相等,方向相反但大小相等的向量是相反向量. 变式练习 1.在正方体体 ABCD-A′B′C′D′中,①写出向量 的相等向量;②写出向 量 的相反向量;γ 写出向量 的平行向量. 题型二、空间向量的加、减运算 例 2.如下图所示的平行六面体 ABCD-A′B′C′D′,化简下列表达式. D′ C′ A′ B′ D C A B (1) + - + -; (2) - + - . 解析:(1) +- + -=+ + + -=+ + =+ - =. (2) - + - = + = + = . 点评:处理向量算式的化简问题时,要注意解题格式;注意观察所涉及的向量在图形中 的位置特征;同时要注意应用数形结合. 变式练习 2.已知在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,化简下列表达式: ①+ - + -; ② -+ - . 四、随堂练习 1.相等向量若其终点不相同,则其起点( ) A.必相同 B.必不相同 C.可以相同 D.可以不同 2.给出以下命题:① 无方向;②若空间向量 , , 满足 = , = ,则 = ;③若 空间向量 , 满足| |=| |,则 = ;④两个空间向量相等,则它们的起点和终点均相同. 其中不正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.已知向量 , 是两个非零向量, , 是与 , 同方向的单位向量,那么下列各式 中正确的是( ) A. = B. = 或 =- C. =1 D.| | =| | 4.在空间中,若 是 的单位向量,则 与 的方向 . 5.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,化简 + + = . 6.如下图,已知正方体 ABCD-A′B′C′D′,若 =x +y +z 值. D′ A′ C′ B′ ,求 x、y、z 的 D A 五、课后作业 C B 1.已知 A={与 共线的向量},B={与 长度相等的向量},C={与 长度相等、方向相反的 向量},其中 为非零向量,则下列命题中错误的是( ) A.C?A B.A∩B= C. C?B D. A∩B? 2.若把空间内长度相等的所有非零向量的始点放置于同一点,则这些向量的终点构成的 图形是( ) A.一个圆 B.一个点 C.半圆 D.球面 3.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的中心为 O,有以下结论: ① + 与 + 是一对相反向量; ② - 与 - 是一对相反向量; ③ + + + 与 + + + 是一对相反向量; ④ - 与 - 是一对相反向量. 其中正确结论的序号是 . 4.在空间中

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