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高中数学 第三章 推理与证明 归纳推理典例导航课件 北师大版选修1-2_图文

(2011· 湖北高考,15)给 n 个自上而下相连的正方形 着黑色或白色.当 n≤4 时,在所有不同的着色方案中,黑 色正方形互不相邻 的着色方案如图所示: .... 由此推断,当 n=6 时,黑色正方形互不相邻 的着色方 .... 案共有________种,至少有两个黑色正方形相邻 的着色方案 .. 共有________种.(结果用数值表示) 解析: (1)以黑色正方形的个数分类, ①若有 3 个黑色正方形, 则有 C43=4 种; ②若有 2 个黑 色正方形,则有 C52=10(种);③若有 1 个黑色正方形,则有 C61=6(种);④若无黑色正方形,则有 1 种. ∴共 4+10+6+1=21(种). ? (2)方法一:至少有 2个黑色正方形相邻包括 有 2 个黑色正方形相邻,有 3 个黑色正方形相邻, 有 4 个黑色正方形相邻,有 5 个黑色正方形相邻, 有6个黑色正方形相邻. ? ①只有2个黑色正方形相邻,有A32+A42+C51 =23(种); ? ②只有3个黑色正方形相邻,有C21+A32+C41 =12(种); ? ③只有 4 个黑色正方形相邻,有 C21 + C31 = 5(种); ? ④只有5个黑色正方形相邻,有C21=2(种); ? ⑤有6个黑色正方形相邻,有1(种). ? 方法二:所有着色情况共有 26=64 种, 又由上知互不相邻的着色方案有21种. ? 故至少有两个相邻的着色方案共有 64- 21=43种. ? 答案: 21 43 ? 有两种花色的正六边形地板砖,按 下图的规律拼成若干个图案,则第六个图 案中有菱形纹的正六边形的个数是( ) ? A.26 ? C.32 B.31 D.36 方 法 一 : 查个数 → 列成数列 → 观察数列的前三项 → 归纳猜想第六项的个数 方法二: 观察所给图案 → 寻求变化规律 → 归纳猜想第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数 ? [解题过程] 方法一:有菱形纹的正六 边形个数如下表, 1 2 3 图案 … 6 11 16 个数 … ? 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个 数依次组成一个以6为首项,以5为公差的 等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的 正六边形的个数是6+5×(6-1)=31. ? 方法二:由图案的排列规律可知,除 第一块无纹正六边形需六个有纹正六边 形围绕 ( 第一个图案 ) 外,每增加一块无 纹正六边形,只需增加5块菱形纹正六边 形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一 块“公共”的菱形纹六边形),所以第六 个图案中有菱形纹的正六边形的个数为 6 +5×(6-1)=31. ? 答案: B ? 1.根据下图中5个图形及相应点的个 数的变化规律,试猜测第n个图中有 ________个点. ? 解析: 观察图形的增长规律可得: 图(2)从中心点向两边各增长 1个点,图(3) 从中心点向三边各增长 2个点,图 (4) 从中 心点向四边各增长3个点,如此,第n个图 从中心点向 n 边各增长 (n - 1) 个点,易得 答案: 1 + n· (n - 1) = n2 - n + 1. 本题若从 图形的数值变化方面入手也可归纳出结果, 但没有从图形的结构方面入手直接. ? 答案: n2-n+1 ? 如图,在圆内画一条线段,将圆分 成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4 条线段,同时将圆分割成4部分;画三条线 段,彼此最多分割成9条线段,将圆最多分 割成7部分;画四条线段,彼此最多分割成 16条线段,将圆最多分割成11部分. ? 那么: ? (1) 在圆内画 5 条线段,它们彼此最多 分割成多少条线段?将圆最多分割成多 少部分? ? (2) 猜想:圆内两两相交的 n(n≥2) 条 线段,彼此最多分割成多少条线段?将 圆最多分割成多少部分? ? 由题目可获取以下主要信息: ? ①在圆内画线段; ? ②所画线段彼此分割线段的条数和将 圆分割的部分的个数. ? 解答本题可先从几个特殊的数值入手, 再根据给出的数值特点进行归纳猜想. [解题过程] 设圆内两两相交的 n 条线段彼此最多分割 成的线段为 f(n)条,将圆最多分割为 g(n)部分. 2 1 +1+2 2 方法一:(1)f(1)=1=1 ,g(1)=2= ; 2 2 2 +2+2 2 f(2)=4=2 ,g(2)=4= ; 2 2 3 +3+2 2 f(3)=9=3 ,g(3)=7= ; 2 2 4 +4+2 2 f(4)=16=4 ,g(4)=11= ; 2 52+5+2 所以 n=5 时,f(5)=25,g(5)= =16. 2 (2)根据题意猜想: 圆内两两相交的 n(n≥2)条线段,彼此最多分割为 f(n) 2 n +n+2 2 =n 条线段,将圆最多分割为 g(n)= 部分. 2 方法二:(1)求 f(n)同方法一, ∵g(2)-g(1)=2,g(3)-g(2)=3,g(4)-g(3)=4, ∴g(5)-g(4)=5,g(5)=g(4)+5=11+5=16. (2)由(1)归纳猜测 g(n)-g(n-1)=n, ∴累加得 g(n)-g(1)=2+3+4+…+n. ∴g(n)=(1+2+3+…+n)+1 n?n+1? n2+n+2 = 2 +1= . 2 解析: 当 n=2 时,交点个数 f(2)=1; 当 平面内有 n=3 时,交点个数 f(3)=3; ? 2. n条直线,其中任何两条都不 平行,任何三条不过同一点,试归纳它们交 当 n=4 时,交点个数 f(4)=6; 点的个数. 当 n=5 时,交点个数 f(5)=10. 1 猜想:f(n)=2n(n-1)(n≥2) 根据下列条件,写出数列的前 4 项,并归纳猜想它 的通项公式. (1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N*); an (2)a1=1,an+1= . 1+2an ? [解题过程] (1)当n=1时,a1=0, ? 由an

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