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数学:2.1.1《直线与平面所成的角》优秀课件(新人教A版必修2)


课件介绍

内容:

直线与 平面所 成的角

平面的斜线与 平面所成角的 定义及其应用

最小角原理 探究学习及 其简单应用

特点: 充分应用多媒体技术使立体图形简单直观。

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立体几何

平面的斜线与平面所成的角

复习回顾 问题1.直线和平面有那些位置关系?

直线和平面 所 成 的 角

? 线在面内

? 线面平行

? 线面相交

问题2.直线和平面相交有那几种情况?

线面垂直

线面斜交

?

?

观察思考 线面相交 线面垂直 线面斜交

直线和平面 所 成 的 角

?

?

线面垂直

线面斜交

?

?

观察思考 线面相交 线面垂直 线面斜交

直线和平面 所 成 的 角

? 线面成角90°

?

如何表示呢?

观察思考 问题3.如何定义斜线与平面所成的角?

直线和平面 所 成 的 角

线面斜交

a

?

平面的斜线和平面所成的角 定义:

平面的斜线与它在该平面内的射影所成的角, 叫作直线和平面所成的角.

直线和平面 所 成 的 角

图示:

a
线面角

?

射(影)

范围:

斜线与平面所成的角 直线与平面所成的角

?[0°,90°]

(0°,90°)

直线和平面 所 应用举例 成 的 角 1.棱长为1的正方体AC1中,求下列直线和平面所成的角.

⑴.CC1和面A1C1 ⑵.B1C和面C1D ⑶.A1B1和面AC ⑷.A1C和面BD

90° 45° 0° arctan 2 2 A A1

D1 B1

C1

D

O

M C
B

⑸.BD1和面A1B1CD

arctan 2

想一想 如何计算直线和平面所成的角呢?

知识梳理 线∥面 线 面

求直线和平 面所成的角



成角0°

直线和平面 所 成 的 角

线⊥面

成角90°

垂 线 段

线面斜交

找(作)射影 找垂足 (线面垂直)

一找 二证 三计算

斜射角 (线面成角)

课堂随练

直线和平面 所 成 的 角

棱长为1的正方体AC1中,AD1与平面A1BCD1所成的角


30° .
D1
A1D= 2 A1 D O B1 C C1

AO=

2 2

A

B

最小角原理

??

?探究学习 q1 ------ 斜射角(线面角) q ------ 斜非角 q2 ------ 射非角

直线和平面 所 成 的 角

C

a

A

q1 q q2

B D

?

??

?探究学习

C

cos q1 = AB AC

直线和平面 所 成 的 角

C A
q1

a

B

A

q1 q q2

B D

?

??

?探究学习 C
最小角原理

cos q1 = AB AC

cos q = AD AC
y=cosx
_ 1 π 2

y 斜线和斜线在平面上的射影所 1 a 成的角,是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角 C O -1 q 中最小的角. A

直线和平面 所 成 的 角

q1<q

3π π __ 2



x

D A
q1 q q2

B D

?

??

?探究学习

AB cos q1 = AC

AD AD cos q = cos q2 = AC AB

A

q2

cos q1 ·cos q2 = AB AD = AD =cos q AC AB AC

直线和平面 所 成 的 角

B

D

C

a

A

q1 q q2

B D

?

??

?探究学习

cosq = cosq1 cos q2
q1 ------ 斜射角(线面角)
q2 ------ 射非角 q ------ 斜非角

直线和平面 所 成 的 角

C

a

A

q1 q q2

B D

?

直线和平面 所 应用举例 成 的 2.如图,AO、AB分别是平面?的垂线和斜线,O、B分别 角

为垂足和斜足,BC是?内的一条直线,∠ABC=60°, ∠OBC=45°,求斜线AB和平面?所成的角. A 析: 已知 q=60 ° q2=45 ° 求解 解: q1=? B ? A B O C

cos q1

=

cosq 2= cosq1 cos q = 2
q1=45 °<线面角 >
B

cos q cos q2

O C 45° 射非角 q2 2 60°斜非角q

C

知识梳理 求平面的斜线与平面所成的角的方法 法一、定义 斜射角

直线和平面 所 成 的 角

法二、公式

cos q =cosq1 · q2 cos B

A

O C

例题剖析 3.求证:两条平行直线和同一平面所成的角相等. A 已知:AB∥A’B’, 求证:AB和A’B’与?所成的角相等 B 证明: AO⊥? A’O’⊥? A’

直线和平面 所 成 的 角

O B’ O’

? AO∥A’O’ AB∥A’B’
∠A=∠A’ ∠AOB=∠A’O’B’

∠ABO=∠A’B’O’

例题剖析 4.如图,点P是直角梯形ABCD所在平面外一 点,PA⊥面AC,∠BAD=90°,PA=AB=AD=1,CD=2, 求PC与面AC所成角的大小. 分析:定义法 RT△PAC中 PA=1 AC= 5 PC= 6 30 PC和面AC成角为 arccos 6
·

直线和平面 所 成 的 角

P D C

A

B

例题剖析 4.如图,点P是直角梯形ABCD所在平面外一 点,PA⊥AC,∠BAD=90°,PA=AB=AD=1,CD=2, 求PC与面AC所成角的大小. z (0,0,1) P 分析:向量坐标法 PA= (0,0,-1)
·

直线和平面 所 成 的 角

y (2,1,0)

(0,1,0,)

D

C

PC= (2,1,-1)

PA PC= 1
PA PC = 6 COS< PA ,PC >= 6 6

(0,0,0)

A

(1,0,0) x

B

PC和面AC成角为

π -arccos 6 2 6

知识回顾 1个定义 平面的斜线与平面所成的角

线射成角

直线和平面 所 成 的 角

1个原理 最小角原理

1个公式 cos q1 ·cos q2 = cos q
斜射角 射非角 斜非角

感 谢 老 师 同 学 们!


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