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微积分学基本定理PPT课件


微积分学基本定理

一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系

设某物体作直线运动,已知速度v ? v (t ) 是时 间间隔[T1 , T2 ]上t 的一个连续函数,且v ( t ) ? 0 , 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为

?T

T2
1

v ( t )dt

另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) ? s(T1 )

? ? v ( t )dt ? s(T2 ) ? s(T1 ). 其中 s?( t ) ? v ( t ). T
T2
1

三、牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本定理

[ 如果F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间 a , b] 上
的一个原函数,则?a f ( x )dx ? F ( b ) ? F ( a ) .
牛顿—莱布尼茨公式
b

?a f ( x )dx ? F (b) ? F (a ) ? ?F ( x )?
b

b a

微积分基本公式表明:
一个连续函数在区间 a , b] 上的定积分等于 [ 它的任意一个原函数在区间 a , b] 上的增量. [

求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意 当a ? b 时, ? f ( x )dx ? F (b ) ? F (a ) 仍成立. a
b

1 计算 : (1)? dx; 1 x 3 1 ( 2)? ( 2 x ? 2 )dx 1 x
2

( 3)? sin xdx;
0

?

(4)? sin xdx;
?

2?

(5)? sin xdx;
0

2?

例1

求 ? ( 2 cos x ? sin x ? 1)dx .
0

? 2



原式 ? ?2 sin x ? cos x ? x ?0
?
2

2 ?2 x 0 ? x ? 1 例2 设 f ( x ) ? ? , 求 ?0 f ( x )dx . 1? x ? 2 ?5

? ? 3? . 2



?0

2

f ( x )dx ? ?0 f ( x )dx ? ?1 f ( x )dx

1

2

y

在[1,2] 上规定当 x ? 1 时, f ( x ) ? 5 ,

原式 ? ? 2 xdx ? ? 5dx ? 6.
1 2 0 1

o

1

2

x

例3

求 ?? 2

?1

1 dx . x



1 当 x ? 0 时, 的一个原函数是ln | x | , x ?1 1 dx ? ?ln | x |??1 ? ln1 ? ln 2 ? ? ln 2. ?? 2 x ?2

例 4 计算曲线 y ? sin x 在[0, ?]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积.



面积 A ? ? sin xdx
0

?

y

? ?? cos x ? ? 2.
? 0

o

?

x

计算定积分的方法: ? f ( x )dx
a

b

(1)定义法 : ? f ( x )dx ? lim ?
b a n?? i ?1

n

b?a f (? i ) ? n

(分割, 近似, 求和, 取极限) ( 2)面积法(曲边梯形面积 ) ( x ? a , x ? b, y ? 0, y ? f ( x )( x ? [a , b]) ( 3)公式法( 微积分基本定理 F / ( x ) ? f ( x ) )

?

b

a

f ( x )dx ? F ( x ) | ? F ( b ) ? F ( a )
b a

计算定积分的方法: ? f ( x )dx
a

b

(1)定义法 ( 2)面积法(曲边梯形面积 ) ( 3)公式法( 微积分基本定理 F ( x ) ? f ( x ) )
/

?

b

a

f ( x )dx ? F ( x ) | ? F (b ) ? F ( a )
b a b b a a

(4)性质 : 1)? Cf ( x )dx ? C ? f ( x )dx 2)? f ( x ) ? g ( x )dx ?
a b

?

b

a

f ( x )dx ? ? g ( x )dx
a b c

b

3)? f ( x )dx ?
a

b

?

c

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx

基本的不定积分公式: (1)? K dx ? Kx ? C ; 1 ( 3)? dx ? ln | x | ?C x (4)? e dx ? e ? C
x x

1 n ?1 ( 2)? x dx ? x ?C n?1
n

a (5)? a dx ? ?C ln a
x

x

(6)? ln xdx ? x ln x ? x ? C (8)? sin xdx ? ? cos x ? C

x ln x ? x (7)? log a xdx ? ln a (9)? cos xdx ? sin x ? C

计算不定积分: (1)? ( x ? 3)( x ? 2)dx; ( x ? 1)( x ? 2) ( 2) ? dx; x cos 2 x ( 3) ? dx cos x ? sin x

计算不定积分: (1)? ( x ? 2)( x ? 2)dx;
2 2

( 2) ?

x ? x?5 dx; 2 x
4 2

( 3)? ( x ? 2) x dx (4)? (sin x ? cos x ) ? sin 2 xdx
2

( 5) ?

x?x e dx 3 x
3 x

计算不定积分: (1)? ( x ? 1) dx;
10

( 2)? ( 2 x ? 1) dx;
3

( 3)? sin 2 xdx (4)? cos(3 x ? 1)dx (5)? sin mxdx
2

例1:计算由曲线y2=x,y=x2所围图形 的面积S
例2:计算由直线y=x-4,曲线 y ? 2 x 以及x轴所围图形的面积S.

作业:P67A#1(注意画图)


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