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【教学设计】指数函数及其性质第一课时_数学

2.1.2 指数函数及其性质教学设计
【课标解读】 本节课是 《普通高中课程标准实验教科书· 数学 (1) 》 (人教 A 版) 第二章第一节第二课 (2.1.2) 《指数函数及其性质》 。课标中要求(1)通过具体实例(如细胞的分裂等) ,了解指数函数模型 的实际背景。 (2) 理解指数函数的概念和意义, 能借助计算器或计算机画出具体知识函数的图像, 探索并理解指数函数的单调性与特殊点。 (3)在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一 类重要的函数模型。根据我对课程标准的理解,我将《指数函数及其性质》划分为两节课(探究 指数函数图象及其性质,指数函数及其性质的应用) ,这是第一节课“探究指数函数图象及其性 质” 。指数函数是重要的基本初等函数之一,作为常见函数,它不仅是今后学习对数函数和幂函 数的基础,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究。 【教材分析】 指数函数是在学生系统的学习了函数概念、 基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的, 它 是重要的基本初等函数之一,作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学 习对数函数的基础,同时在生活及生产中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究。 本课主要学习指数函数的概念、图象,并根据图象归纳出指数函数的性质。在指数函数的概 念的讲解过程中, 既要说清楚指数函数的定义域是什么, 又要想学生交代为什么要规定底数是一 个大于 0 且不等于 1 的常量。 本节课的容量较大,为了提高效率,最好采用多媒体教学。 【学情分析】 本节课主要采用启发引导与合作探究相结合的教学方法。 通过精心设置问题并让学生动手作 图,使学生在观察、比较、分析、交流中掌握了指数函数的定义和性质。学生在学习函数时,往 往感到比较困难、抽象,不易理解和掌握,要让学生掌握学习函数的一般规律,而不会产生无所 适从的感觉。在教学中既有教师的引导、也有学生的自主探究与合作交流,鼓励学生发现数学规 律,让学生经历知识的形成过程。 整个教学过程的体现:以知识为载体,思维为主线,能力为目标的设计原则。引导学生善于 从实际问题中抽象出数学模型,提高观察、归纳、分析的能力;类比前面函数的学习,指导学生 掌握研究新函数思路并领会常见数学思想方方;引导学生自己发现问题、提出问题并予以解决, 倡导学生主动参与,通过不断探究、发现,在师生活动、生生互动中,让学习过程成为学生心灵 愉悦的主动认知过程。
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【教学目标】 1、知识与技能: (1)通过实际问题了解指数函数的实际背景,认识数学与现实生活的联系。 (2)理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数图像,探 2、过程与方法 (1)在学习过程中,体会研究具体函数及其性质的过程和方法。如具体到一般的过程、数 形结合的方法等。 (2)通过从实例中抽象概括指数概念的活动,培养学生抽象概括能力。 3、情感态度与价值观 (1)通过丰富的实例,建立指数函数概念背景的过程中,体会到数学与生活密不可分。 (2)通过动手、思考、合作交流、概括总结以及对指数函数图像和性质的探索发现,让学生 亲身经历硕学研究的过程。体验创造的激情、享受成功的喜悦、感受数学的魅力。 (3)通过合作探究培养学生合作交流意识、探索精神、探索问题的能力。 教学重点 :指数函数的图象、性质。 教学难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质。 【教学过程】 (一)创设情景、激发兴趣 情景一:某细胞分裂时,由一个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个, 。 。 。 。 。 。请你写出一个这样 的细胞分裂 x 次后,细胞个数 y 与 x 的关系式。 情景二: 《庄子 天下篇》中写到: “一尺之锤,日取其半,万世不竭” 。请你写出取 x 次后, 木棰的剩留量 y 与 x 的关系式。 次数 x 1 2 3 4 ? 细胞个数 y 木棒剩余 量y ?. ? ?.. 设计意图:在现实问题的解决中发现的数学概念、形成的数学方法,能促进学生在以后遇到 相关问题是自觉地运用有关的数学经验去思考、解决问题。 提出问题 1:他们能否构成函数?若能,说出这两个函数的共同特征是什么?能否写出一般 ? ? x

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形式? 教师组织学生思考、分小组讨论所提出的问题,注意引导学生从函数定义出发解释俩个问 题中变量之间的关系。并推荐代表解释两个问题中的变量间的关系为什么构成函数。 设计意图: 1、用函数的观点分析情境中变量之间的对应关系,为引出指数概念做准备。 2、让学生在问题情景中发现问题,遇到挑战,激发斗志。又引导学生在简单的具体问题中 抽象出共性,体验从简单到复杂,从特殊到一般的认知规律。 (二)归纳概括、形成概念 学生很快会发现:能构成函数关系、函数解析式都是指数形式,底数为定值且自变量在指 数位置。 教师指出:这就是我门今天研究的内容---指数函数,并板书课题。 不急于给出定义,而是把探求新知的权力交给学生,让学生根据以上俩个实例,自己抽象概 括出定义,鼓励学生大胆发表自己的见解。y 写出“初步”定义。 我们把函数 y=ax 称为指数函数。 问题 2:对于一次、二次、反比例函数等对常数有限制,对于指数函数中的常数 a 要不要有 什么限制?这个函数的定义域是什么? 形成概念是概念教学中至关重要的一步, 是通过对具体事物的感知、 辨别而抽象概括的过程, 这个过程应该通过学生自主探究去完成, 用自己的头脑亲自去发现事物的本质属性或规律, 进而 获得新概念,因此本环节采用“自主探究、合作交流” 、 学生举例,当 a 取负数时,自变量的取值十分麻烦,断断续续。学生感受到若 a 取负数 极不方便,应该让 a 取正数;同时,不应让自变量 x 的取值断断续续,因此,应该使自变量 x 的取值范围是 R。 学生能理解为什么 a≠1,那是因为没有研究的价值。 经过学生讨论、互相补充、达成共识。 得到指数函数的完善定义: 函数 y=ax(a>0,a≠1)称为指数函数。其中 x 是自变量,定义域是 R. 即自变量在指数位置的函数。 设计意图:引导学生从数学的内部提出问题,给学生提出问题以示范。然后再从生活中寻找 实例来印证这样的函数是客观存在的。让学生参与指数函数定义的过程。尤其是,对 a 的限制条 件,是学生讨论的结果,原因很清楚。让学生了解知识的来龙去脉,发生、发展的过程,不强加
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于人。 (三)典例剖析、应用概念 1.请指出下列函数哪些是指数函数: (1) y ? 2 (4) y ? ? (7) y ? x
x?2

(2) y ? (?2) (5) y ? x
2

x

(3) y ? ?2 (6) y ? 4 x
x

x

x

2

x

(8) y ? (a ?1)

( a >1,且 a ? 2 )

设计意图:加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。教师对定义的几个关键点在加以 强调,突出本节课的第一个重点,即指数函数概念的理解。 (四)观察分析、探究性质 让学生自己发现下一步要做的事情, 即先画出指数函数的图像, 根据图像研究指数函数的性 质,指数函数图像是怎样的呢?由特殊例子分析:提出 问题 3:从那些方面研究一个函数的性质? 让同桌俩人分别在课前所准备的坐标纸上用描点法(有条件的学校可用计算机)画指定的 指数函数图像;一人画 y=2x 与 y=(1/2)x ;y=3x 与 y=(1/3)x 在学生完成基本作图之后, 用投影展示学生作图,进一步规范学生的作图习惯,也为下一步研究函数性质扫清障碍。 有了画具体函数的基础为了得到一般性的图像。提出问题4 问题 4:你能画出 y=ax 的图像么? 有的同学可能不会对 a 进行分类,因此为了有助于学生理解,大屏幕上展示,并缓慢拖动点 A,使得 a 由小到大变化,跟踪图象显示踪迹(图 1) 。

图1 问题 5:你能根据所画的图像(几何画板演示)归纳概括指数函数的图像和性质么? 让学生按照课前的分组根据以上图像,展开讨论,观察函数性质,看那组发现的最多,并请 4 名同学板演。 同学们发现的指数函数性质可能有:
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(1)图象都过(0,1)点。 (2)定义域是(-∞,+∞) 。 (3)值域是(0,+∞) 。 (4)不是奇函数,也不是偶函数。 (5)当 a>1 时,函数单调增; 当 0<a<1 时,函数单调减。 1 (6)函数 y=ax 的图象与函数 y=( )x 的图象关于 y 轴对称。 a (7)1<a<b 时,若 x>0,则 ax<bx;若 x<0,则 ax>bx; 0<a<b<1 时,若 x>0,则 ax<bx;若 x<0,则 ax>bx。 可以根据情况让其他学生补充如(第 6、7 俩条性质) 对于第 (7) 条。 有的同学可能会有困难, 你曾经说过华罗庚说过的话 “数缺形时难直观” , 你能否画个图来说明一下,让同学们明白说的是怎么回事。 他画出图 2 做了说明,并画出了直线 y=1(虚线) 。

图2

图3

教师又动态演示一遍。 (图 3) (自下而上拖动点 A,提醒学生只观察 y 轴右边) 最后归纳成: 在 y 轴的右边,自下而上底数 a 越来越大。 (1)教师创设情境,让学生自己观察、发现指数函数的性质,不是教师罗列、告诉他们。 结果是他们自己获得的, “绝知此事要躬行” ! (2)不仅要求发现性质,还要求“看谁发现得多” 。学习的积极性、注意力被调动起来了, 进入主动的紧张的思维状态。这一要求使得学生不会发现一个、两个就罢,而是要争上游,尽可 能多发现。起了促进作用。 (3)板演。暴露学生发现性质的过程,观察学生的思维过程(比如顺序) ,也给后面的评价
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做了必要准备。 (4)事实证明,他们发现了老师没有想到的性质,如性质(7) 。同伴会发现,有人在自学, 走到了我的前面。对不甘落后的同学是一个激励,是榜样。青年学生有好胜、好强的心理倾向。 (5)绝大多数同学(可以说全体)都把“图象都过(0,1)点”作为指数函数的第一条性 质,这说明,这个特征最明显。 所谓性质,就是指在变化中不变的特征。学生对变动的函数图象进行观察,容易发现这一点 “不动点” 。 (五)巩固练习,应用新知 例 6 已知指数函数 f ( x) = a x (a >0, 且 a ≠ 1) 的图象经过点 (3, π ) ,求 f (0), f (1), f (3) 的值。 师:根据本题,你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗? 师:从方程思想来看,求指数函数就是确定底数,因此只要一个条件,即布列一个方程就 可以了。 设计意图 让学生明确底数是确定指数函数的要素, 向学生渗透方程的思想。 例 7:比较下列各题中俩个值的大小: (1)1.7 2.5,1.7 3 (2)0.8 ?0.1 ,0.8 ?0.2 (3)

1.7 0.3

,

0 .9 3 .1

师生共同总结:比较两个指数幂的大小:当底数相同时,利用指数函数的单调性;当底数不同 时,常寻找中间量,比如与 1 的大小;当含参数时,需分情况讨论. (六)归纳反思、提高认识 请同学门从知识和方法上谈谈对这一节课的认识和收获。 基本知识 基本方法 基本应用

指数函数的概念 指数函数的图像和性质

分类讨论思想 数形结合思想

比较大小

学生回答,其他同学补充,教师根据学生回答的情况进行评价和补充. 设计意图:不会反思,就不会学习,通过反思,深化知识的形成过程,完善认知结构,掌握研究 的方法和思路,拓展思维角度,提高思维层次. 【板书设计】

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指数函数及其性 质 定义: 电脑投影屏幕 性质: 学生板演展示区

3.课堂小结: 【巩固练习】 1、若有 y= (a ? 4) 是指数函数,求 a 的范围
x

2、若指数函数 y= (2a ? 1) 是一个减函数,求 a 的范围
x

3、比较下列各题中两个值的大小 (1) 1.5 ,0.8
0.3 0.2

(2) 0.75

?0.1

,0.750.1

4、判断函数 y ? a ? 1 的图象是否恒过一定
x

点?如果是,求出定点坐标,如果不是,说明理由。 【课后作业设计】 1.P59 A 组 第 5、8 题。 2、完成导学案指数函数及其性质的练习。 教学反思 1、本节课运用对媒体画出函数图像,让学生更直观的观察出对数函数的图像。对突破本节 课的重、难点起了很大的帮助。 2.本节课改变了以往常见的函数研究方法, 通过选取不同的底数 a 的指数图像, 让学生类比 研究指数函数图像及其性质并分组探究指数函数的图像和性质。 这个环节让学生合作学习, 合作 学习让学生感受到学习过程中的互助。 还能让学生自己建构知识体系, 更重要的是让学生体会到 对函数的研究方法, 以便能将其迁移到其他函数的研究中去, 教师可以真正做到“授之以渔”而 非“授之以鱼”。 3、本节课老师借助几何画板的直观图形, 以形助数, 以数定形,数形结合的数学方法, 收到了较好的研究效果。 并在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法, 让学生在活动中感受数 学思想方法之美、 体会数学思想方法之重要, 部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析、 思考问题。

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4、本节课运用多媒体课件后,课堂教学的容量大大增加,概念的呈现、过程的演示、例题 的讲解将会变得得心应手。整个课件要保留“重要的板书”。无论课件的进程如何,都应能较好 地体现教者的教学思路, 同时让学生时刻能够看到重要的教学内容,让学生有“板书”可记。 只有这样,我们的课件才起到既能代替传统意义的黑板,又能增加大量教学信息的作用。

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