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数字电路逻辑设计课件 第1章


第一章 数字逻辑基础

第一章 数字逻辑基础
1.1 数制及码制 1.2 逻辑代数 1.3 逻辑函数的表示方法 1.4 逻辑函数的简化

本章小结
习题

第一章 数字逻辑基础

1.1 数 制 及 码 制
1.1.1 模拟量与数字量 在自然界中,存在着形形色色的物理量,尽管它们的性质各异,但 就其变化规律的特点而言,可分为两大类:模拟量和数字量。 模拟量:在时间和数值上都具有连续变化特点的物理量叫做模拟量。 自然界广泛存在着的许多物理量都是模拟量,如温度、压力、距离、时

间等。
模拟信号:表示模拟量的电信号叫做模拟信号。 在工程应用中, 为了测量、传递和处理这些物理量,常把它们通过传感器转换成与之成

比例的电压值(或电流值),这些时间连续、幅值也连续的电信号表示和
模拟了实际的物理量。 例如:正弦波信号、话音信号等就是典型的模 拟信号。

第一章 数字逻辑基础

模拟电路:工作在模拟信号下的电子电路称为模拟电路。 数字量:在时间和数量上的取值是不连续的、离散的, 只能按有限个或可数的量化单位取值,这类物理量叫做数字 量。 例如:某一实际距离的值为3869.82526…km,若取量 化单位为1 km,则代表此距离的数字量为3870 km,若量化 单位为1 m,则数字量为3 869 825 m。量化单位的选择取决 于所要求的精度。 数字信号:表示数字量的信号称为数字信号。 数字信 号是一种脉冲信号(Pulse Signal), 脉冲信号具有边沿陡峭、 持续时间短的特点。 广义讲,凡是非正弦波形状的信号都 可称为脉冲信号。 例如:矩形波、方波、锯齿波等信号就 是典型的数字信号。

第一章 数字逻辑基础

数字电路:处理数字信号的电路称为数字电路。
同一物理量可以用连续的模拟信号表示,也可用离散的 数字信号表示。 同模拟信号相比,数字信号具有传输可靠、 易于存储、抗干扰能力强、稳定性好等优点。 因此,数字 电路的应用愈来愈广泛。

在数字电路中,只采用0、1两种数字表示数字信号,一
个0或一个1通常称为1 bit,有时也将一个0或一个1的持续时 间称为一拍。 “0”在数字电路中可代表低电平、开关的闭 合,也可代表无脉冲信号等;“1”可代表高电平、开关的断 开,也可代表有脉冲信号等。

第一章 数字逻辑基础

数字电路中把只由高、低两种逻辑电平组成的信号称为
数字信号,或数字逻辑信号,这种信号只能由数字电路进行 处理。 注意,数字逻辑信号不同于数字信号处理中所说的 数字信号。 对于数字信号处理系统来说,数字信号是一组 离散数据,可通过运算对其进行任何处理。

第一章 数字逻辑基础

1.1.2 数制及其转换
1. 数制 多位数码中每一位的构成方法以及从低位到高位的进位

规则称为计数进位制,简称数制(Number System)。 日常生
活中最常用的是十进制,数字电路及计算机等设备中还经常 使用二进制、八进制和十六进制。 对于任何一个数,可以 用不同的进制来表示。 1) 十进制(Decimal) 在十进制中,采用0~9十个数码,任何一个十进制数都 可以用这十个数码按一定规律并列在一起来表示,计数规则 为“逢十进一,借一当十”。 例如,十进制数749.25可表示 成 749.25 = 7×102+4×101+9×100+2×10-1+5×10-2

第一章 数字逻辑基础

上式中的102、101、100…称为十进制数数位的位权值。
十进制数各个数位的位权值是10的幂。 “10”称为十进制数 的基数。 对于任意一个十进制数N,均可按位权展开为
( N )10 ? (an ?1an ?2 ?a1a0 .a?1a?2 ? a?m )10 ? an ?1 ? 10n ?1 ? an ?2 ? 10n ?2 ? ? ? a1 ? 101 ? a0 ? 100

? a?1 ?10?1 ? a?2 ?10?2 ? ? ? a?m ?10?m
?

i ??m

? a ? 10
i

n ?1

i

(1-1)

第一章 数字逻辑基础

这种表示方法称为多项式表示法或按位权展开式。 上式中,
ai为十进制数第i位的数码,它可以是0~9这十个数码中的任 意一个;n表示整数部分的位数,m表示小数部分的位数, 因此i包含从n-1~0的所有正整数和从-1~-m的所有负整 数。 一般可用下角标10或D表示十进制数,如(12)10、(20)D 等。 若以R取代式(1-1)中的10,可得到任意R进制数的位权 展开式为
( N ) R ? (a n ?1 a n ? 2 ? a1 a 0 .a ?1 a ? 2 ? a ? m ) R ? a n ?1 ? R n ?1 ? a n ? 2 ? R n ? 2 ? ? ? a1 ? R 1 ? a 0 ? R 0 ? a ?1 ? R ?1 ? a ? 2 ? R ? 2
? ? ? a ?m ? R
?m

?

i ?? m

?

n ?1

ai ? R i

(1-2)

第一章 数字逻辑基础

式中,ai为R进制数第i位的数码;Ri为R进制数第i位的位权
值。 R称为计数制的基数或称为计数的模(mod),一般用下

角标R表示数N是R进制。

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2) 二进制(Binary)
在二进制中,只采用0和1两个数码,计数规则为“逢二 进一,借一当二”。 二进制的基数为2,每个数位的位权值 为2的幂。 任意一个二进制数的位权展开式为
(N )2 ?
i ?? m

?a ? 2
i

n ?1

i

(1-3)

式中,ai为第i位的0或1数码;2i为第i位的位权值。 例如, 二进制数11101.101按位权展开式为
(11101.101)2=1×24+1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3

二进制数N一般用下角标2或B表示,如(101)2、(110.1)B等。

第一章 数字逻辑基础

3) 八进制(Octal)
在八进制中,采用0~7八个数码,计数规则为“逢八进 一,借一当八”。 八进制的基数为8,其位权展开式为
( N )8 ?
i ?? m

?

n ?1

ai ? 8 i

(1-4)

八进制数N一般用下角标8或O表示,如(76)8,(35.1)O等。

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4) 十六进制(Hexadecimal)
在十六进制中,采用0~9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、 E(14)、F(15)共十六个数码,计数规则为“逢十六进一,借 一当十六”。 十六进制的基数为16,其位权展开式为
( N )16 ?
n ?1

i ?? m

?

ai ? 16i

(1-5)

十六进制数N一般用下角标16或H表示,如(E12)16, (2B)H等。

第一章 数字逻辑基础

2. 不同数制的转换
1) R进制—十进制转换 将R进制(R为二、八、十六)数转换为等值的十进制数, 其步骤为 (1) 将R进制数按位权展开,见式(1-2); (2) 将展开式按十进制运算规则相加,即可得到等值的 十进制数。 【例1-1】 将二进制数(11011.101)2转换成等值的十进 制数。 解:二进制数 1 1 0 1 1. 1 0 1 位权 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3

第一章 数字逻辑基础
(11011.101)2=1×24+1×23+0×22+1×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3
=16+8+0+2+1+0.5+0+0.125=(27.625)10

【例1-2】 将八进制数(157.304)8转换成等值的十进制数。 解:(157.304)8=1×82+5×81+7×80+3×8-1+0×8-2+4×8-3
=64+40+7+0.375+0.007 812 5=(111.382 812 5)10

【例1-3】 将十六进制数(F4.C)16转换成等值的十进制
数。 解:(F4.C)16= 15×161+4×160+12×16-1 = 240+4+ 0.75 = (244.75)10

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2) 十进制—R进制转换
将十进制数转换为等值的R(R为二、八、十六)进制数, 需将十进制数的整数部分和小数部分分别进行转换,然后再 将它们合并起来。 整数部分转换时,采用除基取余法,具体步骤如下: (1) 将十进制整数除以R进制的基R,并对每次得到的商 再依次除以R,直到商等于0为止。 (2) 将每次得到的余数按倒序写出来,即第一次的余数 作为R进制整数的最低有效位(Least Significant Bit,LSB), 最后一次的余数作为R进制整数的最高有效位(Most Significant Bit,MSB),所得数值即为等值R进制整数。

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【例1-4】 将十进制数(83)10转换成等值的二进制数。
解:将十进制数83依次除以二进制数的基数2,并取其 余数,转换过程如下:

因此

(83)10 = (1010011)2

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【例1-5】 将十进制数(93)10转换成等值的十六进制数。
解:将十进制数93依次除以十六进制数的基数16,并取 其余数,转换过程如下:

因此

(93)10 = (5D)16

十进制小数部分转换时,采用乘基取整法,即将十进 制小数依次乘以R,取每次得到的乘积的整数部分构成十进

制小数的各位数,直到小数部分为0或达到一定的精度为止。
第一次乘积的整数作为二进制小数的最高有效位,最后一 次乘积的整数作为二进制小数的最低有效位。

第一章 数字逻辑基础

【例1-6】 将十进制数(0.375)10转换成二进制数。

b-i表示小数点后第i次乘积的整数部分。 因此 (0.375)10 = (0.011)2 有整数和小数的十进制数转换成R进制数时,将整数和 小数部分分别进行转换,然后将结果合并起来。 例如,十进制数(83.375)10转换为二进制数时,综合例1-4 和例1-6的转换结果,可得 (83.375)10 = (1010011.011)2 十进制小数部分的转换有一个精度问题,不可能准确地 完全转换,只要满足所要求的精度即可。

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【例1-7】 将十进制数(0.46)10转换成二进制数。
(1) 要求转换误差不大于2-8; (2) 要求精度达到 0.1%。 解:(1) 要求误差不大于2-8,只需保留至小数点后第八 位,计算过程如下: 0.46×2 = 0.92 b-1 = 0 0.84×2 = 1.68 b-3 = 1 0.36×2 = 0.72 b-5 = 0 0.92×2 = 1.84 b-2 = 1 0.68×2 = 1.36 b-4 = 1 0.72×2 = 1.44 b-6 = 1

0.44×2 = 0.88 b-7 = 0
因此

0.88×2 = 1.76 b-8 = 1

(0.46)10≈(0.01110101)2

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(2) 由于二进制数的小数点后第九位为2-9=1/512≈ 0.2%,
第十位为2-10= 1/1024<0.1%,所以要达到0.1%的精度,需 保留至小数点后第十位。 接(1)的计算过程,有 0.76×2 = 1.52 0.52×2 = 1.04 因此 (0.46)10≈(0.0111010111)2 b-9 = 1 b-10 = 1

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3) 二进制—八进制、八进制—二进制转换
二进制数转换为八进制数时,由于三位二进制数恰好有

八个状态,所以将三位二进制数直接用一位八进制数代替。
划分原则为:以小数点为中心,整数部分从低到高每三位一 组,最高位不足三位其前添零补齐;小数部分从高到低每三 位一组,最低位不足三位其后添零补齐。 八进制数转换为二进制数时,将每位八进制数直接展开 成三位二进制数即可。

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4) 二进制—十六进制、十六进制—二进制转换
二进制数转换为十六进制数时,由于四位二进制数恰好

有十六个状态,所以将四位二进制数直接用一位十六进制数
代替。 划分原则为:以小数点为中心,整数部分从低到高 每四位一组,最高位不足四位其前添零补齐;小数部分从高 到低每四位一组,最低位不足四位其后添零补齐。 十六进制数转换为二进制数时,将每位十六进制数直接 展开成四位二进制数即可。

第一章 数字逻辑基础

5) 八进制—十六进制、十六进制—八进制转换
八进制数转换为十六进制数时,以二进制为桥梁,先将

八进制数转换为二进制数,再将二进制数转换为十六进制数。
同理,十六进制数转换为八进制数时,先将十六进制数 转换为二进制数,再将二进制数转换为八进制数。

第一章 数字逻辑基础

【例1-8】 将二进制数(10011101100.001110111)2分别
转换成八进制数和十六进制数。 解:转换过程如下:

因此

因此 (10011101100.001110111)2 = (4EC.3B8)16

第一章 数字逻辑基础

【例1-9】 将十六进制数(BE.29D)16转换成八进制数。
解:转换过程如下:

因此

(BE.29D)16 = (276.1235)8

第一章 数字逻辑基础

1.1.3 码制
数码不仅可以表示数量上的大小,而且还可用来表示特

定的事物。 例如“865”路公交车,学号060016等,这些数
码已没有表示数量大小的含意,只是一种人们事先约定而赋 予 特定事物的代号。 这种类型的数码称为代码。 在编制代码时所遵循的规则称为码制。

第一章 数字逻辑基础

1. 二—十进制代码(BCD代码)
在数字系统中,常用0、1两种数码的组合作为代码,称 为二进制码。 二进制码可以是多位数的,若用4位二进制码 表示1位十进制数的代码,称为二-十进制代码,简称 BCD (Binary Coded Decimal ) 代码。 BCD代码是用4位二进制码 的10 种组合表示十进制数 0~9 十个数码。 4位二进制码有24=16种组合,当用这些组合表示十进制

数0~9时,需在16种组合中选用10种组合,表1.1列出了几种
常用的BCD代码。

第一章 数字逻辑基础

BCD代码分为有权码和无权码两类。

第一章 数字逻辑基础

1) 有权BCD码
有权BCD码是指4位二进制数码都有确定的位权值。 如 表1.1中的8421码、2421码、5421码、631-1码等。 对于有权 BCD码,可根据位权展开求得所代表的十进制数。 例如:[1001]8421码 = 1×8+0×4+0×2+1×1 = (9)10

[1110]2421码 = 1×2+1×4+1×2+0×1 = (8)10
[0111]631-1码 = 0×6+1×3+1×1+1×(-1) = (3)10 最常用的有权BCD码是8421码,其位权值与自然二进 制数的位权值8、4、2、1一致,所以也称为自然权码。

第一章 数字逻辑基础

2421码各位的权依次为2、4、2、1,其组成特点是,2421码的前5
个码与8421码一致,后5个码是8421码加上(6)10 = (0110)2得到。 另一显 著特点是,将任意一个十进制数D的2421码的各位取反,正好是与9互补 的那个十进制数(9-D)的代码。 例如,将4的2421代码0100取反,得到 的代码1011,与9-4 = 5的2421码1011一致,即4和5、0和9、1和8、2 和7、3和6互为反码。 这种特性称为自补特性。 余3码、631-1码等也具 有自补特性,这在数字系统中非常有用。 5421码各位的权依次为5、4、2、1,其组成特点是,5421码的前5

个码与8421码一致,后5个码是8421码加上(3)10 = (0011)2 得到。 另一特
点是最高位连续5个0后连续5个1。 当计数器采用这种代码时,最高位 可产生对称方波输出。

第一章 数字逻辑基础

2) 无权BCD码
无权BCD码没有确定的位权值,不能按位权展开来求 所代表的十进制数。 如表1.1中的余3码、余3循环码、移存

码等。 但这些代码各有其特点,可应用于不同场合。
余3码是每个8421码加上(3)10 = (0011)2得到的。 用余3 码进行加减运算比8421码方便。 余3循环码的两个相邻代码 仅有一个数码不同,利用这种特性设计的计数器不会发生冒 险现象。 3) 用BCD码表示十进制数 在BCD代码中,4位二进制代码仅表示一位十进制数, 对一个多位十进制数编制代码,需要用与十进制位数相同的 几组BCD代码来表示。

第一章 数字逻辑基础

【例1-10】 用8421码、2421码、余3码分别表示十进制
数 869。 解: [869]10 = [1000 0110 1001]8421码= [1011 1001 1100]余3码
= [1110 1100 1111]2421码

如果用8421码表示R进制数,应先将R进制数转换成十 进制数,再用相应的几组BCD码表示出来。 例如: (1101.1)2 = (13.5)10 = (0001 0011.0101)8421码。 2. 格雷码 格雷码(Gray Code)是另一种无权码,表1.2列出了一种 典型的四位格雷码与相应的十进制码以及二进制码的对应关 系。

第一章 数字逻辑基础

第一章 数字逻辑基础

由表1.2可以看出,两个相邻的格雷码之间只相差一
位数码,其中整个4位格雷码的首、尾两组代码之间也只相 差一位数码,所以格雷码又称循环码。

第一章 数字逻辑基础

1.1.4 算术运算和逻辑运算
当两个二进制数表示数量上的大小时,它们可以进行数值运算,这 种运算称为算术运算。 运算规则为“逢二进一,借一当二”。 类似十

进制数运算规则“逢十进一,借一当十”。 例如,两个二进制数1001
和0101的算术运算为

第一章 数字逻辑基础

在数字电路和电子计算机中,二进制数的正、负号也用
0和1表示。 在定点运算的情况下,最高位为符号位,正数 为0,负数为1。 以后各位为二进制数码,这样的数码表示 方式称为原码。 例如:

在数字电路中,两数相减的运算是用加法运算实现的, 即减去一个数等于加上该数的补码。

第一章 数字逻辑基础

二进制数的补码是这样定义的:最高位为符号位,正数
为0,负数为1;正数的补码和它的原码相同;负数的补码是 将原码逐位求反,即0变为1,1变为0,然后在最低位上加1 得到的。 【例1-11】 (1010)2-(0011)2。 解:采用补码运算时,首先求出(+1010)2和(-0011)2的 补码:

然后将两个补码相加并舍去进位

第一章 数字逻辑基础

因此 (1010)2-(0011)2 = (0111)2 1位二进制数码0和1,不仅可以表示数量的大小,进行算术 运算,还可以表示两种不同的状态。 这时的0和1不再是通常的 二进制数,而是代表两种逻辑状态的符号,它们的意义完全由 事先约定。 如可以用1和0分别代表一件事情的是和非、真和伪、 有和无,或者表示电平的高和低、电路的通和断、电灯的亮和 灭等。 这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系称为二值逻辑, 它们之间按照某种逻辑关系进行的运算称为逻辑运算。 逻辑运 算和算术运算有着本质的区别。 下一节将重点介绍逻辑运算的 各种规律。

第一章 数字逻辑基础

1.2 逻辑代数
逻辑代数(Logic Algebra)是按一定逻辑规律进行运算的

代数,由英国数学家George Boole于1849年首先提出,因此
又称布尔代数(Boolean Algebra)。 1938年Claude E.Shannon 将布尔代数应用到继电器开关电路的设计中,因此又称开关

代数(Switching Algebra)。 逻辑代数是分析逻辑电路不可缺
少的有力工具,也是进行逻辑设计的理论基础。 逻辑代数中参与逻辑运算的变量称为逻辑变量,用大写 字母A、B、C、…、Z表示。 逻辑变量在二值逻辑中只有0 和1两种取值,分别代表逻辑变量的两种不同的逻辑状态。

第一章 数字逻辑基础

逻辑函数是由若干输入逻辑变量A、B、C、… 经过有
限的逻辑运算所决定的输出,若F是输入逻辑变量A、B、 C、… 的逻辑函数,则A、B、C、…的值确定以后,F的值 也就被唯一确定了。 A、B、C、… 是二值逻辑,因此F也是 二值逻辑。 F可用一个逻辑函数表达式F=f(A、B、C、…)来 表示。

第一章 数字逻辑基础

1.2.1 基本逻辑运算
逻辑代数中最基本的逻辑运算有与逻辑(AND)、或逻辑

(OR)、非逻辑(NOT) 三种,此外,还常采用一些复合逻辑
运算,如与非(NAND)、或非(NOR)、与或非(AND?OR?

NOT)、异或(XOR)和同或(XNOR)逻辑运算等。 任何复杂的
逻辑运算都可以通过这些基本逻辑运算来实现。

第一章 数字逻辑基础

1. 与逻辑
与逻辑表示这样一种因果逻辑关系:只有决定一事件的 全部条件同时具备时,该事件才会发生。 例如,在图1.1所 示的电路中,两个开关A和B 串联控制一个灯F,只有当两 个开关都接通时,灯才亮,其工作状态如表1.3所示。 若将 开关接通记作逻辑1,开关断开记作逻辑0;灯亮记作逻辑1, 灯灭记作逻辑0,则可写出表1.4。 这样一种把所有可能出现

的输入变量(如A和B)的组合及其对应的输出结果(如F)一一
列出来的表格称为真值表(Truth Table)。 真值表中通常把条 件或事件具备记作逻辑1,条件或事件不具备记作逻辑0。

第一章 数字逻辑基础

图1.1 与逻辑举例

第一章 数字逻辑基础

第一章 数字逻辑基础

在逻辑代数中,与逻辑也称为与运算或逻辑乘,可用如
下逻辑表达式表示 F=A· B (1-6) 上式读作“F等于A与B”。 式中的A和B是进行逻辑运算的逻 辑变量;“·”为逻辑乘运算符号,在不会发生混淆时,也可 将“·” 省略,写成 F = AB,在有些文献里,也有采用∧、∩ 及&等符号来表示逻辑乘;F是A和B的函数,它也是一个逻 辑变量。 从与逻辑真值表中可以得到 0· 0=0,0· 1=0,1· 0=0,1· 1=1 A· 0=0,A· 1=A,A· A=A (1-7) (1-8) 式(1-7)为与逻辑的运算规则,由此可以推出一般形式

第一章 数字逻辑基础

在实际应用中,可有多个变量进行与运算,例如,
F=A· C。 B· 在数字电路中,把能实现基本逻辑关系的基本单元电路 称为逻辑门电路。 能实现逻辑乘的基本单元电路称为与门, 两输入与门的逻辑符号如图1.2所示。 本书采用我国国家标

准图形逻辑符号,过去沿用的图形符号可能在旧一些的参考
书使用,国外常用图形符号在部分国外资料和EDA软件中 普遍使用。 对于与门来说,输入信号中只要有0,输出就为0;只有 当输入信号全为1时,输出才为1。

第一章 数字逻辑基础

图1.2 与门的逻辑符号

第一章 数字逻辑基础

2. 或逻辑
或逻辑表示这样一种因果逻辑关系:决定一事件的各种 条件中,有一个条件或者一个以上的条件满足,这一事件就 会发生。例如,在图1.3所示电路中,灯F受两个并联开关A 和B控制,当两个开关之中有一个接通时,灯便亮。 其工作 状态如表1.5所示,或逻辑真值表见表1.6。

第一章 数字逻辑基础

第一章 数字逻辑基础

在逻辑代数中,或逻辑也称为或运算或逻辑加,可用如
下逻辑表达式表示 F=A+B 符号来表示逻辑加。 从或逻辑真值表中可以得到 0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1 A+0=A,A+1=1,A+A=A (1-10) (1-11) 式(1-10)为或逻辑的运算规则,由此可以推出一般形式 实际应用中,可有多个变量进行或运算,例如,F=A+ B+C。 能实现逻辑加的电路称为或门,两输入或门的逻辑 符号如图1.4所示。 (1-9) “+”为逻辑加运算符号,在有些文献里,也有采用∨、∪等

第一章 数字逻辑基础

图1.4 或门的逻辑符号

第一章 数字逻辑基础

对于或门来说,输入信号中只要有一个为1,输出就为1;
只有当输入信号全为0时,输出才为0。

第一章 数字逻辑基础

3. 非逻辑
非逻辑是逻辑的否定,表示这样一种因果逻辑关系:当

事件发生的条件具备时,事件不会发生,反之,当事件发生
的条件不具备时,事件发生。 例如,在图1.5所示电路中, 开关A不接通时,灯F反而亮;A接通时,灯F反而不亮。 其 工作状态如表1.7所示,非逻辑真值表见表1.8。

第一章 数字逻辑基础

图1.5 非逻辑举例

第一章 数字逻辑基础

第一章 数字逻辑基础

在逻辑代数中,非逻辑也称为非运算或逻辑反,可用如
下逻辑表达式表示

F?A

(1-12)

读做“A非”或“非A”。 有的书上用“′”置于变量的右上方 表示非运算,即F=A′。 通常,A称为原变量,A 称为反变量。 从非逻辑真值表可以得到
0 ? 1, 1? 0

(1-13)

式(1-13)为非逻辑的运算规则,由此可以推出一般形式
A ? A ? 1, A ? A ? 0, A? A

(1-14)

第一章 数字逻辑基础

实现逻辑反的电路称为非门,非门的逻辑符号如图1.6
所示,图中的小圆圈是表示“非”的定性符号;若去掉小圆

圈,则成为没有非功能的缓冲器(Buffer)的符号。
对于非门来说,输入信号和输出信号永远具有相反的逻 辑值。 因而,非门又称为反向器(Inverter)。

第一章 数字逻辑基础

图1.6 非门的逻辑符号

第一章 数字逻辑基础

4. 与非逻辑
与非逻辑是与逻辑运算和非逻辑运算的复合,它将输入 变量先进行与运算,然后再进行非运算(先与后非),其逻辑 表达式为
F ? A? B

(1-15)

对于与非门来说,仅当所有输入都为1时,输出才为0, 而只要输入变量中有一个为0,输出就为1。

两输入与非门的逻辑符号如图1.7所示,其逻辑真值表
见表1.9。

第一章 数字逻辑基础

图1.7 与非门的逻辑符号

第一章 数字逻辑基础

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5. 或非逻辑
或非逻辑是或逻辑运算和非逻辑运算的复合,它将输入 变量先进行或运算,然后再进行非运算(先或后非),其逻辑 表达式为
F ? A? B

(1-16)

对于或非门来说,仅当所有输入都为0时,输出才为1, 而只要输入变量中有一个为1,输出就为0。

两输入或非门的逻辑符号如图1.8所示,其逻辑真值表
见表1.10。

第一章 数字逻辑基础

图1.8 或非门的逻辑符号

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6. 与或非逻辑
与或非逻辑是与逻辑运算和或非逻辑运算的复合,它是

先将输入变量A、B及C、D分别进行与运算,然后再进行或
非运算(先与后或非),其逻辑表达式为
F ? AB ? CD

(1-17)

2-2输入与或非门(第一个2表示一个与门有两个输入端, 第二个2表示另一个与门也有两个输入端)的逻辑符号如图 1.9所示,其逻辑真值表见表1.11。

第一章 数字逻辑基础

图1.9 与或非门的逻辑符号

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7. 异或逻辑
异或逻辑是只有两个输入变量的函数,其逻辑关系为: 当两个输入变量取值相异时,输出为1;否则输出为0。 异 或运算在功能上相当于不考虑进位的二进制加法运算,因而 有时候也被称为模2加运算。 异或运算是常见的逻辑运算, 其逻辑表达式为
F ? A ? B ? AB ? AB

(1-18)

“ ? ”为异或运算符号,逻辑符号如图1.10所示,其逻辑真
值表见表1.12。

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图1.10 异或门的逻辑符号

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从异或逻辑真值表可以得到
0 ? 0 ? 0, 0 ? 1 ? 1, 1 ? 0 ? 1, 1?1 ? 0

(1-19)

式(1-19)为异或逻辑的运算规则,由此可以推出一般形 式
A ? 1 ? A, A ? 0 ? A, A ? A ? 1, A ? A ? 0 (1-20)
? ? 根据式A?A=0,A?0=A可以推得:偶数个逻辑A进行

异或运算,其结果为0,奇数个逻辑A相异或,其结果仍为A。 例如,连续99个逻辑1相异或,其结果为1。 当多个0、1相异或时,起作用的是1的个数:奇数个1相 异或结果为1,偶数个1相异或结果为0。 例如:
1 ? 0 ? 1 ? 1 ? 0 ? 1, 1? 0 ? 0 ?1? 0 ? 0

第一章 数字逻辑基础

8. 同或逻辑
同或逻辑也称异或非逻辑,它也是只有两个输入变量的

函数,其逻辑关系与异或逻辑相反,即当两个输入变量相同
时,输出为1;相异时输出为0。 其逻辑表达式为

F = A⊙B ? A B ? AB

(1-21)

“⊙”是同或运算符号,其逻辑真值表见表1.13,逻辑符号如 图1.11所示。

第一章 数字逻辑基础

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图1.11 同或门的逻辑符号

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从同或逻辑真值表可以得到
0⊙0 = 1, 0⊙1 = 0, 1⊙0 = 0, 1⊙1 = 1 式 A⊙0 = A , A⊙1 = A,A⊙ A = 0,A⊙A = 1 (1-23) 根据式A⊙A = 1,A⊙1 = A可以推得:偶数个逻辑A进 行同或运算,其结果为1;奇数个逻辑A相同或,其结果仍 为A。 例如,连续98个逻辑0相同或,其结果为1。 当多个0、1相同或时,起作用的是0的个数:奇数个0相 同或结果为0,偶数个0相同或结果为1。 例如: 1⊙0⊙0⊙0⊙1 = 0, 1⊙0⊙0⊙1 = 1 (1-22) 式(1-22)为同或逻辑的运算规则,由此可以推出一般形

第一章 数字逻辑基础

对异或逻辑和同或逻辑进行比较后可看出,异或与同或
逻辑恰好相反,因此有 A⊙B = A ? B
A ? B ? A⊙ B

(1-24)
(1-25)

若两逻辑变量的原变量取值相同,则取非后其反变量的 值也相同;若两逻辑变量的原变量取值相异,则取非后其反 变量的值也相异,因此有 A⊙B = A ⊙ B
A? B ? A? B

(1-26) (1-27)

第一章 数字逻辑基础

若逻辑变量A和B取值相同,则 A 必与B相异,或A与 B
必相异;若逻辑变量A和B取值相异,则 A 必与B相同,或A 与 B 必相同,因此有 A⊙B = A ? B ? A ? B A⊙B= A ⊙B=A ⊙ B (1-28) (1-29)

第一章 数字逻辑基础

1.2.2 逻辑代数的基本定律
1. 逻辑函数的相等 设F(A1,A2,…,An),G(A1,A2,…,An)均为变量 A1, A2,…,An的逻辑函数。 若对应于A1,A2,…,An的任何一 组取值,F和G的值都相同,即F 和G的真值表相同,则称F 和G是相等的(或等值的、等价的),记作F = G。 反之,若F = G,则它们有相同的真值表。

要证明两个逻辑函数相等,只要分别列出它们的真值表,
如果完全一样,则两个逻辑函数相等。

第一章 数字逻辑基础

【例1-12】 设F(A,B)= A ? B ,G(A,B)= A · ,试 B 证明:F = G。
证明:首先根据F和G的逻辑函数表达式,分别列出其 真值表,如表1.14所示。 它是根据逻辑函数的表达式,对输 入变量的所有取值组合进行逻辑运算,从而求出相应的函数 值而得到的。 例如,对应于A、B的一组输入组合A = 1,B = 0,则 F(A,B)= A ? B ? 1 ? 0 ? 0

G( A, B) ? A· ? 1· ? 0·? 0 B 0 1

第一章 数字逻辑基础

第一章 数字逻辑基础

观察表1.14可看出,对应A,B的任意一组取值,F和G
的值完全相同,所以F = G。 逻辑函数 A ? B 和 A · 相等,说明不同的逻辑表达式可 B 实现相同的逻辑。 实现函数F和G的相应逻辑电路如图1.12 所示。 它们的结构形式和所用逻辑器件不同,但它们具有 的逻辑功能完全相同。

第一章 数字逻辑基础

图1.12 实现F和G的逻辑电路

第一章 数字逻辑基础

2. 基本定律
根据逻辑变量的与、或、非等运算规则,可推导出如下 逻辑代数的基本定律(公式): 自等律 A+0=A 0-1律 A+1=1 互补律 A+ A =1 重叠律 A+A=A 还原律 A =A 交换律 A+B=B+A A· B=B· A 结合律 A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C) A· C=(A· C=A· C) B· B)· (B· A· 1=A A· 0=0 A· =0 A A· A=A

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分配律A· (B+C)=AB+AC(乘对加分配)
A+BC=(A+B)(A+C)(加对乘分配) 反演律(又称De Morgan德· 摩根定律)
A ? B ? A· B A· ? A ? B B

在多个变量的情况下,反演律仍然适用,如
A ? B ? C ? D ? ... ? A ? B ? C ? D ? ? ?

A ? B ? C ? D? ? A ? B ? C ? D?

这些定律的证明,最直接的方法是列出等号两边函数的

真值表,看看是否完全相同。 也可以利用已知的定律来证
明其他定律。 例1-12就是用真值表证明了反演律。 【例1-13】 证明加对乘的分配律:A+BC=(A+B)(A+C)。

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也可用公式来证明:
(A+B)(A+C)=(A+B)· A+(A+B)· C =A· A+A· B+A· C+B· C (分配律) (分配律)

=A+AB+AC+BC
=A(1+B+C)+BC =A+BC 【例1-14】 证明等式 A AB ? AB 成立。 证明: AAB ? A( A ? B) ? AA ? AB ? AB ,故得证。 同理可以得到
AC B ? ACCB ? AC ABC

(重叠律)
(分配律) (0-1律)

该等式说明一个逻辑函数“非”号外面的变量可以放入“非”号下面,
而保持外面的变量不变。 这个等式可以当作公式来记忆,在以后的学 习中会用到。

第一章 数字逻辑基础

3. 异或和同或逻辑的基本定律
根据逻辑变量的异或、同或等运算规则,可推导出如下 基本定律(公式): ⊙ 求补律 自等律
A ?1? A

A⊙0 = A A⊙1 = A A⊙ A =0 A⊙A = 1 A⊙B = B⊙A A⊙B⊙C =(A⊙B)⊙C A+( B⊙C ) = ( A+B ) ⊙ ( A+C )

A?0 ? A

互补律 A ? A ? 1
重叠律 A ? A ? 0 交换律 A ? B ? B ? A 结合律 分配律
A ? B ? C ? ( A ? B) ? C

A( B ? C ) ? AB ? AC

第一章 数字逻辑基础

反演律 A ? B =A⊙B= A ⊙ B =? B A?

A⊙ ? A ? B ? A ? B ? A⊙B B

调换律 若A?B=C,则有A?C=B,B?C=A ? ? ? 若A⊙B=C,则有A⊙C=B,B⊙C=A

由变量调换律,不难证明
A+B=A?B?(A· B) ? ? A· B=A?B?(A+B) ? ? A· B=A⊙B⊙(A+B) A+B=A⊙B⊙(A· B) (1-30) (1-31)

多个变量的异或和同或逻辑之间的关系如下: 偶数个变量的异或和同或互补,即 A1?A2???An=A1⊙A2⊙?⊙An (n为偶数) ? ? ? 奇数个变量的异或和同或相等,即

A1?A2???An=A1⊙A2⊙?⊙An (n为奇数) ? ? ?

第一章 数字逻辑基础
? 【例1-15】 证明等式A(A?B)=A B 成立。 证明:

A(A?B)=AA?AB ? ?
? =A?AB

(分配律) (重叠律) (分配律) (求补律)

=A(1?B) ? =A B

第一章 数字逻辑基础

1.2.3 逻辑代数的基本规则
逻辑代数有以下三个重要规则。 1. 代入规则 对于任何一个含有某变量的等式,如果将所有出现该变 量的地方都代之以一个逻辑函数,则等式依然成立,这个规

则称为代入规则。
代入规则之所以能成立,是因为任何一个完全确定的逻 辑函数的取值和任何一个逻辑变量一样,只能是逻辑0和逻 辑1两种,所以,将逻辑函数作为一个逻辑变量对待,不会 改变原等式的逻辑关系。

第一章 数字逻辑基础

【例1-16】 若 A ? AB ? A ? B ,F=DC,利用代入规则将
F代换其中的A。 解:将等式两边的A用F代入,则有
DC ? DCB ? DC ? B

使用代入规则时需注意,在等式中一定要把所有出现被 代换变量的地方都代之以同一函数,尤其不要忘记非号下应 被代换的变量。 【例1-17】 反演律 A ? B ? A· ,用F=B+C+D+E代换其中 B 的B。 解:
A ? B ? C ? D ? E ? A? B ? C ? D ? E

? A? B ?C ? D ? E ? ?? ? A ? B ? C ? D ? E

第一章 数字逻辑基础

推广到n变量,则有
A1 ? A2 ? ? ? An ? A1 ? A2 ? An

同理可得
A1 ? A2 · ·n ? A1 ? A2 ? ? ? An ?A

上式把反演律推广到了多变量情况。

利用代入规则可以将基本公式推广为多变量的形式,扩
大了等式的应用范围。

第一章 数字逻辑基础

2. 反演规则
对逻辑函数F求反称为反演,F称为原函数,求反后的 函数记作 F ,称为反函数(或称为反演式,补函数)。 设F为一逻辑函数,如果将该逻辑函数表达式中所有的 原变量换成反变量,反变量换成原变量,“·”换成“+”,

“+”换成“·”,常量0换成1,1换成0,则所得到的逻辑函数
表达式就是 。 这就是反演规则,又称互补规则。 F 【例1-18】 已知 F ? AB ? C D ,求 F 。 解:由反演规则,可得
F ? ( A ? B)(C ? D)

第一章 数字逻辑基础

也可以用前面讲过的反演律求F的反,即
F ? AB ? C D ? AB ? C D
? ( A ? B)(C ? D) ? ( A ? B)(C ? D)

【例1-19】 已知 F ? A ? BCD ? E ,求 F 。 解:由反演规则,可得
F ? A ? ( B ? C ? D) ? E

使用反演规则时需遵守两个规则:一是要保证原函数逻 辑运算的优先顺序不变,为此,应合理地加入一些括号以避

免逻辑运算顺序出错;二是两个或两个以上变量所共用的长
非号保持不变。

第一章 数字逻辑基础

3. 对偶规则
若两逻辑式F和G相等,则它们的对偶式F*和G*也相等,这就是对 偶规则。

所谓对偶式是这样定义的:设F为一逻辑函数,如果将该逻辑函数
表达式中所有的“·”换成“+”,“+”换成“·”,常量0换成1,1换成0, 则所得到的新的逻辑函数表达式就是F*。 这个F*称为F的对偶式,或者 说F和F*互为对偶式。 例如: 若F=A(B+ C ),则F*=A+B C 若F=A+B C ,则F*=A(B+ C ) 观察上面例子可以看出,对逻辑式F的对偶式再求对偶,得到的是

原来的F,即
(F*)*=F 为了证明两个逻辑式相等,也可以通过证明它们的对偶式相等来完 成,因为有些情况下证明它们的对偶式相等更加容易。

第一章 数字逻辑基础

【例1-20】 已知 A ? B ? A· ,试证明 A· ? A ? B 。 B B
证明: A· 的对偶式为 A ? B B
A ? B 的对偶式为 A· B

而已知条件是两个对偶式相等,即 A ? B ? A· ,根据对偶规则,则 B
A· ? A ? B 。 B 【例1-21】 已知 F ? A ? BCD ? E ,求F*。

解:由对偶式定义,可得
F * ? A ? (B ? C ? D) ? E

求F的对偶式F*时注意,不需要将逻辑式中的原变量和反变量互换,

这是对偶式F*和反演式 的不同之处。 与求反演式要求遵守的规则一 F
样,仍要保证原函数的逻辑运算顺序不变,两个或两个以上变量所共用 的长非号保持不变。 一般情况下, F 和F*不相同,但也有两者相等的特殊情况。

第一章 数字逻辑基础

【例1-22】 求F=?? B 的对偶式F*。 A 解: ? ? ? =A⊙B

F ? ( A ? B) ? ( AB ? AB) ? ( A ? B)( A ? B)? AB ? A B

而 F ? A ? B ? A⊙B,故 F =F*。 因此,同或和异或互为反演式,也互为对偶式。 有些对偶式就是其本身。 例如,F= A ,F*= A 。 【例1-23】 求A(B?C)=AB?AC的对偶式。 ? ? 解:将等式两边求对偶式,得 A+(B⊙C)=(A+B)⊙(A+C)

该例是异或和同或逻辑分配律的一对公式。 仔细分析一下1.2.2节中
基本定律的每对公式,不难发现,它们皆互为对偶式。 因此,这些公 式只需记忆一半即可。

第一章 数字逻辑基础

1.2.4 常用公式
运用逻辑代数的基本定律,可以导出一些常用的公式,直接应用这 些导出公式可以方便地进行逻辑函数的化简。

1. 吸收律1
A+AB=A 证明: A+AB=A(1+B)=A· 1=A A(A+B)=A 该公式说明,如果两个乘积项进行或运算,其中一个乘积项的部分

对偶式为

因子(如AB项中的A)恰是另一乘积项(如A)的全部,则该乘积项(AB)是多
余的,可消去。 例如, AB ? ABC ? AB 等。

第一章 数字逻辑基础

2. 吸收律2

A ? AB ? A ? B
证明:

A ? AB ? ( A ? A)( A ? B)
? 1 ? ( A ? B) ? A ? B

(加对乘分配)

对偶式为

A( A ? B) ? AB
该公式说明,如果两个乘积项进行或运算,其中一个乘积项(如AB) 的部分因子(如A)恰好是另一乘积项的补(如A),则该乘积项中的这部分 因子(A)是多余的,可消去。 例如, A ? AB ? A ? B, AB ? AB C ? AB ? C 等。

第一章 数字逻辑基础

3. 吸收律3
AB ? AB ? A

证明:
AB ? AB ? A( B ? B) ? A ?1 ? A

对偶式为
( A ? B) ? ( A ? B) ? A

该公式说明,如果两个乘积项进行或运算,除了公有因 子(如A)外,不同因子恰好互补(如B和B),则这两个乘积项 可合并为一个由公有因子组成的乘积项。 例如, ABC ? ABC ? A ,ABC ? ABC ? AC 等。

第一章 数字逻辑基础

4. 多余项定律

AB ? AC ? BC ? AB ? AC
证明:

AB ? AC ? BC ? AB ? AC ? ( A ? A) BC
? AB ? ABC ? AC ? ABC
对偶式为 (分配律、交换律)

? AB ? AC

(吸收律1)

( A ? B)( A ? C)( B ? C) ? ( A ? B)( A ? C)

该公式说明,如果两个乘积项中的部分因子互补(如AB项和AC项中

的A和A),而这两个乘积项中的其余因子(如B和C)都是第三个乘积项中
的因子,则这个第三项是多余的,可消去。 该公式可推广为 推论1: AB ? AC ? BCDE? ? AB ? AC 推论2: AB ? AC ? BC( D ? EF ? ?) ? AB ? AC

第一章 数字逻辑基础

5. 交叉互换律
AB ? AC ? ( A ? C)( A ? B)

证明:
( A ? C)( A ? B) ? A A ? AB ? AC ? BC

? AB ? AC ? BC
? AB ? AC (多余项定律)

对偶式为
( A ? B)( A ? C) ? AC ? AB

例如,AB ? AB ? ( A ? B)( A ? B) 。

第一章 数字逻辑基础

1.3 逻辑函数的表示方法
同一个逻辑函数可以有多种不同的表示方法,常用的表 示形式有真值表、逻辑函数表达式(简称逻辑函数式、函数 式或逻辑式)、逻辑图、波形图、卡诺图和硬件描述语言等, 它们之间能相互转换。 卡诺图和硬件描述语言将在后面做 专门介绍,这一节只介绍前四种表示方法及其转换。

第一章 数字逻辑基础

1.3.1 不同的表示方法及其转换
1. 真值表与逻辑函数式 通常,任何一个实际的逻辑问题,都可以抽象成真值表

的形式。 建立真值表首先要确定输入变量和输出变量的个
数,然后在真值表的左边列出输入变量的所有可能取值组合, 右边列出每种输入组合下相应的输出逻辑值。 如果有n个输 入变量,由于每个输入变量只有两种可能的取值,因此一共 有2n个组合,在列真值表时,为避免遗漏和重复,变量取值 一般约定按二进制数递增规律排列。 将输出变量与输入变量之间的逻辑关系用“·”、“+”、 “-”、“?”、“⊙”等逻辑运算符连接起来的组合式, ? 即是所需的逻辑函数表达式。

第一章 数字逻辑基础

下面通过一个具体例子讨论列真值表以及由真值表写出
逻辑函数式的方法。 【例1-24】 列出下述问题的真值表,写出描述该问题 的逻辑函数表达式。 有A、B、C三个输入信号,当三个输入信号中有两个或 两个以上为高电平时,输出F为高电平,其余情况下,均输 出低电平。 解:A、B、C 三个输入信号一共有8种可能的取值组合, 即000、001、010、011、100、101、110、111,将这8种组 合分别列于表的左边。 设取值1表示高电平,取值0表示低 电平。 则根据问题的要求,可得表1.15所示的真值表。

第一章 数字逻辑基础

第一章 数字逻辑基础

1) 与-或表达式
逻辑变量之间只进行逻辑乘运算的表达式称为与项,亦称乘积项 (或积项)。 与项之间只进行逻辑加运算的表达式称为与-或表达式,或

称为“积之和”(sum of products)式。 例如,AB、 ABC是与项,
AB+ABC是与-或表达式。 在真值表中,用原变量A、B和C表示变量取值1,用反变量A、B和 C表示变量取值0;写出所有F=1的每一组输入变量组合对应的与项;将 这些与项相或,即得出F的与-或逻辑函数表达式。 上例中,对应于F=1的输入变量组合有四组,如有A=0,B=1,C=1, 用与项ABC来表示,其余三组的与项分别为ABC、ABC和ABC,将这些

与项相或后得到的逻辑函数表达式为
F=ABC+ABC+ABC+ABC 这种表达式描述了该例题中的逻辑功能。

第一章 数字逻辑基础

2) 或-与表达式
逻辑变量之间只进行逻辑加运算的表达式称为或项,亦

称和项。 或项之间只进行逻辑乘运算的表达式称为或-与表
达式,或称为“和之积”(Product of sums)式。 例如,A+B, A+B+C是或项,(A+B)(A+B+C)是或-与表达式。 在真值表中,用原变量A、B和C表示变量取值0,用反 变量A、B和C表示变量取值1;写出所有F=0的每一组输入 变量组合对应的或项;将这些或项相与,可得出F的或-与逻 辑函数表达式。

第一章 数字逻辑基础

上例中,对应于F=0的输入变量组合也有四组,如有
A=0,B=0,C=0,用或项 A+B+C 来表示,其余三组的或项 分别为A+B+C、A+B+C和A+B+C,将这些或项相与后得到 的逻辑函数表达式为 F=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) 这种表达式同样也描述了该例题中的逻辑功能。 由于与-或表达式和或-与表达式是对同一张真值表的两种 不同的表示方法,因此二者是等值的。 若已知逻辑表达式要求列出真值表,只需将输入变量取 值的所有组合状态逐一代入逻辑式求出其逻辑值,列成表, 即可得到真值表。

第一章 数字逻辑基础

【例1-25】 已知逻辑函数F(A,B,C)=AC,求它对应
的真值表。

解:F(A,B,C)表示函数有A、B、C三个变量,将三
变量的23= 8种取值逐一代入F式中计算,计算结果列表,即 得表1.16所示的真值表。

第一章 数字逻辑基础

第一章 数字逻辑基础

2. 逻辑函数式与逻辑图
将逻辑函数式中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用

逻辑图形符号表示出来,再用线段将这些符号与对应的逻辑
变量连接起来,就可画出表示函数关系的逻辑图。 逻辑图 比较直观,容易看出逻辑结构,在数字电路中,也是用逻辑 符号表示基本单元电路,因此逻辑图接近工程实际的电路原 理图,它是一种重要的表示方法。

第一章 数字逻辑基础

若逻辑函数式已知,转换为相应的逻辑图时,只需用逻
辑图形符号代替逻辑函数式中的逻辑运算符号并按运算优先 顺序将它们连接起来,即可得到相应的逻辑图。 如例1-12 中的图1.12是由逻辑函数式F(A,B)=A+B和G(A,B)=A· B分 别画出的逻辑图。

若逻辑图已知,转换为相应的逻辑函数式时,只需从逻
辑图的输入端到输出端逐级写出每个图形符号的输出逻辑式, 即可在输出端得到相应的逻辑函数式。 【例1-26】 已知函数的逻辑图如图1.13所示,写出它 的逻辑函数式。

第一章 数字逻辑基础

图1.13 例1-26逻辑电路图

第一章 数字逻辑基础

解:这是由两个非门和三个或非门组成的逻辑图。 从
输入A、B开始,逐个写出每个图形符号输出端的逻辑式,

得到 F ? A ? B ? A ? B 。 将该式变换后得到

F ? A ? B ? A ? B ? ( A ? B)( A ? B)
? A B ? AB =A⊙B
可见,输出F和A、B间是同或关系,即该逻辑图实现的是一
个同或功能。

第一章 数字逻辑基础

3. 真值表与波形图
将逻辑函数中输入变量每一种可能出现的取值与对应的 输出值按时间顺序依次排列起来就是该逻辑函数的波形

(Waveform)图,也称时序图(Timing Diagram)。
在将真值表转换为波形图时,只需将真值表中所有的输 入变量与对应的输出变量取值依次排列画成的波形,就是所 求的波形图。 画波形图时要注意,横坐标是时间轴,纵坐标是变量取 值。 由于时间轴相同,变量取值只有0和1两种可能,所以 图中可不标出坐标轴。 【例1-27】 将例1-25所得到的真值表转换为波形图。 解:例1-25真值表的波形图如图1.14所示。

第一章 数字逻辑基础

图1.14 例1-25所得到的真值表的波形图

第一章 数字逻辑基础

已知逻辑函数波形图求对应的真值表时,应先从波形图
上找出每个时间段里输入变量与函数输出的取值,然后将这

些输入、输出值对应列成真值表形式即可。 读者可自己练
习。

第一章 数字逻辑基础

1.3.2 逻辑函数的两种标准形式
逻辑函数的标准形式(即标准表达式)有最小项表达式和

最大项表达式两种。 逻辑函数的表达形式有多种,而标准
形式是唯一的,它们和真值表有严格的一一对应关系。 从

逻辑函数的标准式可以了解逻辑函数的基本结构,以便后面
用卡诺图表示和化简逻辑函数。

第一章 数字逻辑基础

1. 最小项
逻辑函数的最小项(Minterm)是一个乘积项,在该乘积项中包含了逻 辑函数的全部变量,其中每个变量都要以原变量或反变量的形式出现一

次,而且仅出现一次。 例如,两个变量A、B可以构成AB、AB、AB、
AB四个最小项。 三个变量A、B、C可以构成ABC、ABC、ABC、ABC、 ABC、ABC、ABC、ABC八个最小项。 一般地,n个变量可构成2n个最小 项。 最小项可用符号mi 表示,下标i的确定方法是:对于最小项中的各 变量,用1代替其中的原变量,用0代替其中的反变量,得到一个二进制 数,下标i就是与此二进制数等值的十进制数。 例如,三变量的一个最

小项ABC仅和变量取值000对应,故用m0表示这个最小项;四变量的一
个最小项ABCD仅和变量取值1001对应,故用m9表示该最小项。 表1.17 列出了三变量的全部最小项的真值表。

第一章 数字逻辑基础

第一章 数字逻辑基础

观察表1.17可以看出,最小项具有以下主要性质:
① 对于任意一个最小项,取值为1的机会只有1次, 即只有一组变量的取值可以使其值为1,而变量的其他取值 都使该最小项为0; ② 任意两个不同的最小项mi和mj的逻辑乘恒为0,即 mi· j=0 (i≠j) m ③ n个变量的所有最小项(2n个)的逻辑加恒为1,即
2 n ?1 i ?0

?m

i

?1

第一章 数字逻辑基础

2. 最大项
逻辑函数的最大项(Maxterm)是一个和项,在该和项中包含了逻辑 函数的全部变量,其中每个变量都要以原变量或反变量的形式出现一次,

而且仅出现一次。 例如,两个变量A、B可以构成A+B、A+B、A+B、
A+B四个最大项。 三个变量A、B、C可以构成八个最大项。 一般地,n 个变量可构成2n个最大项。

最大项可用符号Mi表示,下标 i 的确定方法是:对于最大项中的各
变量,用0代替其中的原变量,用1代替其中的反变量,得到一个二进制 数,下标 i 就是与此二进制数等值的十进制数。 例如,三变量的一个最

大项A+B+C仅和变量取值111对应,故用M7表示。 四变量的一个最大项
A+B+C+D仅和变量取值1110对应,故用M14表示。 表1.18列出了三变量 的全部最大项的真值表。

第一章 数字逻辑基础

第一章 数字逻辑基础

观察表1.18可以看出,最大项具有以下主要性质:
① 对于任意一个最大项,取值为0的机会只有1次,即

只有一组变量的取值可以使其值为0,而变量的其他取值都
使该最大项为1; ② 任意两个不同的最大项Mi和Mj的逻辑加恒为1,即 Mi+Mj=1 (i≠j) ③ n个变量的所有最大项(2n个)的逻辑乘恒为0,即

?M
i ?0

2 n ?1

i

?0

第一章 数字逻辑基础

3. 最小项与最大项之间的关系
变量数相同,编号相同的最小项和最大项之间存在互补

关系,即

M i ? mi , mi ? M i
例如,
M 7 ? A ? B ? C ? A ? B ? C ? m7 m3 ? A ? B ? C ? A ? B ? C ? A ? B ? C ? M 3

第一章 数字逻辑基础

4. 最小项表达式
逻辑函数的最小项表达式是指每个与项都是最小项的与 -或表达式,也称标准与-或式、标准积之和式。 下面是最小 项表达式的几种不同表达形式:
F ( A, B, C) ? ABC ? ABC ? ABC

? m0 ? m4 ? m6
? ? m ( 0,4,6)

逻辑函数的最小项表达式可由配项法和真值表法得到。

第一章 数字逻辑基础

1) 配项法
对于不是标准与-或形式的与-或表达式,可利用互补律 进行配项,之后再展开成标准与-或表达式。 【例1-28】 将 F ( A, B, C, D) ? ABC ? ACD ? C D 展开成 最小项形式。 解:
F(A,B,C,D) ? ABC ? ACD ? C D

? ABC ( D ? D ) ? A( B ? B )CD ? ( A ? A)C D ? ABCD ? ABC D ? ABCD ? ABCD ? AC D ? A C D ? ABCD ? ABC D ? ABCD ? A BCD ? AB C D ? AB C D
? m15 ? m14 ? m7 ? m3 ? m8 ? m12 ? m4 ? m0 ?

? A B C D ? ABC D

? m(0, 3, 4, 7, 8,12, 14, 15)

第一章 数字逻辑基础

要注意的是,F(A,B,C)和F(C,B,A)的区别,读者
可做一做F(A,B,C)= AB ? BC ? ABC 和F(C,B,A)= AB ? BC ? ABC 的最小项展开式。 同一逻辑式对应的最小 项的编号是不同的。 2) 真值表法 由于真值表的每一行对应着一个最小项,故由真值表写 出标准与-或式是很容易的,只要将真值表中使函数值为1的 各个最小项相或,便可得出该函数的最小项表达式(参见例 1-24与-或表达式)。 【例1-29】 将表1.19真值表所示的逻辑函数用最小项 表达式表示。

第一章 数字逻辑基础

第一章 数字逻辑基础

解:最小项表达式为
F ( A, B) ? A B ? AB ? m0 ? m2
? ? m(0, 2)

第一章 数字逻辑基础

5. 最大项表达式
逻辑函数的最大项表达式是指每个或项都是最大项的或 -与表达式,也称标准或-与式、标准和之积式。 下面是最大 项表达式的几种不同表达形式:
F ( A, B, C) ? ( A ? B ? C)( A ? B ? C)( A ? B ? C)

? M 7 ? M 3 ? M1

? ? M (1, 3, 7)

对于不是标准或-与形式的或-与表达式,与最小项类似, 可利用互补律配项,之后再整理成标准或-与形式,也可通

过真值表得到。

第一章 数字逻辑基础

【例1-30】 将F(A,B,C)= ( A ? B)( A ? B ? C) 写成标
准的或-与形式。 解: F(A,B,C)= ( A ? B ? C ? C)( A ? B ? C)
? ( A ? B ? C )( A ? B ? C )( A ? B ? C )
? M 0 ? M1 ? M 4
? ? M (0,1, 4)

真值表的每一行也对应着一个最大项,只要将真值表中 使函数值为0的各个最大项相与,便可得出该函数的最大项表

达式(参见例1-24或-与表达式)。

第一章 数字逻辑基础

【例1-31】 将表1-19真值表所示的逻辑函数用最大项
表达式表示。 解:最大项表达式为
F ( A, B) ? ( A ? B)( A ? B) ? M 1 ? M 3 ? ? M (1, 3)

第一章 数字逻辑基础

6. 最小项表达式与最大项表达式的关系
最小项表达式与最大项表达式是同一函数的两种不同表 示形式,因此二者在本质上是相等的。 观察例1-29和例 1-31,对同一真值表,即同一函数,其最小项表达式和最大 项表达式是相等的,即
F ( A, B ) ? ? m(0, 2) ? ? M (1, 3)

可以看出,两种标准式中的最小项和最大项序号间存在 一种互补关系,即最小项表达式中未出现的最小项序号k必以

最大项的序号k出现在最大项表达式中,反之亦然。 利用这
一特性,可以方便地根据一种标准表达式写出另一种标准表 达式。

第一章 数字逻辑基础

例如,F(A,B,C)= ?m(0,1, 4, 7) 的最大项表达式为
F(A,B,C)= ? M ( 2, 3,5,6) 。 【例1-32】 已知函数F的真值表见表1.20,写出其反演 式、对偶式的最小项表达式。

第一章 数字逻辑基础

第一章 数字逻辑基础

解: F为1的每一行对应F所包含的最小项,F为0的每
一行对应 F 所包含的最小项,于是有
F ? ? m ( 0, 3, 5)

F?

?m(1, 2, 4, 6, 7)

F ? A B C ? ABC ? ABC F * ? ( A ? B ? C)( A ? B ? C)( A ? B ? C)

? M (7, 4, 2) ? ? m(0,1, 3, 5, 6)
?

第一章 数字逻辑基础

观察此例可看出,若逻辑变量数为n, F 由2n个最小项
中除去F中已包含的最小项以外的全部最小项组成。 F*中

的最小项与 F 中的最小项一一对应,其对应关系为:若 F
中的最小项号码为i,则F*中的最小项号码为(2n-1)-i。

第一章 数字逻辑基础

1.3.3 逻辑函数的常见表达式
逻辑函数表达式除了标准形式外,还有一些常见的形式。 一种表达式可以通过使用公式和规则作多次变换后得到多种 形式。 常见的表达式有以下几种形式:
F ? AB ? BC
? ( A ? B)( B ? C)
? AB ? BC ? AB · BC
? ( A ? B)( B ? C ) ? A ? B ? B ? C

与-或式

或-与式
与非-与非式 或非-或非式 与或非式 标准与-或式

? AB ? BC
? ABC ? AB C ? ABC ? ABC

? ( A ? B ? C )( A ? B ? C )( A ? B ? C )( A ? B ? C ) 标准或-与式

第一章 数字逻辑基础

1.4 逻辑函数的简化
如前所述,同一函数的逻辑表达式有多种形式,或繁或

简。 简单的形式对应简洁的电路,烦琐的形式对应复杂的
电路。 而在工程实践中,总希望电路的结构简单,用较少

的逻辑器件来实现某一逻辑功能,这就需要对逻辑函数进行
化简或变换,以简化电路、节省器件、降低成本,提高系统 的可靠性。 本节主要介绍如何将一个逻辑函数表达式化简 成最简的与-或式,由最简与-或式可以推导出其他形式。

第一章 数字逻辑基础

使电路最简的与-或式应满足:(1) 乘积项的个数最少,
这意味着实现电路所用门的个数较少;(2) 每个乘积项中包

含的变量个数(因子)最少,这意味着电路中与其对应的门的
输入端个数较少。 化简的主要方法有公式化简法(代数法)、 卡诺图化简法以及适用于编制计算机辅助分析程序的Q-M简 化法(列表法)等。 下面主要介绍前两种化简方法。

第一章 数字逻辑基础

1.4.1 公式化简法
公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式和常用公式消 去函数式中多余的乘积项和多余的因子,以求得函数式的最 简形式。 现将经常使用的方法归纳如下。 1. 并项法 利用公式 AB ? AB ? A 将两项合并成一项,并消去一个变 量。 需要注意的是,根据代入规则可知,A和B均可以是任 何复杂的逻辑式。 【例1-33】 化简下列函数
F1 ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC F2 ? BCD ? BC D ? BC D ? BCD

第一章 数字逻辑基础

解:
F1 ? AC ( B ? B ) ? AC ( B ? B ) ? AC ? AC ? A F2 ? B(CD ? C D ) ? B(C D ? CD) ? B (C ? D ) ? B (C ? D ) ?B

第一章 数字逻辑基础

2. 消项法
利用公式A+AB=A及 AB ? AC ? BC ? AB ? AC 消去(吸收) 多余的乘积项。 A和B同样也可以是任何复杂的逻辑式。 【例1-34】 化简下列函数
F1 ? ABC ? AD ? CD ? BD F2 ? A ? AD B ? B ? CD

解:
F1 ? ABC ? ( A ? C ) D ? BD ? ABC ? ACD ? BD
(根据多余项公式消去BD,将 ? ABC ? AD ? CD F2 ? A ? AD ? B ? BCD ? A ? B
AC D 展开)

第一章 数字逻辑基础

3. 消去互补因子法
利用公式 A ? AB ? A ? B 消去多余的因子。 A和B可以是 任何复杂的逻辑式。 【例1-35】 化简下列函数
F1 ? A ? ABCD ? C F2 ? AC ? AD ? CD

解:
F1 ? A ? BCD ? C ? A ? BD ? C F2 ? AC ? ( A ? C ) D ? AC ? ACD ? AC ? D

第一章 数字逻辑基础

4. 配项法
利用公式A+ A =1,将某乘积项乘以A+ A ,并展开为两 项。 也可利用多余项公式添加多 余项,再与其他乘积项进行合并化简。 【例1-36】 化简下列函数
F1 ? A B ? B C ? BC ? AB
F2 ? AB ? AC ? BC ? BC ? ADEF

解:

F1 ? A B ? B C ? BC ? AB ? A B(C ? C ) ? B C ? BC( A ? A) ? AB ? A BC ? A B C ? B C ? ABC ? ABC ? AB ? ( A BC ? ABC) ? ( A B C ? B C ) ? ( ABC ? AB) ? AC ( B ? B) ? B C ( A ? 1) ? AB(C ? 1) ? AC ? B C ? AB

第一章 数字逻辑基础
F2 ? A( B ? C ) ? BC ? BC ? ADEF ? ABC ? BC ? BC ? ADEF ? A ? BC ? BC ? ADEF ? A ? BC ? BC

第一章 数字逻辑基础

5. 或-与式的化简法
【例1-37】 化简函数
F ? A( A ? B)( A ? C )( B ? D)( A ? C ? E ? F )( B ? F )( D ? E ? F )

解:这是一个或-与表达式,可利用各公式的或-与式来 进行化简:
F ? A( A ? B)( A ? C)( B ? D)( A ? C ? E ? F )(B ? F )( D ? E ? F ) ? A( A ? C)( B ? D)( B ? F ) ? AC( B ? D)( B ? F )

若对或-与形式的公式不熟练,可采用二次对偶法更为方 便。 即对或-与表达式求其对偶,变成与-或式,并对该与-或 式进行化简,最后将化简后的与-或式再求对偶,即可得到原 函数的最简或-与式。

第一章 数字逻辑基础

上例中,可以先求F的对偶式并进行化简:
F ? ? A ? AB ? AC ? BD ? ACEF ? BF ? DEF ? A ? AC ? BD ? BF ? A ? C ? BD ? BF

由等式(F*)*=F可知,求F*的对偶式,即为F的最简函数式:
F ? AC( B ? D)( B ? F )

两种方法的化简结果是相同的。 由上述举例可以看出,利用公式法化简逻辑函数,要求

熟练掌握对公式的运用,技巧性较强,而且化简后的结果不
易判断是否已简化到最简形式。

第一章 数字逻辑基础

1.4.2 卡诺图化简法
卡诺图(Karnaugh Map)化简法是将逻辑函数用卡诺图表

示,在卡诺图上进行函数化简的方法。 这种方法简便直观,
是逻辑函数化简的一种常用的比较快捷的方法,尤其适合于 输入变量小于5个的逻辑函数化简。

第一章 数字逻辑基础

1. 卡诺图结构
卡诺图实际上是真值表的另一种形式。 它是将逻辑变 量分成两组,每一组变量取值组合按循环码的规则排列所构 成的方格图,图中的每一个小方格代表真值表上的一行,真 值表有多少行,卡诺图就有多少个小方格。

所谓循环码,是指相邻两组编码之间只有一个变量值不
同的编码。 对于两变量,4种取值组合按00→01→11→10排 列,这里的相邻包含头、尾两组,即00与10也是相邻的。 例如,表1.21所列真值表可以改画成图1.15(a)或(b)的卡 诺图形式。

第一章 数字逻辑基础

第一章 数字逻辑基础

图1.15 函数的真值表和卡诺图

第一章 数字逻辑基础

图1.16(a)、(b)、(c)和(d)分别画出了二到五变量卡诺图的一般形式。
从图中可以看出,对于n个变量,有2n个最小(大)项,就要画2n小方格, 每一个小方格内标注了对应的最小(大)项,也可以直接标注最小(大)项 的编号。 如果一个逻辑函数的某两个最小(大)项只有一个变量不同,其余变 量都相同,则称这样的两个最小(大)项为相邻最小(大)项。 如ABC(m7)的 相邻最小项有三个:ABC(m3)、ABC(m5)和ABC(m6);ABCD(m15)的相邻 最小项有四个:ABCD(m7)、ABCD(m11)、ABCD(m13)和ABCD(m14);

A+B+C(M0)的相邻最大项有三个: A+B+C(M4)、A+B+C(M2)和
A+B+C(M1)等。 n变量的每一个最小(大)项都有n个相邻项。

第一章 数字逻辑基础

从图1.16卡诺图上可以看出,任意两个相邻的最小项在
图中几何位置也是相邻的,如三变量的m7同它的三个相邻 项m3、m5、m6在图中的位置相邻;包括上下两边、左右两 边以及四个角都分别相邻。 相邻的最小(大)项可以合并消去 一个变量,如m7和m5相邻,m7+m5= ABC ? ABC ? AC(B ? B) ? AC 。 卡诺图化简的实质就是相邻最小(大)项的合并。 五变量的卡诺图是由两个四变量卡诺图构成的。 其最 小项除了几何位置相邻的四个相邻项外,以图中双竖线为轴 对折后的重合位置上的两个最小项也是相邻的。 如m5除了 和m1、m4、m7、m13相邻外,和m21也是相邻的。 可以看出, 五变量以上的函数,利用卡诺图合并相邻项并不直观。

第一章 数字逻辑基础

图1.16 卡诺图一般形式

第一章 数字逻辑基础

2. 逻辑函数的卡诺图表示
由于任意一个n变量的逻辑函数都可以变换成最小项表 达式,自然可以用卡诺图来表示任意一个逻辑函数。 具体 方法是:将逻辑函数写成最小项表达式,该函数包含有哪几 个最小项,就在卡诺图相对应的方格内填1,逻辑函数不包 含的最小项,其对应的方格填0或空着,这样就得到了表示 该逻辑函数的卡诺图。 也就是说,任何一个逻辑函数都等

于它的卡诺图中添1的那些最小项之和。
【例1-38】 用卡诺图表示逻辑函数
F ( A, B, C) ?

? m(3, 5, 6, 7)

第一章 数字逻辑基础

解:可在三变量卡诺图对应的m3、m5、m6、m7方格内
填1,其余方格填0,见图1.17。

图1.17 例1-38卡诺图

第一章 数字逻辑基础

如果逻辑函数不是最小项表达式的形式,可将逻辑函数
变换成最小项表达式,然后再填写卡诺图。 【例1-39】 用卡诺图表示逻辑函数 解:
F ? ABC ? ABD ? AC ? ABC D ? ABC D ? ABC D ? ABCD ? ? ABC D ? ABCD ? ABC D ? ABCD ? m?8, 9, 5, 7, 10, 11, 14, 15?
F ? ABC ? ABD ? AC 。

?

卡诺图表示见图1.18。

第一章 数字逻辑基础

图1.18 例1-39卡诺图

第一章 数字逻辑基础

学习中需要注意卡诺图和函数最小(大)项表达式的关系:
(1) “1格”代表的最小项进入函数的最小项表达式,“0

格”代表的最小项不进入函数的最小项表达式;
(2) “0格”代表的最大项进入函数的最大项表达式,“1 格”代表的最大项不进入函数的最大项表达式。 *【例1-40】 已知逻辑函数F的卡诺图如图1.19所示, 试写出该函数的最大项逻辑式。

第一章 数字逻辑基础

图1.19 例1-40卡诺图

第一章 数字逻辑基础

解:因为函数F等于卡诺图中添入0的那些最大项之积,
所以有
F ? ( A ? B ? C ? D)( A ? B ? C ? D)( A ? B ? C ? D) ·A ? B ? C ? D)( A ? B ? C ? D) (
?

?M (0,1, 2, 6,12)

第一章 数字逻辑基础

3. 用卡诺图化简法求逻辑函数的最简与-或表达式
卡诺图化简逻辑函数的原理如前所述,就是合并相邻的

最小(大)项,消去相邻项间发生变化的因子,保留不变的因
子。 对卡诺图中所有1格进行加圈合并,可得到函数的最简 与-或表达式。

第一章 数字逻辑基础

1) 合并最小项原则
两个相邻项的合并: 两个相邻的1格圈在一起,可合并 成一项,消去一个发生了0、1变化的变量,产生的合并项由 圈内没有0、1变化的那些变量组成。 图1.20(a)和(b)中画出了两个最小项相邻的情况。 例如, 图(a)中
A B C和 0 ) (m
ABC相邻, 故可合并为 (m 2 )
A B C ?, ABC

? AC ( B ? B ) ? AC

消去了一个发生0、1 变化的变量B,保留了

没有发生0、1变化的公因子 A C (0用反变量表示,1用原变
量表示)。

第一章 数字逻辑基础

图1.20 相邻项合并举例

第一章 数字逻辑基础

四个相邻项的合并:四个相邻的1格圈在一起,可合并
成一项并消去两个变量,即有两个变量表现出0、1的变化。 应特别注意四个角也是相邻的,当然两边也是相邻的。 例如,图(d)中 A B C D(m0 ), A BC D(m2 ), AB C D(m8 ) 和 ABC D(m10 ) 相邻,故可合并成
A B C D ? A BC D ? AB C D ? ABC D ? A B D(C ? C) ? AB D(C ? C) ? B D( A ? A)
?BD

消去了两个发生了0、1 变化的变量A和C,保留了没有发生0、 1变化的公因子 ? B D 。

第一章 数字逻辑基础

八个相邻项的合并:八个相邻的1格圈在一起,可合并 成一项并消去三个变量,即有三个变量表现出0、1的变化。 如四变量的卡诺图(e)中的八个相邻项消去三个变量,结果 只保留了一个变量。 合并时注意:是2i(i=1,2,…)个相邻1格合并成一项, 并消去 i 个变量。 由上述各种合并情况可以总结卡诺图合并最小项的规律 如下: 在卡诺图中,如果可画出这样的矩形包围圈,内含 2i个方格,且全为1格,则可以合并。 方法是保留圈内没有0、 1变化的变量,消去出现0、1变化的变量。 特别地,若卡诺图中所有小方格全为1,则逻辑函数 F=1;若全为0,则F=0。

第一章 数字逻辑基础

2) 卡诺图化简逻辑函数的原则和步骤
卡诺图合并最小项的过程,就是逻辑函数化简的过程, 实际上就是找出有效合并圈的过程。 (1) 圈卡诺图的原则: ① 合并圈应覆盖卡诺图中的所有1格,0格不可圈进; ② 1格被圈后的每个圈为一个乘积项,因而画圈时要保 证圈数最少,且每个圈中都必须至少有一个其他合并圈没圈 到的1 ; ③ 合并圈应画得最大,这样每个乘积项包含的因子最 少,每个圈中包含的相临1的个数应符合2,4,8,16,…2n;

第一章 数字逻辑基础

④ 1格可以重复被圈; ⑤ 避免出现没有独立1格的多余圈。 (2) 用卡诺图化简逻辑函数的步骤: ① 根据给定的逻辑函数确定变量的个数,然后画出相 应的卡诺图; ② 圈出无相邻项的孤立1格; ③ 圈出只有一种圈法,即只有一种合并可能的1格的 合并圈; ④ 余下的 1 格都有两种或两种以上圈法,此时的原则 是在保证有没有圈到的1格的前提下,合并圈越大越好,圈 的数目越少越好,所有 1 格至少被圈过一次; ⑤ 将所有合并圈对应的乘积项相加,即得到化简后的 最简与或式。

第一章 数字逻辑基础

【例1-41】 化简函数F(A,B,C,D)=∑m(3,5,6,8,
9,10,11,13,15)为最简与-或式。 解:第一步:作出相应的卡诺图,如图1.21(a)所示。

图1.21 例1-41卡诺图化简过程

第一章 数字逻辑基础

第二步:圈出没有相邻项的孤立项m6,如图1.21(b)所示。
第三步:找出只有一种合并可能的1格m3、m5、m8、 m10、m15,并分别将其与相邻项圈好,如图1.21(c)所示。 结果,所有最小项都至少被一个圈覆盖,而且每个圈中 都包含有独立的1格(如m3、m5、m8、m15)只被一个圈覆盖, 因而没有多余圈。 化简结果为
F ? ABC D ? BCD ? BCD ? AD ? AB

【例1-42】 化简函数F(A,B,C,D)=∑m(0,2,4,5, 7,8,9,10,11,12,13)为最简与-或式。 解:作出相应卡诺图如图1.22所示。

第一章 数字逻辑基础

图1.22 例1-42卡诺图化简

第一章 数字逻辑基础

该函数无孤立项,先找出只有一种合并可能的1格m0、
m7、m11,并分别将其与相邻项圈好,如图1.22(a)所示。 将 其余的1格m4、m12、m13用最少、最大的圈圈好,如图1.22(b) 所示。 如对余下的1格采用图1.22(c)的圈法,虽然每个圈内 都有独立的1格,没有产生多余圈,但比图1.22(b)多了一个 圈,因而不是最简。 卡诺图化简时,必须注意选择最少的 圈数覆盖全部的最小项。 图1.22(b)的化简结果为
F ? ABD ? B D ? AB ? BC

第一章 数字逻辑基础

解:图1.23(a)和(b)都是该函数的圈最少、最大卡诺图
圈法,但得出了两种不同的逻辑表达式,且都是函数 F 的 最简与-或式。 可见圈法不是唯一的,当然,表达式也不唯 一。

图1.23 例1-43卡诺图化简

第一章 数字逻辑基础

4. 用卡诺图化简法求逻辑函数的最简或-与表达式 对卡诺图中所有1格进行加圈合并,得到的是函数的最 简与-或式,同理,也可以对所有0格进行加圈合并,得到函 数的最简或-与式。 对0格加圈合并的原理、化简方法和步骤与圈1格完全相 同。 不同处有以下几点: (1) 由2i(i=1,2…)个0格构成合并圈; (2) 每个圈由圈内取值不发生变化的变量相或构成相加 项来表示(0对应原变量,1对应反变量); (3) 所有的相加项再相与(乘),即构成最简或-与式。 有些卡诺图中含0的小方格数目小于含1的小方格数,圈 0要简单些。

第一章 数字逻辑基础

【例1-44】 化简函数F(A,B,C,D)=∑m(0,5,8,
10,11,13,15)为最简或-与式。 解:作出相应卡诺图如图1.24所示,对0格加圈合并。

图1.24 例1-44卡诺图化简

第一章 数字逻辑基础

每个合并圈的结果为

?M (1,9) ? B ? C ? D ?M (2,3,67) ? A ? C ?M (4,6,12,14) ? B ? D
因此,化简结果为
F ? ( B ? C ? D)( A ? C)( B ? D)

实质上,对卡诺图中0格加圈合并,也就是对函数最大项 表达式的化简。

第一章 数字逻辑基础

5. 卡诺图的运算 卡诺图可以进行“+”、“·”、“?”、“⊙”等逻辑运 ? 算,方法是对应小格中的值做相应的运算。 两卡诺图进行逻辑加,可对其对应的小格相或,即有1 填1。 两卡诺图进行逻辑乘,可对其对应的小格相与,即全1 填1。 两卡诺图相异或,可对其对应的小格相异或,即相异填1。 若要求卡诺图代表的逻辑函数的反函数,则可对卡诺图 各小格里的值取反。 若要求化简两个逻辑函数进行运算的结果,则先对两逻 辑函数的卡诺图进行逻辑运算,再对得到的结果图合并化简。

第一章 数字逻辑基础

1.4.3 有无关项逻辑函数的化简
1. 无关项及有无关项逻辑函数 在一些应用中,存在以下两种情况: (1) 由于某种条件的限制(或约束)使得输入变量的某些 组合不会出现或者不允许出现,因而在这些取值下对应的函 数值是“无关”紧要的,它可以为1,也可以为0。 (2) 输入变量的某些组合出现时,输出可为任意值,即 这些输入组合所产生的输出并不影响整个系统的功能,因此 可以不必考虑其输出是0还是1。 这样的输入组合所对应的最小项称为无关项(或称任意 项、约束项、随意项)。

第一章 数字逻辑基础

有无关项逻辑函数也称为非完全描述的逻辑函数。 对
于这类逻辑函数,合理地利用无关项,能使逻辑函数的表达 式进一步化简。 无关项一般用以下方法表示: (1) 在真值表或卡诺图中填 f 或 ×,表示函数值可为 0 也可为 1 。 (2) 在逻辑表达式中有两种表示方法: ① 用∑m(?)表示 F 取值为“1”的所有最小项;用

∑d(?)表示函数的无关项。 如
F ( A, B, C, D) ?

?m?1,3,5,7,9? ? ?d (2,10,12,15)

第一章 数字逻辑基础

② 用约束条件式表示无关项。 例如,下式中AB = 0是
函数F的约束条件,表示必须保证A· = 0,即A和B不同时为 B 1,因此,在卡诺图中对应AB为11的项是无关项。
?F ( A, B, C , D) ? ? ? AB ? 0

? m(1,3,4,5,7)

再例如,函数式AB+AC=0表示约束条件时,其含意指:

在卡诺图中,对应AB为11的项内,F的值应填入“×”,对应
AC为11的项内,F的值也应填入“×”。

第一章 数字逻辑基础

2. 有无关项逻辑函数的化简
在卡诺图中,无关项格可以作为1格,也可以作为0格。 具体是作为1格还是0格,以有利于得到最简为前提。 即可 以利用?(或×)来扩大卡诺圈,使函数得到进一步的简化。 【例1-45】 化简函数:
F ( A, B, C, D) ?

?m(1,4,9,10,11,14) ? ?d (3,5,6,12,15)

解:对应卡诺图如图1.25所示,图中用×表示无关项格。 对于有无关项逻辑函数的化简,凡是1格都必须加圈覆 盖。 如果不利用无关项,即无关项被全部视为0,画出的合 并圈如图1.25(a)所示,化简结果为

第一章 数字逻辑基础

F ? ABC D ? BCD ? ABC ? AC D

若合理利用无关项,对有利于化简的无关项可作为1格 加圈合并,如图1.25(b)中的无关项m6、m12、m15,不利于化 简的无关项m3、m5可作0格不加圈,则得到
F ? B D ? BC D ? AC

第一章 数字逻辑基础

图1.25 例1-45卡诺图化简

第一章 数字逻辑基础

经比较,合理利用无关项,确实能使逻辑函数的表达
式进一步化简。 需要指出的是,化简过程中已对无关项赋 予了确定的输出值。

第一章 数字逻辑基础

本章小结
本章主要介绍了数制和码制、逻辑代数的基本定律、常 用公式、逻辑函数的表示方法和逻辑函数的化简方法。 数字系统中常用的计数制有十进制、二进制、八进制和 十六进制。 掌握各种计数制的构成及相互间的转换是非常

重要的。
由于二进制只有0、1两个数值,与电子器件的开关相对 应,因此数字电路的基本运算都采用二进制运算。

数码表示不同事物时,这些数码已没有表示数量大小的
含意,它只是一种代码。 本章主要介绍了常见的二-十进 制代码和格雷码以及它们的构成规律。

第一章 数字逻辑基础

在数字系统中常用逻辑0和逻辑1表示两种对立的逻辑状
态,它们表示的不是数值的大小,而是代表某种特定的事物。 逻辑代数是分析数字电路的主要工具。 为了进行逻辑 运算,必须熟练掌握逻辑代数中的基本定律和常用公式,利 用这些公式可大大提高运算速度。

逻辑函数的表示方法有真值表、逻辑函数表达式、逻辑
图、波形图和卡诺图,这几种方法之间可以任意相互转换。 可根据具体的使用情况,选择适当的方法表示所研究的逻辑 函数,但在后几章里,具体分析和设计某种逻辑问题时,往 往几种方法都要用到。

第一章 数字逻辑基础

逻辑函数的化简方法是本章的重点。 本章介绍的逻辑
函数化简方法有公式法和卡诺图法。 运用公式法化简逻辑 函数不受任何条件的限制,但这种方法没有一定的规律可循, 化简过程中需要熟练运用各种公式和定律,还需要有一定的 化简技巧和经验。 而且当逻辑函数较

复杂时,往往无法确定化简结果是否最简。
运用卡诺图法化简逻辑函数具有简单、直观的优点,而 且有一定的化简步骤可循,初学者易于掌握。 然而,当逻 辑变量超过五个以上时,卡诺图变得不再简单、直观,用卡 诺图法化简逻辑函数将失去实际意义。

第一章 数字逻辑基础

在实际设计数字系统中,往往不限于只使用某一种门电
路,因而可以将已经化简的逻辑函数式借助逻辑代数的某些 定律进行变换,以适应所选用的逻辑门电路。

第一章 数字逻辑基础

思 考 题
1. 在数字系统中,为什么采用二进制是比较合适的? 2. 十进制转换为R进制,若存在转换误差,精度如何满 足要求? 3. 写出4位二进制数、4位八进制数和4位十六进制数的

最大数。
4. 与4位二进制数、4位八进制数和4位十六进制数的最 大数等值的十进制数各为多少?

5. 在十进制数转换为二进制数时,整数部分和小数部
分的转换方法有何不同? 6. 八进制数和十六进制数怎样互相转换?

第一章 数字逻辑基础

7. 什么是有权码和无权码?
8. 二进制正、负数的原码、反码和补码之间的关系是 什么? 9. 如何求二进制数补码对应的原码? 10. 8421码、2421码、5421码、余3码在编码规则上各 有何特点? 11. 你能写出3位和5位格雷码的顺序编码吗? 12. 如何写出一个八进制数的8421BCD码? 13. 逻辑代数的基本逻辑运算有哪些? 14. 逻辑代数的基本规则有哪些?基本定律和常用的公 式有哪些?

第一章 数字逻辑基础

15. 逻辑代数的运算规则和普通代数的运算规则有哪些不
同? 16. 逻辑函数的表示方法有哪几种?它们之间是如何相 互转换的? 17. 逻辑函数的最小项和最大项有哪些性质?它们之间 的关系是什么? 18. 逻辑函数的最小项表达式、最大项表达式以及其对 偶式的标准表达式之间的关系是什么? 19. 如何用公式法和卡诺图法进行逻辑函数的化简? 20. 怎样利用无关项才能得到更简单的逻辑函数化简结 果?



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