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2015-2016学年高中数学 第三章 三角恒等变换综合检测题 新人教A版必修4

2015-2016 学年高中数学 第三章 三角恒等变换综合检测题 新人 A 教版必修 4
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 满分 150 分。 考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 4 1.若 tanα =3,tanβ = ,则 tan(α -β )等于( 3 A.-3 C.3 [答案] D 4 3- 3 tanα -tanβ 1 [解析] tan(α -β )= = = . 1+tanα tanβ 4 3 1+3? 3 2.cos 75°+cos 15°+cos75°?cos15°的值是( 5 A. 4 3 C. 2 [答案] A 1 5 2 2 [解析] 原式=sin 15°+cos 15°+sin15°cos15°=1+ sin30°= . 2 4 π 3 3.已知 sin( -x)= ,则 sin2x 的值为( 4 5 19 A. 25 14 C. 25 [答案] D π [解析] sin2x=cos( -2x) 2 π 2 π =cos2( -x)=1-2sin ( -x) 4 4 16 B. 25 7 D. 25 ) B. 6 2 2 3
2 2

)

1 B.- 3 1 D. 3

)

D.1+

1

3 2 7 =1-2?( ) = . 5 25 → 4.已知点 P(cosα ,sinα ),Q(cosβ ,sinβ ),则|PQ|的最大值是( A. 2 C.4 [答案] B → [解析] PQ=(cosβ -cosα ,sinβ -sinα ), → 2 2 则|PQ|= ?cosβ -cosα ? +?sinβ -sinα ? → = 2-2cos?α -β ?,故|PQ|的最大值为 2. 5.(高考浙江文)函数 f(x)=sinxcosx+ A.π ,1 C.2π ,1 [答案] A 1 3 π [解析] f(x)= sin2x+ cos2x=sin(2x+ ),周期 T=π ,振幅为 1,故选 A. 2 2 3 3 1 6.(2015?昆明一中模拟) - =( cos10° sin170° A.4 C.-2 [答案] D [解析] 3 1 3 1 - = - = cos10° sin170° cos10° sin10° 3sin10°-cos10° = sin10°cos10° B.2 D.-4 ) 3 cos2x 的最小正周期和振幅分别是( 2 B.π ,2 D.2π ,2 ) B.2 D. 2 2 )

2sin?10°-30°? 2sin?-20°? -2sin20° = = =-4. sin10°cos10° sin10°cos10° 1 sin20° 2 sin47°-sin17°cos30° 7.(高考重庆卷) =( cos17° A.- 1 C. 2 [答案] C sin?17°+30°?-sin17°cos30° [解析] 原式= cos17°
2

)

3 2

1 B.- 2 D. 3 2



sin17°cos30°+cos17°sin30°-sin17cos30° cos17°

1 =sin30°= ,故选 C. 2 sinα +cosα 1 8.(高考江西文)若 = ,则 tan2α =( sinα -cosα 2 3 A.- 4 4 C.- 3 [答案] B [解析] 本题考查三角恒等变换, “弦”化“切”. 由 即 2tanα +2=tanα -1, 2tanα 2??-3? -6 3 ∴tanα =-3, ∴tan2α = = = , “弦”化“切”, “切” 2 2= 1-tan α 1-?-3? -8 4 化“弦”都体现了转化与化归思想. π 9.y=sin(2x- )-sin2x 的一个单调递增区间是( 3 π π A.[- , ] 6 3 5 13 C.[ π , π ] 12 12 [答案] B π π π π [解析] y=sin(2x- )-sin2x=sin2xcos -cos2xsin -sin2x=-(sin2xcos 3 3 3 3 π π π π +cos2xsin )=-sin(2x+ ),其增区间是函数 y=sin(2x+ )的减区间,即 2kπ + 3 3 3 2 π 3π π 7π π 7π ≤2x+ ≤2kπ + ,∴kπ + ≤x≤kπ + ,当 k=0 时,x∈[ , ]. 3 2 12 12 12 12 3π cos?α - ? 10 π 10.(2015?重庆理)若 tanα =2tan ,则 =( 5 π sin?α - ? 5 A.1 C.3 [答案] C B.2 D.4 π 7 B.[ , π ] 12 12 π 5π D.[ , ] 3 6 ) sinα +cosα 1 tanα +1 1 = 得 = sinα -cosα 2 tanα -1 2 3 B. 4 4 D. 3 )

)

3

3π 3π π cos?α - ? sin?α - + ? 10 10 2 [解析] = π π cos?α - ? sin?α - ? 5 5 π π π sin?α + sinα cos +cosα sin 5 5 5 = = π π π sin?α - ? sinα cos -cosα sin 5 5 5 sinα π π cos +sin cosα 5 5 = sinα π π cos -sin cosα 5 5 π sin 5 π π 2? cos +sin π 5 5 π cos 3sin 5 5 = = =3,故选 C. π π sin sin 5 5 π π 2? cos -sin π 5 5 cos 5 1 1 11.已知 sin(α +β )= ,sin(α -β )= ,则 log 2 3 A.2 C.4 [答案] C 1 sinα cosβ +cosα sinβ = ? 2 1 1 ? 由 sin(α +β )= , sin(α -β )= 得? 2 3 1 sinα cosβ -cosα sinβ = ? ? 3 B.3 D.5
5

(

tanα 2 ) 等于( tanβ

)

[解析]



5 sinα cosβ = ? ? 12 ∴? 1 cosα sinβ = ? ? 12 ∴log
5

tanα ,∴ =5, tanβ

tanα 2 ( ) =log tanβ

5

5 =4.

2

2 π 12. (2015?江苏连云港模拟)已知 A, B, C 是△ABC 的三个内角, 设 f(B)=4sinB?cos ( 4

- )+cos2B,若 f(B)-m<2 恒成立,则实数 m 的取值范围是( 2 A.m<1 B.m>-3

B

)

4

C.m<3 [答案] D [解析] f(B)=4sinBcos (
2

D.m>1

π B - )+cos2B 4 2

π 1+cos? -B? 2 =4sinB +cos2B 2 =2sinB(1+sinB)+(1-2sin B) =2sinB+1. ∵f(B)-m<2 恒成立,即 m>2sinB-1 恒成立. ∵0<B<π ,∴0<sinB≤1. ∴-1<2sinB-1≤1,故 m>1. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.(1+tan17°)(1+tan28°)=________. [答案] 2 [ 解析 ] 原式= 1 +tan17°+tan28°+tan17°?tan28°,又 tan(17°+28°)=
2

tan17°+tan28° =tan45°=1, ∴tan17°+tan28°=1-tan17°?tan28°, 代入原 1-tan17°?tan28° 式可得结果为 2. π? 4 π? ? ? 14. (全国高考江苏卷)设 α 为锐角, 若 cos?α + ?= , 则 sin?2α + ?的值为______. 6? 5 12? ? ? [答案] 17 2 50

π π 2π [解析] ∵α 为锐角,∴ <α + < , 6 6 3 π? 4 π? 3 ? ? ∵cos?α + ?= ,∴sin?α + ?= ; 6? 5 6? 5 ? ? π? π? ? π ? 24 ? ? ∴sin?2α + ?=2sin?α + ?cos?α + ?= , 3? 6? ? 6 ? 25 ? ? π π 2 π 7 2 cos(2α + )=cos(α + ) -sin (α + )= 3 6 6 25 π? π π? ? ? ∴sin?2α + ?=sin?2α + - ? 12 3 4? ? ? ? π? π π ? π 17 2 ? ? =sin?2α - ?cos -cos?2α + ?sin = . 3 3? 4 4 50 ? ? ? 15. (2015?天津文)已知函数 f(x)=sinω x+cosω x(ω >0), x∈R.若函数 f(x)在区间
5

(-ω , ω )内单调递增, 且函数 y=f(x)的图象关于直线 x=ω 对称, 则 ω 的值为________. [答案] π 2

π [解析] f(x)=sinω x+cosω x= 2sin(ω x+ ),因为函数 f(x)的图象关于直线 x 4 π π π 2 2 2 =ω 对称,所以 f(ω )= 2sin(ω + )=± 2,所以 ω + = +kπ ,k∈Z,即 ω 4 4 2 π π π π 2 2 = +kπ , k∈Z, 又函数 f(x)在区间(-ω , ω )内单调递增, 所以 ω + ≤ , 即ω ≤ , 4 4 2 4 π π 2 取 k=0,得 ω = ,所以 ω = . 4 2 5 α 1 16. (2015?南通调研)设 α 、 β ∈(0, π ),且 sin(α +β )= ,tan = , 则 cosβ 13 2 2 的值为________. 16 [答案] - 65 α 2tan 2 α 1 1 4 3 [解析] 由 tan = 得 sinα = = = ,cosα = , 2 2 1 5 5 2α 1+tan 1+ 2 4 5 π 由 sin(α +β )= <sinα ,α ,β ∈(0,π ),α +β ∈( ,π ), 13 2 12 ∴cos(α +β )=- . 13 16 cosβ =cos[(α +β )-α ]=cos(α +β )cosα +sin(α +β )sinα =- . 65 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 70 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 3 3 sin2α +2sin α 17.(本题满分 10 分)已知 cosα -sinα = 2,且 π <α < π ,求 的 5 2 1-tanα 值. 3 2 18 7 [解析] 因为 cosα -sinα = , 所以 1-2sinα cosα = , 所以 2sinα cosα = . 5 25 25 3π 又 α ∈(π , ),故 sinα +cosα =- 1+2sinα cosα 2 4 2 =- , 5 sin2α +2sin α ?2sinα cosα +2sin α ?cosα 所以 = 1-tanα cosα -sinα
2 2 2

6

7 4 2 ??- ? 5 2sinα cosα ?cosα +sinα ? 25 28 = = =- . cosα -sinα 75 3 2 5 π π π π 2 18.(本题满分 12 分)已知- <α < ,- <β < ,且 tanα 、tanβ 是方程 x +6x 2 2 2 2 +7=0 的两个根,求 α +β 的值. [解析] 由题意知 tanα +tanβ =-6,tanα tanβ =7, ∴tanα <0,tanβ <0. π π π π 又- <α < ,- <β < , 2 2 2 2 π π ∴- <α <0,- <β <0. 2 2 ∴-π <α +β <0. tanα +tanβ -6 ∵tan(α +β )= = =1, 1-tanα tanβ 1-7 3π ∴α +β =- . 4 19. (本题满分 12 分)已知 A、 B、 C 是△ABC 的三个内角, 向量 m=(-1, 3), n=(cosA, sinA),且 m?n=1. (1)求角 A; 1+sin2B (2)若 2 2 =-3,求 tanC. cos B-sin B [解析] (1)∵m?n=1, ∴ 3sinA-cosA=1,2(sinA? π 1 sin(A- )= , 6 2 π π 5π ∵0<A<π ,- <A- < , 6 6 6 π π π ∴A- = .∴A= . 6 6 3 1+2sinBcosB (2)由题知 2 2 =-3, cos B-sin B ∴ ∴ ?cosB+sinB? =-3 ?cosB+sinB??cosB-sinB? cosB+sinB =-3 cosB-sinB
2

3 1 -cosA? )=1, 2 2

7



1+tanB =-3,∴tanB=2. 1-tanB

∴tanC=tan[π -(A+B)] tanA+tanB 8+5 3 =-tan(A+B)=- = . 1-tanAtanB 11 20.(本题满分 12 分)(2015?安徽文)已知函数 f(x)=(sinx+cosx) +cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值. 2 [ 解析 ] (1) 因为 f(x) = sin x + cos x + 2sinxcosx + cos2x = 1 + sin2x + cos2x = 2
2 2 2

π sin(2x+ )+1, 4 2π 所以函数 f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π (2)由(1)知,f(x)= 2sin(2x+ )+1. 4 π π π 5π 当 x∈[0, ]时,2x+ ∈[ , ], 2 4 4 4 π 5π 由正弦函数 y=sinx 在[ , ]上的图象知, 4 4 π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取最大值 2+1; 4 2 8 π 5π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取最小值 0. 4 4 2 π 综上,f(x)在[0, ]上的最大值为 2+1,最小值为 0. 2 21. (本题满分 12 分)(2013?江苏理)已知向量 a=(cosα , sinα ), b=(cosβ , sinβ ), 0<β <α <π . (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α 、 β 的值. [解析] (1)由题意得|a-b| =2, 即(a-b) =a -2a?b+b =2. 又因为 a =b =|a| =|b| =1, 所以 2-2a?b=2,即 a?b=0, 故 a⊥B. (2)因为 a+b=(cosα +cosβ ,sinα +sinβ )=(0,1),
2 2 2 2 2 2 2 2

8

?cosα +cosβ =0, ? 所以? ?sinα +sinβ =1, ?

由此得,cosα =cos(π -β ), 由 0<β <π ,得 0<π -β <π , 又 0<α <π ,故 α =π -β .代入 sinα +sinβ =1 得, 1 sinα =sinβ = ,而 α >β , 2 5π π 所以 α = ,β = . 6 6 22.(本小题满分 12 分)如图,在直径为 1 的圆 O 中,作一关于圆心对称、邻边互相垂 直的十字形,其中 y>x>0.

(1)将十字形的面积表示成 θ 的函数; (2)求十字形的最大面积. [解析] (1)设 S 为十字形面积, π π 2 2 则 S=2xy-x =2sinθ cosθ -cos θ ( <θ < ). 4 2 1 1 2 (2)S=2sinθ cosθ -cos θ =sin2θ - cos2θ - 2 2 = = 5 2 5 5 1 ?( sin2θ - cos2θ )- 2 5 5 2 5 1 1 sin(2θ -φ )- (设 φ 为锐角且 tanφ = ) 2 2 2

π 当 sin(2θ -φ )=1,即 2θ -φ = 时,S 最大. 2 π φ 5 1 即当 θ = + 时,十字形取得最大面积,Smax= - . 4 2 2 2 [点评] (1)求三角函数最值问题,除了利用三角函数的有界性外,配方法、换元法,

函数单调性法都是常用方法,但应用时要注意三角函数的取值范围. (2)函数最值和实际应用题是高考的热点,题型一般是选择、填空题,但中档难度的解 答题也不容忽视.

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