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2015-2016高中数学 2.3.2平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2_图文

2.3.2

平面与平面垂直的判定

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掌握二面角的概念,会求简单的二面角的大小, 掌握平面与平面垂直的判定定理,并能灵活应 用.

典 例 精 析

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题型一 例1 如图所示,在四面体ABCD中,△ABD,△ACD, △BCD,△ABC都全等,且AB=AC=,BC=2,求以 BC为棱,以△BCD和△BCA为面的二面角的大小.
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分析:由题目可知,本题主要考查二面角的概念和全等 三角形的有关知识以及解三角形的有关知识.解决本题 的关键是看清图形的对称性,由于是具有公共边的两个 等腰三角形,所以根据二面角的平面角的定义很容易作 出二面角的平面角.

解析:如图,取 BC 的中点 E,连接 AE, DE, ∵AB=AC, ∴AE⊥BC. 又∵△ABD≌△ACD, AB=AC, ∴DB=DC, ∴DE⊥BC, ∴∠AED 为二面角 ABCD 的平面角. 又∵△ABC≌△DBC,且△ABC 是以 BC 为底的等腰三角形,△DBC 也是以 BC 为底的等腰三角形. ∴AB=AC=DB=DC= 3,
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又△ABD≌△BDC, ∴AD=BC=2, 在 Rt△DEB 中,DB= 3,BE=1, ∴DE= DB2-BE2= 2,同理 AE= 2, 在△AED 中,∵AE=DE= 2,AD=2, ∴AD2=AE2+DE2,∴∠AED=90°, ∴以△BCD 和△BCA 为面的二面角的大小为 90°.
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点评:(1)求二面角的大小的关键是作出二面角 的平面角,这就需要紧扣它的三个条件.即这个 角的顶点是否在棱上,角的两边是否分别在两个 平面内,这两边是否都与棱垂直.在具体作图时, 还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技 巧.如本例中,充分利用图形的对称性(即有公 共底边的两个等腰三角形),取BC的中点,很快 作出二面角的平面角,也就是利用定义作出二面 角的平面角. (2)求二面角大小的基本程序是:先作出二面角 的平面角,再以此角作出(或找到)相关三角形, 解此三角形即可求出二面角的大小.

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?跟踪训练 1.正方体 ABCDA1B1C1D1 中,截面 A1BD 与底面 ABCD 所成 二面角 A1BDA 的正切值等于(C) 3 2 A. B. C. 2 D. 3 2 2 解析:连接 AC 交 BD 于点 O, 连接 A1O, O 为 BD 中点, ∵A1D=A1B,∴在△A1BD 中, A1O⊥ BD. 又在正方形 ABCD 中,AC⊥BD. ∴∠A1OA 为二面角 A1BDA 的平面角. 2 1 设 AA1=1,则 AO= ,∴tan∠A1OA= = 2. 2 2 2
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题型二

平面与平面垂直的判定及综合应用

例2 如图,正方体的棱长为1,B′C∩BC′= O,求: (1)AO与A′C′所成角的度数; (2)AO与平面ABCD所成角的正切值;
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(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数.

解析:(1)∵A′C′∥AC, ∴AO 与 A′C′所成的角就是∠OAC. ∵AB⊥平面 BC′,∴AB⊥OC, 又∵OC⊥OB, OB∩AB=B, ∴OC⊥平面 ABO,∴OC⊥OA. 在 Rt△AOC 中,OC= 2 ,AC= 2, 2
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∴∠OAC=30°.即 AO 与 A′C′所成角的度数为 30°. (2)如图,作 OE⊥BC,连接 AE,平面 BC′⊥平面 ABCD, ∴OE⊥平面 ABCD,∠ OAE 为 OA 与平面 ABCD 所成的角. 1 在 Rt△OAE 中,OE= ,AE= 2 ∴tan∠ OAE= OE 5 = . AE 5 1 2 5 1 +( ) = , 2 2
2

(3)∵OC⊥OA,OC⊥OB,∴OC⊥平面AOB. 又∵OC?平面AOC,∴平面AOB⊥平面AOC, 即平面AOB与平面AOC所成的角为90°.
栏 点评:本题包含了线线角、线面角和面面角三类问题,目 链 求角度问题主要是求两条异面直线所成的角、直线和 接

平面所成的角、二面角三种.求角度问题解题的一般 步骤是:①找出这个角;②证明该角符合题意;③作 出这个角所在的三角形,解三角形,求出角.求角度 问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角的问题, 即在线线成角中找到答案.

?跟踪训练 2.如图所示,四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩 形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中 点,PA=AD=a.求证: (1)MN∥平面PAD;

(2)平面PMC⊥平面PCD.

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证明:(1)如图所示,取PD的中点E,连接AE, NE, 由N为PC的中点知EN 又ABCD是矩形, ∴DC AB,∴EN AB.
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0.5DC,

又M是AB的中点,
∴EN AM,

∴AMNE是平行四边形, ∴MN∥AE.而AE?平面PAD,MN?平面 PAD, ∴MN∥平面PAD.

(2)∵PA=AD, ∴AE⊥PD, 又∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD, ∴CD⊥PA,而CD⊥AD,PA∩AD=A,

∴CD⊥平面PAD.
∴CD⊥AE,∵PD∩CD=D, ∴AE⊥平面PCD, ∵MN∥AE,∴MN⊥平面PCD, 又MN?平面PMC,

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∴平面PMC⊥平面PCD.


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