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2014高三数学二轮专题复习:专题综合检测八综合测试

专题综合检测八综合测试
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小 题给出四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知 A,B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B={3}, (?UB)∩A={9},则 A 等于( A.{1,3} C.{3,5,9} [答案] D [解析] 设 x∈A,若 x∈B,则 x∈A∩B,若 x?B,则 x∈?UB, 从而 x∈A∩?UB,故 A={3,9},选 D. [点评] 可画 Venn 图求解. 2 2.当3<m<1 时,复数 z=(3m-2)+(m-1)i 在复平面上对应的点 位于( ) B.第二象限 D.第四象限 ) B.{3,7,9} D.{3,9}

A.第一象限 C.第三象限 [答案] D

3 ?2 ? 1 1 [解析] 取 m=4∈?3,1?,y=4-4i,
? ?

∴选 D. 3.(2013· 山东文,10)将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去 掉 1 个最低分,7 个剩余分数的平均分为 91.现场作的 9 个分数的茎 叶图如图,后来有 1 个数据模糊,无法辨认,在图中以 x 表示:

则 7 个剩余分数的方差为( 116 A. 9 C.36 [答案] B

) 36 B. 7 6 7 D. 7

[解析] 去掉最高最低分后的数据为 87,90,90,91,91,94,90+x, 由-=91= x 87+90+90+91+91+94+?90+x? 得 x=4,则方差 7

S2=[(87-91)2+(90-91)2+(90-91)2+(91-91)2+(94-91)2+(91- 36 91)2+(94-91)2]= 7 . π 4.(文)已知向量 a=(cosθ,sinθ),b=(cosφ,sinφ),θ-φ=3, 则向量 a 与向量 a+b 的夹角是( π A.3 5π C. 6 [答案] B π [解析] 由题意可设 θ=3,φ=0, π π 1 3 3 3 3 则 a=(cos3,sin3)=(2, 2 ),b=(1,0),a+b=(2, 2 )= 3( 2 , 1 π π )= 3(cos6,sin6). 2 ) π B.6 2π D. 3

π ∴向量 a 与向量 a+b 的夹角为6. x2 y 2 (理)B 是双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)上在第一象限的任意一 点,A 为双曲线的左顶点,F 为右焦点,∠BFA=2∠BAF,则双曲线 C 的离心率为( A. 3 C. 2 [答案] D [解析] (特殊值法)设 BF⊥x 轴,则∠BFA=90° , b2 ∴∠BAF=45° ,∴a+c= a ,可得双曲线的离心率 e=2. 5.(2013· 安徽理,2)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结 果是( ) ) B.3 D.2

1 A.6 3 C.4 [答案] D

25 B.24 11 D.12

1 1 1 1 1 1 3 [解析] n=2,S=S+n=0+2=2;n=4,S=S+n=2+4=4; 1 3 1 11 n=6,S=S+n=4+6=12; 11 n=8.∵8<8 不成立,故输出 S=12. 6.

如图所示,在棱柱的侧棱 AA1、BB1 上各有一动点 P、Q 满足 A1P =BQ,过 P、Q、C 三点的截面把棱柱分成两部分,则两部分体积之 比为( ) B.2∶1 D. 3∶1

A.3∶1 C.4∶1 [答案] B

[解析] 将 P 移动到特殊位置 A1,Q 移动到特殊位置 B,仍满足 条件, 此时 A1P=BQ=0, 此时三棱锥 C-A1BA 与三棱柱 ABC-A1B1C1 1 等底面积等高,则有 VC-A1BA=3VABC-A1B1C1. 故两部分体积之比为 2∶1.

7.(2013· 辽宁理,4)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个 命题: p1:数列{an}是递增数列;

p2:数列{nan}是递增数列; an p3:数列{ n }是递增数列; p4:数列{an+3nd}是递增数列. 其中的真命题为( A.p1,p2 C.p2,p3 [答案] D [解析] 对于 p1,数列{an}的公差 d>0,所以数列是递增数列; 对于 p4,因为(an+1+3(n+1)d)-(an+3nd)=d+3d=4d>0,是递增数 列. 对于 p2, 因为(n+1)an+1-nan=(n+1)an+(n+1)d-nan=a1+2nd, a1 不知道正负,不一定大于零,所以不一定是递增数列;同理,对于 p3,也不一定是递增数列,选 D. 8.(文)(2013· 广东文,6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱 锥的体积是( ) ) B.p3,p4 D.p1,p4

1 A.6

1 B.3

2 C.3 [答案] B [解析]

D.1

由三视图知该几何体是底面为直角三角形(两直角边长

1 1 1 分别为 1,1)高为 2 的三棱锥,其体积为3×(2×1×1)×2=3. (理)(2013· 广东理, 5)某四棱台的三视图如图所示, 则该四棱台的 体积是( )

A.4 16 C. 3 [答案] B

14 B. 3 D.6

[解析] S1=1,S2=4,高 h=2, 1 14 ∴V=3(1+ 1×4+4)×2= 3 . 9.(文)(2013· 新课标Ⅰ文,9)函数 f(x)=(1-cosx)sinx 在[-π,π] 的图象大致为( )

[答案] C [解析] 由 x∈(-π, 0)时, sinx<0,1-cosx>0, A 错误; sin(- 得 由 π)=0,sin0=0,sinπ=0,1-cos0=0 得,f(x)的零点为-π,0,π,B 错误;由 f′(x)=sin2x-cos2x+cosx,得 f′(π)=-2,即 f(x)在(π,0) 处切线的斜率为-2,D 错误,所以选 C. π [点评] 可由 f(x)为奇函数排除 B, f(2)=1>0 排除 A, 由 再由 f(x) 2π 的极大值点为 3 排除 D,选 C. (理)(2013· 新课标Ⅰ理,9)设 m 为正整数,(x+y)2m 展开式的二项 式系数的最大值为 a,(x+y)2m+1 展开式的二项式系数的最大值为 b, 若 13a=7b,则 m=( A.5 [答案] B 2m?2m-1???m+1? [解析] a=cm = , 2m m! ?2m+1?· 2m??m+2??m+1? 1 b=cm++1= , 2m ?m+1?! B.6 ) C.7 D.8

又∵13a=7b,∴13(m+1)=7(2m+1),∴m=6. x2 y2 10.如果直线 y=kx-1 与椭圆 4 + a =1 相切,那么 a 与 k 的取 值范围分别是( )

1 1 A.(0,1),(-2,2) 1 1 B.(0,1],(-2,2) 1 1 C.(0,1),(-2,0)∪(0,2) 1 1 D.(0,1],(-2,2] [答案] B [解析] 直线与椭圆相切,则点(0,-1)不在椭圆内,得 0<a≤1, 1 ∴排除 A,C;当 k=2时,直线和椭圆相交,∴排除 D. 11.若 0<b<1+a,关于 x 的不等式(x-b)2>(ax)2 的解集中的整数 恰有 3 个,则( A.-1<a<0 C.1<a<3 [答案] C [解析] 1 取 a=± ,代入原不等式,得 3x2-8bx+4b2>0,解得 2 ) B.0<a<1 D.3<a<6

2b x< 3 ,或 x>2b,这样必超过三个整数解,从而排除 A,B;取 a=4, b b 代入原不等式,得 15x2+2bx-b2<0,解得-3<x<5,由 0<b<5 知,这 时必少于三个整数解,从而排除 D. 综上,只能选 C.

12.(文)(2013· 山东理,5)将函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左 π 平移8个单位后,得到一个偶函数的图象,则 φ 的一个可能取值为 ( ) 3π A. 4 C.0 [答案] B π [解析] y=sin(2x+φ)的图象向左平移8个单位,得到 y=sin[2(x π π π π +8)+φ]=sin(2x+4+φ),由于它是一个偶函数,∴4+φ=kπ+2,k ∈Z. π π ∴φ=kπ+4,取 k=0 得,φ=4,故选 B. (理)(2013· 全国大纲理,10)已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于( 2 A.3 2 C. 3 [答案] A [解析] 解法 1:如图,连接 C1O,过 C 作 CM⊥C1O. 3 B. 3 1 D.3 ) π B.4 π D.-4

∵BD⊥平面 C1CO,∴BD⊥CM,∴CM⊥平面 BC1D ∴∠CDM 即为 CD 与平面 BDC1 所成的角 2 令 AB=1,∴AA1=2,CO= 2 , C1O= 2 22+? 2 ?2= 9 3 2 2= 2 ,

CM· 1O=CC1· C CO, 3 2 2 2 即 2 CM=2·2 ,∴CM=3, CM 2 ∴sin∠CDM= CD =3. 解法 2:以 D 为原点 DA、DC、DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立 空间直角坐标系

设 AA1=2AB=2,则 D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则 → → → DC=(0,1,0),DB=(1,1,0),DC1=(0,1,2). 设平面 BDC1 的法向量为 n=(x,y,z), → → 则 n· =0,n· 1=0, DB DC
?x+y=0, ? ∴? 令 y=-2,则 x=2,z=1, ? ?y+2z=0,

∴n=(2,-2,1), 设 CD 与平面 BDC1 所成的角为 θ, → → |n· | 2 DC 则 sinθ=|cos〈n,DC〉|= → =3. |n|· | |DC 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填 写在题中横线上.) 13.(2013· 江西理,12)设 e1,e2 为单位向量,且 e1,e2 的夹角为 π 3,若 a=e1+3e2,b=2e1,则向量 a 在 b 方向上的射影为________.

5 [答案] 2 [解析] 本题考查了平面向量的数量积的运算. 由已知|b|=2,a· b=2|e1|2+6e1·2=2+3=5. e ∴|a|cos<a,b>=|a|× a· a· 5 b b = =2. |a||b| |b|

14.(文)(2012· 东北三校二模)已知数列{an}中,a1=1,且点 P(an, 1 1 1 an+1)(n∈N*)在直线 x-y+1=0 上. 若函数 f(n)= + + n+a1 n+a2 n+a3 1 +?+ (n∈N*,且 n≥2),函数 f(n)的最小值是________. n+an 7 [答案] 12 [解析] 由题意知,an-an+1+1=0,即 an+1-an=1,数列{an} 1 1 1 + + n+1 n+2 n+3

是等差数列, 公差 d=1, n=n, n≥2 时, a 当 f(n)= +?+

1 1 1 1 ,∵f(n+1)-f(n)= + + +?+ n+n n+1+1 n+1+2 n+1+3

1 1 1 1 1 1 1 -( + + +?+ )= + - n+1+n+1 n+1 n+2 n+3 n+n 2n+1 2n+2 1 1 1 1 1 = - >0, ∴f(2)<f(3)<?, ∴[f(n)]min=f(2)= + n+1 2n+1 2n+2 2+1 2+2 7 =12. (理)已知各项均为正数的数列{an}中,Sn 是数列{an}的前 n 项和, 对任意 n∈N*,有 2Sn=2a2+an-1,则 a2013=________. n [答案] 1007
2 [解析] 由 2Sn=2an+an-1①

得 2Sn+1=2a2+1+an+1-1② n

由②-①得,2an+1=2(a2+1-a2)+(an+1-an), n n 即:2(an+1+an)(an+1-an)-(an+1+an)=0. 由于数列{an}各项均为正数, 1 ∴2an+1-2an=1,即 an+1-an=2. ∴数列{an}是等差数列.
2 又由 2S1=2a1+a1-1 得 a1=1,

n+1 ∴an= 2 ,∴a2013=1007. 15.(2012· 福建厦门质检)给出下列命题: π 5π ①函数 f(x)=4cos(2x+3)的一个对称中心为(-12,0); ②定义 min{a, b}=?
?b ?a

a≥b a<b

, 已知函数 f(x)=min{sinx, cosx},

2 则 f(x)的值域为[-1, 2 ]; ③若 α、β 均为第一象限角,且 α>β,则 sinα>sinβ. 其中所有真命题的序号是________. [答案] ①② 5π 5π π π [解析] 由 f(-12)=4cos(- 6 +3)=0 可得函数 f(x)=4cos(2x+3) 5π 的一个对称中心为(-12,0),即命题①正确;函数 f(x)=min{sinx, 2 cosx}的图象如图所示,可得函数 f(x)的值域是[-1, 2 ],即命题② 正确;若 α,β 均为第一象限角,且 α>β,可取 α=370° ,β=30° ,而 sinα<sinβ,知命题③不正确,综上可得真命题的序号为①②.本题考 查了三角函数的图象及性质,属于开放题.

16.(2012· 长沙一中二模)若 0<a1<a2,0<b1<b2,且 a1+a2=b1+b2 1 =1,则下列四个代数式 a1b1+a2b2,a1b2+a2b1,a1a2+b1b2,2中最大 的是________. [答案] a1b1+a2b2 [解析] 由题意可取 a1=b1=0.2,a2=b2=0.8,则 a1b1+a2b2= 0.68,a1b2+a2b1=0.32,a1a2+b1b2=0.32,其最大的值为 a1b1+a2b2. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)(2013· 江西理,16)在△ABC 中,角 A,B, C 所对的边分别为 a,b,c.已知 cosC+(cosA- 3sinA)cosB=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围. [解析] (1)由已知得-cos(A+B)+cosAcosB- 3sinAcosB=0, 即有 sinAsinB- 3sinAcosB=0. 因为 sinA≠0,所以 sinB- 3cosB=0. 又 cosB≠0,所以 tanB= 3. π 又 0<B<π,所以 B=3. (2)由余弦定理,有 b2=a2+c2-2accosB.

1 1 1 因为 a+c=1,cosB=2,有 b2=3(a-2)2+4. 1 1 又 0<a<1,于是有4≤b2<1,即有2≤b<1. 18.(本小题满分 12 分)(文)(2013· 安徽文,18)如图,四棱锥 P- ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60° .已知 PB=PD =2,PA= 6.

(1)证明:PC⊥BD; (2)若 E 为 PA 的中点,求三棱锥 P-BCE 的体积. [解析] (1)证明:连接 AC,交 BD 于 O 点,连接 PO. 因为底面 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD,BO=DO. 由 PB=PD 知,PO⊥BD.再由 PO∩AC=O 知,BD⊥平面 APC. 因此 BD⊥PC. (2)解:因为 E 是 PA 的中点, 1 1 所以 VP-BCE=VC-PEB=2VC-PAB=2VB-APC,

由 PB=PD=AB=AD=2 知,△ABD≌△PBD. 因为∠BAD=60° . 所以 PO=AO= 3,AC=2 3,BO=1. 又 PA= 6,PO2+AO2=PA2,即 PO⊥AC, 1 故 S△APC=2PO· AC=3. 1 11 由(1)知,BO⊥平面 APC,因此 VP-BCE=2VB-APC=2·· S△APC 3 BO· 1 =2. (理)(2013· 北京西城区模拟)如图 1,四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥ 底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,M 为侧棱 PD 上一点.该四棱 锥的侧视图和俯(左)视图如图 2 所示.

(1)证明:BC⊥平面 PBD; (2)证明:AM∥平面 PBC; (3)线段 CD 上是否存在点 N,使得 AM 与 BN 所成角的余弦值为 3 4 ?若存在,找到所有符合要求的点 N,并求 CN 的长;若不存在, 请说明理由. [解析] 解法一:(1)证明:由俯视图可得 BD2+BC2=CD2,所以 BC⊥BD. 又因为 PD⊥平面 ABCD, 所以 BC⊥PD,所以 BC⊥平面 PBD. (2)证明:取 PC 上一点 Q,使 PQ?PC=1? 4 ,连接 MQ,BQ. 由俯视图知 PM?PD=1? 4 , 1 所以 MQ∥CD,MQ=4CD. 在△BCD 中,易得∠CDB=60° ,所以∠ADB=30° . 又 BD=2,所以 AB=1,AD= 3.

1 又因为 AB∥CD,AB=4CD,所以 AB∥MQ,AB=MQ, 所以四边形 ABQM 为平行四边形,所以 AM∥BQ. 因为 AM?平面 PBC,BQ?平面 PBC, 所以直线 AM∥平面 PBC. 3 (3)线段 CD 上存在点 N,使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 4 . 证明如下: 因为 PD⊥平面 ABCD,DA⊥DC, 建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz.

所以 D(0,0,0),A( 3,0,0),B( 3,1,0),C(0,4,0),M(0,0,3).

设 N(0,t,0),其中 0≤t≤4, → → 所以AM=(- 3,0,3),BN=(- 3,t-1,0). 3 要使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 4 , → → |AM· | BN 3 则有 → → = 4 , |AM||BN| |3| 3 所以 2= 4 , 2 3· 3+?t-1? 解得 t=0 或 2,均适合 0≤t≤4. 故点 N 位于 D 点处,此时 CN=4;或点 N 位于 CD 的中点处, 3 此时 CN=2,有 AM 与 BN 所成角的余弦值为 4 . 解法二:(1)证明:因为 PD⊥平面 ABCD,DA⊥DC, 建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz. 在△BCD 中,易得∠CDB=60° ,所以∠ADB=30° . 因为 BD=2,所以 AB=1,AD= 3. 由俯视图和侧视图可得 D(0,0,0), 3, A( 0,0), 3, B( 1,0), C(0,4,0), M(0,0,3),P(0,0,4),

→ → 因为BC=(- 3,3,0),DB=( 3,1,0). → → 因为BC· =- 3× 3+3×1+0×0=0,所以 BC⊥BD. DB 又因为 PD⊥平面 ABCD,所以 BC⊥PD, 所以 BC⊥平面 PBD.

? → ?n· =0, PC (2)证明: 设平面 PBC 的法向量为 n=(x, z), ? y, 则有 → ?n· =0. ? BC
→ → 因为BC=(- 3,3,0),PC=(0,4,-4),
?4y-4z=0, ? 所以? 取 y=1,得 n=( 3,1,1). ? ?- 3x+3y=0.

→ 因为AM=(- 3,0,3), → 所以AM· n= 3· 3)+1· (- 0+1· 3=0. 因为 AM?平面 PBC, 所以直线 AM∥平面 PBC. (3)同解法一.

19.(本小题满分 12 分)(文)(2013· 福建文,19)某工厂有 25 周岁 以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名.为研究工人 的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取 了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年 龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组,再将 两组工人的日平均生产件数分成 5 组:[50,60),[60,70),[70,80), [80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

(1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人, 求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率; (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根 据已知条件完成 2×2 列联表,并判断是否有 90%的把握认为“生产 能手与工人所在的年龄组有关”? n?n11n22-n12n21?2 附:χ = n1+n2+n+1n+2
2

P(χ2≥k) k

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

(注:此公式也可以写成

n?ad-bc?2 K= ) ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

[解析] (1)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名,25 周岁以下组工人 40 名. 所以,样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上 组工人有 60×0.05=3(人),记为 A1,A2,A3;25 周岁以下组工人有 40×0.05=2(人),记为 B1,B2. 从中随机抽取 2 名工人,所有的可能结果共有 10 种,它们是: (A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2, B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2). 其中,至少有 1 名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种, 它们是:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2), 7 (B1,B2).故所求的概率 P=10. (2)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中,“25 周岁 以上组”中的生产能手 60×0.25=15(人), “25 周岁以下组”中的生 产能手 40×0.375=15(人),据此可得 2×2 列联表如下: 生产能手 25 周岁以上组 25 周岁以下组 合计
2

非生产能手 45 25 70

合计 60 40 100

15 15 30

n?ad-bc?2 所以得 K = ?a+b??c+d??a+c??b+d? 100×?15×25-15×45?2 25 = =14≈1.79. 60×40×30×70 因为 1.79<2.706, 所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有

关”. (理)(2013· 辽宁理,19)现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类 题,张同学从中任取 3 道题解答. (1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答 3 4 对每道甲类题的概率都是5,答对每道乙类题的概率都是5,且各题答 对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题的个数,求 X 的分布列和 数学期望. [解析] (1)设事件 A=“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类 题”, 则有-=“张同学所取的 3 道题都是甲类题”. A
3 -)= C36 =1, 因为 P( A C 6 10

5 所以 P(A)=1-P(-)=6. A (2)X 所有的可能取值为 0,1,2,3. 2 1 4 0 3 P(X=0)=C2·5)0· )2·=125; ( (5 5 2 1 3 2 4 28 1 3 P(X=1)=C2·5)1· )1·+C0(5)0·5)2·=125; ( (5 5 ( 5 2 2 1 3 2 4 57 2 3 P(X=2)=C2·5)2· )0·+C1(5)1·5)1·=125; ( (5 5 ( 5 2 2 4 36 2 3 P(X=3)=C2·5)2· )0·=125. ( (5 5 所以 X 的分布列为: X P 0 4 125 1 28 125 2 57 125 3 36 125

4 28 57 36 所以 E(X)=0×125+1×125+2×125+3×125=2. 20. (本小题满分 12 分)(文)(2013· 安徽皖南八校联考)已知数列{an} 中,a1=2,a2=4,an+1=3an-2an-1(n≥2,n∈N*). (1)证明:数列{an+1-an}是等比数列,并求出数列{an}的通项公 式. 2?an-1? (2)记 bn= a ,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求使 Sn>2014 的 n n 的最小值. [解析] (1)an+1=3an-2an-1(n≥2), ∴(an+1-an)=2(an-an-1)(n≥2). ∵a1=2,a2=4,∴a2-a1=2≠0,an-an-1≠0, 故数列{an+1-an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, ∴an+1-an=(a2-a1)2n-1=2n, ∴an=(an-an+1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+?+(a2-a1)+a1 =2n-1+2n-2+2n-3+?+21+2 2?1-2n-1? = +2 1-2 =2n(n≥2). 又 a1=2 满足上式,∴an=2n(n∈N*). (2)由(1)知 bn= =2-
n-1,

2?an-1? 1 1 =2(1-a )=2(1-2n) an n

1

2

1 1 1 ∴Sn=2n-(1+21+22+?+ n-1) 2

1 1-2n 1 1 =2n- =2n-2(1-2n)=2n-2+ n-1. 1 2 1-2 由 Sn>2014 得: 1 1 2n-2+ n-1>2014,即 n+2n>1008, 2 因为 n 为正整数,所以 n 的最小值为 1008. (理)(2013· 广州调研)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,对任意的 n∈ N*,都有 Sn=(m+1)-man(m 为常数,且 m>0). (1)求证:数列{an}是等比数列; (2)设数列{an}的公比 q=f(m),数列{bn}满足 b1=2a1,bn=f(bn-
1)(n≥2,n∈N *

),求数列{bn}的通项公式;

2 n +1 (3)在满足(2)的条件下,求数列{ b }的前 n 项和 Tn. n [解析] (1)证明:当 n=1 时,a1=S1=(m+1)-ma1,解得 a1= 1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=man-1-man. 即(1+m)an=man-1. ∵m 为常数,且 m>0,∴ an m = (n≥2). an-1 1+m

m ∴数列{an}是首项为 1,公比为 的等比数列. 1+m m (2)由(1)得,q=f(m)= ,b =2a1=2. 1+m 1 ∵bn=f(bn-1)= bn-1 , 1+bn-1

1 1 1 1 ∴b = +1,即b - =1(n≥2). bn-1 b n -1 n n

1 1 ∴{b }是首项为2,公差为 1 的等差数列. n 2n-1 1 1 ∴b =2+(n-1)· 1= 2 , n 2 即 bn= (n∈N*). 2n-1 2n+1 2 (3)由(2)知 bn= ,则 b =2n(2n-1). 2n-1 n
n +1 22 23 24 2n 2 所以 Tn=b +b +b +?+ + , bn-1 bn 1 2 3

即 Tn=21×1+22×3+23×5+?+2n-1×(2n-3)+2n×(2n-1), ① 则 2Tn=22×1+23×3+24×5+?+2n(2n-3)+2n+1(2n-1) ② ②-①得 Tn=2n+1×(2n-1)-2-23-24-?-2n+1, 故 Tn=2
n+1

23?1-2n-1? ×(2n-1)-2- 1-2

=2n+1×(2n-3)+6. 21.(本小题满分 12 分)(文)(2013· 全国新课标Ⅱ文,21)己知函数 f(x)=x2e-x. (1)求 f(x)的极小值和极大值; (2)当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的 取值范围. [解析] (1)由条件知 f′(x)=e-x(2x-x2),令 2x-x2=0 得 x=0 或 x=2. 列表如下: x f′(x) (-∞,0) - 0 0 (0,2) + 2 0 (2,+∞) -

f(x)

↘?



↗?





则当 x=0 时,f(x)取极小值 0,当 x=2 时,f(x)取极大值 4e-2.

x2 y2 (理)(2013· 浙江金华期末)如图, 已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的离心 2 率为 2 ,椭圆上任意一点到右焦点 F 的距离的最大值为 2+1,过 M(2,0)任作一条斜率为 k(k≠0)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B, 点 A 关于 x 轴的对称点为 Q.

3 (1)当 k=- 3 时,求证:Q,F,B 三点共线; (2)求△MBQ 的面积 S 的最大值.

[解析]

?e=c= 2, (1)证明:因为? a 2 ?a+c= 2+1,

?a= 2, ? 所以? ?c=1, ?

x2 2 所以 b=1,椭圆方程为 2 +y =1. 设直线 l 的方程为 y=k(x-2), B(x1,y1),A(x2,y2),则 Q(x2,-y2),
?y=k?x-2?, ? 由方程组? 2 消去 y 可得, 2 ?x +2y =2, ?

(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,①

? ?x +x = 8k , 1+2k 所以? ?x · =8k -2. ? x 1+2k
2 1 2 2 2 1 2 2

Δ=-8?2k2-1?≥0, ②

?Δ=3>0, ? 8 3 当 k=- 3 时,?x +x =5, ?x · =2, ? x 5
8
1 2 1 2

→ → 而FQ=(x2-1,-y2),FB=(x1-1,y1), 因为(x2-1)y1+y2(x1-1) =(x2-1)k(x1-2)+k(x2-1)(x1-1) =k[2x1x2-3(x1+x2)+4] 2 8 =k(2×5-3×5+4)=0, → → 所以FQ∥FB,从而 Q,F,B 三点共线. → → (2)由(1)可得FQ=(x2-1,-y2),FB=(x1-1,y1). 又因为(x2-1)y1+y2(x1-1)=(x2-1)k(x1-2)+k(x2-1)(x1-1) =k[2x1x2-3(x1+x2)+4] 8k2-2 8k2 =k(2× -3× +4) 1+2k2 1+2k2 =0, → → 所以FQ∥FB,从而 Q,F,B 三点共线. 1 S△BMQ=2|BF|· 1|+|y2|) (|y 1 =2(|y1+y2|) 1 4|k| =2|k(x1+x2)-4k|= 1+2k2



1 ≤ 2, 2|k|+|k|

4

1 当且仅当“k2=2”时,等号成立,验证符号, 所以△BMQ 面积 S 的最大值为 2. 22.(本小题满分 14 分)(文)已知函数 f(x)=xlnx. (1)求函数 f(x)的极值点; (2)若直线 l 过点(0,-1),并且与曲线 y=f(x)相切,求直线 l 的 方程; (3)设函数 g(x)=f(x)-a(x-1), 其中 a∈R, 求函数 g(x)在区间[1, e]上的最小值.(其中 e 为自然对数的底数) [分析] (1)求 f ′(x), 解不等式 f ′(x)≥0 与 f ′(x)<0 可确定 f(x) 的单调性,即可求出极值. (2)直线 l 过点(0,-1)与曲线 y=f(x)相切,(0,-1)不一定为切 点,经检验知(0,-1)不在曲线上,故可设切点求切线,利用切线过 点(0,-1)确定参数值. (3)先利用导数确定 g(x)在[1,e]上的单调性,利用单调性和极值 找出最值. [解析] (1)f ′(x)=lnx+1,x>0, 1 由 f ′(x)=0 得 x=e , 1 1 所以,f(x)在区间(0, e )上单调递减,在区间( e ,+∞)上单调递 1 增.所以,x=e是函数 f(x)的极小值点,极大值点不存在. (2)设切点坐标为(x0,y0),则 y0=x0lnx0, 切线的斜率为 lnx0+1,

y0+1 所以,lnx0+1= x , 0 解得 x0=1,y0=0, 所以直线 l 的方程为 x-y-1=0. (3)g(x)=xlnx-a(x-1), 则 g′(x)=lnx+1-a, 令 g′(x)=0,得 x=ea-1. 所以,在区间(0,ea-1]上,g(x)为递减函数, 在区间[ea-1,+∞)上,g(x)为递增函数. 当 ea-1≤1,即 a≤1 时,在区间[1,e]上,g(x)为递增函数,所以 g(x)的最小值为 g(1)=0; 当 1<ea-1<e,即 1<a<2 时,g(x)的最小值为 g(ea-1)=a-ea-1; 当 ea-1≥e,即 a≥2 时,在区间[1,e]上,g(x)为递减函数,所以 g(x)最小值为 g(e)=a+e-ae. 综上,当 a≤1 时,g(x)的最小值为 0;当 1<a<2 时,g(x)的最小 值为 a-ea-1;当 a≥2 时,g(x)的最小值为 a+e-ae. (理)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l:x=-2 交 x 轴于点 A, 设 P 是 l 上一点,M 是线段 OP 的垂直平分线上一点,且满足∠MPO =∠AOP. (1)当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2)已知 T(1,-1),设 H 是 E 上动点,求|HO|+|HT|的最小值, 并给出此时点 H 的坐标; (3)过点 T(1,-1)且不平行于 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两 个不同的交点,求直线 l1 的斜率 k 的取值范围. [解析] (1)如图(1),∵∠MPO=∠AOP, ∴AO∥PM.

可设 M(x,y),则有 P(-2,y). 方法 1:由线段垂直平分线的性质可得|MP|=|MO|, ∴|x+2|= x2+y2. 整理得 y2=4x+4,此即为点 M 的轨迹 E(抛物线)的方程.

y 方法 2:如图(2),可求得 OP 中点 N(-1,2), 由于 MN⊥OP, ∴kOP·MN=-1. k y y-2 y-0 ∴ · =-1. -2-0 x+1 化简得 y2=4x+4,此即为点 M 的轨迹 E 的方程. (2)由(1)知点 O 为抛物线的焦点,如图,过点 H 作 HG⊥直线 l 于点 G,则|HO|+|HT|=|HG|+|HT|.

当动点 H 运动到使 G、H、T 三点共线的位置时,|HG|+|HT|最 小,此时最小值为 TG(点 T 到直线 l 的距离). TG=|1-(-2)|=3, 3 此时点 H 的纵坐标为-1,∴其横坐标为 x=-4. 3 ∴|HO|+|HT|取最小值 3 时的点 H 的坐标为(-4,-1). (3)如图,将 x=1 代入 y2=4x+4,得|y|=2 2.

∴点 T(1,-1)在抛物线的开口内, 由于直线 l1 不平行于 y 轴,则直线 l1 的斜率 k 存在. 那么可得直线 l1 的方程为 y+1=k(x-1). 将之与 y2=4x+4 联立并消去 y 得 k2x2-(2k2+2k+4)x+k2+2k -3=0,

依题意,得
?k2≠0, ? ? 2 2 2 2 ? ?Δ=[-?2k +2k+4?] -4k ?k +2k-3?>0,

解得 k≠0,故 k 的取值范围为(-∞,0)∪(0,+∞).


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