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2015-2016学年高中数学 模块综合检测卷 新人教A版必修4


模块综合检测卷
(测试时间:120 分钟 评价分值:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)

?1 1? 1.设向量 a=(1,0),b=? , ?,则下列结论中正确的是(C) ?2 2?
A.|a|=|b | C.a-b 与 b 垂直 B.a?b= D.a∥b 2 2

1? ?1 解析:a-b=? ,- ?,(a-b)?b=0,所以 a-b 与 b 垂直.故选 C. 2? ?2 4π 2.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标为 3 (C) 3? ? 1 A.?- , ? ? 2 2? 3? ? 1 C.?- ,- ? 2? ? 2 B.?- D.?-

? ?

3 1? ,- ? 2 2? 3 1? , ? 2 2?

? ?

解析:由三角函数的定义知,Q 点的坐标为?cos C.

? ?

4π , 3

4π 3? ? 1 sin ? =?- ,- ?.故选 ? 3 ? ? 2 2?

π 3.函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(其中A>0,ω >0,|φ |< )的图象如图所示,则 f(0) 2 =(D)

A.1

1 B. 2

C.

2 2

D.

3 2

解析:由图象知 A=1,T=4?

?7π -π ?=π ,∴ω =2,把?7π ,-1?代入函数式中,可 ? ? 12 ? ? 12 3 ? ? ?
1

π 得φ = , 3 π? π 3 ? ∴f(x)=Asin(ω x+φ )=sin?2x+ ?,∴f(0)=sin = .故选 D. 3? 3 2 ? π 4.将函数 y=sin( 2x+φ )的图象沿 x 轴向 左平移 个单位后,得到一个偶函数的图 8 象,则 φ 的一个可能取值为(B) A. 3π 4 π B. 4 C.0 π D.- 4

解析:利用平移规律求得解析式,验证得出答案. π 向左平移 ? ? π? ? ? ? y=sin(2x+φ )π ― ― → Y=sin?2?x+ ?+φ ?=sin?2x+ +φ ?. 个单位 8

? ?

8?

?

?

4

?

3π 当 φ = 时,y=sin(2x+π )=-sin 2x,为奇函数; 4 π? π ? 当 φ = 时,y=sin?2x+ ?=cos 2x,为偶函数; 2? 4 ? π? ? 当 φ =0 时,y=sin?2x+ ?,为非奇非偶函数; 4? ? π 当 φ =- 时,y=sin 2x,为奇函数.故选 B. 4 4 5.已知 sin(π +α )= 且 α 是第三象限的角,则 cos(2π -α )的值是(B) 5 4 A.- 5 3 B.- 5 4 C.± 5 3 D. 5

4 4 解析: sin(π +α )= ? sin α =- , 又∵α 是第三象限的角, ∴cos(2π -α )=cos 5 5 3 α =- .故选 B. 5 6.为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图象,可以将函数 y= 2sin 3x 的图象(D) π A.向右平移 个单位 4 π C.向右平移 个单位 12 π B.向左平移 个单位 4 π D.向左平移 个单位 12

π? π ? 解析:y=sin 3x+cos 3x= 2sin?3x+ ?,故只需将 y= 2sin 3x 向左平移 个单 4? 12 ? 位. 7.已知向量 a,b,c 满足|a|=1,|b|=2,c=a+b,c⊥a,则 a 与 b 的夹角等于(C) A.30° B.60°
2

C.120°

D.90°
2

解析:c⊥a,c=a+b? (a+b)?a=a +a?b=0?

a?b=- 1? cos ? a,b ?=
故选 C. 8.函数 f(x)= A.? C.?

a?b 1 =- ? ? a,b ?=120°. 2 |a||b|

1 sin x- ,x∈(0,2π )的定义域是(B) 2 B.?

?π ,π ? ? ?6 2? ?π ,5π ? ? 6 ? ?2

?π ,5π ? 6 ? ?6 ? ?π ,5π ? ? 3 ? ?3

D.?

解析:如下图所示,

1 π 5π ∵sin x≥ ,∴ ≤x≤ .故选 B. 2 6 6 → → 9.(2015?新课标全国高考Ⅰ卷)设 D 为△ABC 所在平面内一点BC=3CD,则(A) 1→ 4→ → A.AD=- AB+ AC 3 3 → 4→ 1→ C.AD= AB+ AC 3 3 → 1→ 4→ B.AD= AB- AC 3 3 → 4→ 1→ D.AD= AB- AC 3 3

1→ 4→ → → → → 1→ → 1 → → 解析:由题知AD=AC+CD=AC+ BC=AC+ (AC-AB)=- AB+ AC,故选 A. 3 3 3 3 3 ? 4 ? ?π ? 10.已知 α ∈?π , π ?,cos α =- ,则 tan? -α ?等于(B) 2 ? 5 ? ?4 ? A.7 1 B. 7 C.- 1 7 D.-7

3 ? 4 3 ? 解析:因为 α ∈?π , π ?,cos α =- ,所以 sin α <0,即 sin α =- ,tan α 2 ? 5 5 ?

3

3 = . 4

?π 所以 tan? -α ?4

3 1- ?=1-tan α = 4=1,故选 B. ? 1+tan α 3 7 ? 1+ 4

? π 2π ? 11.函数 f(x)=sin(x+φ )在区间? , ?上单调递增,常数 φ 的值可能是(D) 3 ? ?3
A.0 π B. 2 C.π 3π D. 2

12.设向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积:a?b=(a1,a2)?(b1,b2)=(a1b1,

? ? ? ? a2b2).已知向量 m=? ,4?,n=? ,0?,点 P 在 y=cos x 的图象上运动,点 Q 在 y=f(x)
1 π

?2

?

?6

?

→ → ?π π ? 的图象上运动,且满足OQ=m?OP+n(其中 O 为坐标原点),则 y=f(x)在区间? , ?上的 ?6 3? 最大值是(D) A.2 2 B.2 3 C.2 D.4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 1 13.已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α ,且 cos α = ,向量 a=3e1-2e2 与 b=3e1-e2 3 的夹角为 β ,则 cos β =________. 1 1 2 2 解析:因为 a = 9 + 4 -2?3?2? = 9 , b = 9 + 1 -2?3 ? 1 ? = 8 , a ? b = 9 + 2 - 3 3 1 9?1?1? =8, 3 8 2 2 所以 cos β = = . 3 3?2 2 考点:向量数量积及夹角 2 2 答案: . 3

? ?π π ? 2?π 14.已知函数 f(x)=2sin ? +x?- 3cos 2x-1,x∈ ? , ?,则 f(x)的最小值为 ?4 ? ?4 2?
________.

? 2?π 解析:f(x)=2sin ? +x?- 3cos 2x-1 ?4 ? ? ?π ?? =1-cos?2? +x??- 3cos 2x-1 ? ?4 ??

4

?π ? =-cos? +2x?- 3cos 2x ?2 ?
π? ? =sin 2x- 3cos 2x=2sin?2x- ?, 3? ? ∵ π π π π 2π ≤x≤ ,∴ ≤2x- ≤ , 4 2 6 3 3

π? 1 ? ∴ ≤sin?2x- ?≤1. 3? 2 ? π? ? ∴1≤2sin?2x- ?≤2,∴1≤f(x)≤2, 3? ? ∴f(x)的最小值为 1. 答案:1 π? ? 15.若将函数 f(x)=sin?2x+ ?的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称, 4? ? 则 φ 的最小正值是________. π? ? 解 析 : 由 题 意 f(x) = 2 sin ?2x+ ? , 将 其 图 象 向 右 平 移 φ 个 单 位 , 得 2 4? ? π? π? π π ? ? sin?2(x-φ )+ ?= 2sin?2x-2φ + ?,要使图象关于 y 轴对称,则 -2φ = +k 4 4 4 2 ? ? ? ? π kπ 3π π ,解得 φ =- - ,当 k=-1 时,φ 取最小正值 . 8 2 8 3π 答案: 8 π? ? 16.已知函数 f(x)=sin ω x,g(x)=sin?2x+ ?, 有下列命题: 2? ? π ①当 ω =2 时,f(x)g(x)的最小正周期是 ; 2 9 ②当 ω =1 时,f(x)+g(x)的最大值为 ; 8 π ③当 ω =2 时,将函数 f(x)的图象向左平移 可以得到函数 g(x)的图象. 2 其中正确命题的序号是______________(把你认为正确的命题的序号都填上). 1 解析:①ω =2 时,f(x)g(x)=si n 2x?cos 2x= sin 4x, 2 2π π 周期 T= = .故①正确. 4 2 1?2 9 ? 2 ②ω =1 时,f(x)+g(x)=sin x+cos 2x=sin x+1-2sin x=-2?sin x- ? + , 4? 8 ?

5

1 9 ∴当 sin x= 时,f(x)+g(x)取最大值 .故②正确. 4 8 π ③ω =2 时,将函数 f( x)的图象向左平移 得到 2

? π? sin 2?x+ ?=-sin 2x,故③不正确. 2? ?
答案:①② 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中,A(1,-2),B(-3,-4),O 为坐标原 点. → → (1)求OA?OB; → → → (2)若点 P 在直线 AB 上,且OP⊥AB,求OP的坐标. → → 解析:(1)OA?OB=1?(-3)+(-2)?(-4)=5. → → (2)设 P(m,n),∵P 在 AB 上,∴BA与PA共线. →

BA=(4,2),PA=(1-m,-2-n),
∴4?(-2-n)-2(1-m)=0. 即 2n-m+5=0.① → → 又∵OP⊥AB, ∴(m,n)?(-4,-2)=0. ∴2m+n=0.② → 由①②解得 m=1,n=-2,∴OP=(1,-2). π? 1 ? 18.(本小题满分 12 分)已知 tan?α + ?= . 4? 3 ? (1)求 tan α 的值;



?π ? ? 2 2?3π (2)求 2sin α -sin(π -α )sin? -α ?+sin ? +α ?的值. ?2 ? ? 2 ?
π ? tan α +1 1 1 ? 解析:(1)∵tan?α + ?= = ,∴tan α =- . 4 ? 1-tan α 3 2 ? (2)原式=2sin α -sin α cos α +cos α = 2sin α -sin α cos α +cos α 2tan α -tan α +1 = 2 2 2 sin α +cos α tan α +1
2 2 2 2 2

6

2 ? 1? ? 1? 2??- ? -?- ?+1 8 ? 2? ? 2? = = . 2 5 ?-1? +1 ? 2? ? ?

? π? 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2sin?x+ ?-2cos x. 6? ?
(1)求函数 f(x)的单调增区间; π? 6 ? (2)若 f(x)= ,求 cos?2x- ?的值. 3? 5 ?

? π? 解析:(1)f(x)=2sin?x+ ?-2cos x 6? ?
π π =2sin xcos +2cos xsin -2cos x 6 6

? π? = 3sin x-cos x=2sin?x- ?. 6? ?
π π π 由- +2kπ ≤x- ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 6 2 π 2 得- +2kπ ≤x≤ π +2kπ ,k∈Z, 3 3 π 2 所以 f(x)的单调增区间为[- +2kπ , π +2kπ ](k∈Z). 3 3

? π? ? π? 3 (2)由(1)知 f(x)=2sin?x- ?,即 sin?x- ?= . 6? 6? 5 ? ?
π? π? 7 ? 2? ∴cos?2x- ?=1-2sin ?x- ?= . 3? 6 ? 25 ? ? 1 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)- . 2 π 2 (1)若 0<α < ,且 sin α = ,求 f(a)的值; 2 2 (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. π 2 解析:(1)由 0<α < ,且 sin α = ,求出角 α 的余弦值,再根据函数 f(x)=cos 2 2

x(sin x+cos x)- ,即可求得结论.
1 (2)已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)- ,由正弦与余弦的二倍角公式,以及三角 2 函数的化一公式,将函数 f (x)化简,根据三角函数周期的公式即可得结论,根据函数的单 π 2 调递增区间,通过解不等式即可得到所求的结论.(1)因为 0<α < ,sin α = ,所以 2 2
7

1 2

cos α =

2 2? 2 2? 1 1 ,所以 f(a)= ? + ?- = . 2 2? 2 2? 2 2

1 2 (2)因为 f(x)=sin xcos x+cos x- 2 1 1+cos 2x 1 = sin 2x+ - 2 2 2 1 1 = sin 2x+ cos 2x 2 2 = π? 2 ? sin?2x+ ?, 4? 2 ?

2π π π π 3π π 所以 T= =π .由 2kπ - ≤2x+ ≤2k π + ,k∈Z,得 kπ - ≤x≤kπ + , 2 2 4 2 8 8

k∈Z.所以 f(x)的单调递增区间为?kπ -

? ?

3π π ,kπ + ? ,k∈Z. 8 8? ?

? π ? 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=sin x+acos x 的图象经过点?- ,0?. ? 3 ?
(1)求实数 a 的值; (2)设 g(x)=[f(x)] -2,求函数 g(x)的最小正周期与单调递增区间.
2

? π ? ? π? 解析:(1)∵函数 f(x)=sin x+acos x 的图象经过点?- ,0?,∴f?- ?=0, ? 3 ? ? 3? ? π? ? π? 即 sin?- ?+acos?- ?=0. ? 3? ? 3?
即- 3 a + =0.解得 a= 3. 2 2

π 2 (2)g(x)=4sin (x+ )-2 3 2π =2(1-cos(2x+ )-2 3 2π =-2cos(2x+ ) 3 2π ∴g(x)的最小正周期 T= =π . 2 2π 令- π +2kπ ≤2x+ ≤2k π ,k∈Z 3 - 5π π +kπ ≤x≤kπ - ,k∈Z 6 3

π ? 5π ? ∴g(x)的增区间为?- +kπ ,- +kπ ?,k∈Z. 6 3 ? ? 22.(本小题满分 10 分)已知向量 m=(sin x,-cos x),n=(cos θ ,-sin θ ),其
8

中 0<θ <π .函数 f(x)=m?n 在 x=π 处取最小值. (1)求 θ 的值; 1 (2)设 A,B,C 为△ABC 的三个内角,若 sin B=2sin A,f(C)= ,求 A. 2 解析:(1)∵f(x)=m?n=sin xcos θ +cos xsin θ =sin(x+θ ),又∵函数 f(x)在

x=π 处取最小值,∴sin(π +θ )=-1, 即 sin θ =1.又 0<θ <π ,∴θ = .

π 2

? π? (2)由(1)得,f(x)=sin?x+ ?=cos x. 2? ?
1 1 ∵f(C)= ,∴cos C= , 2 2 π ∵0<C<π ,∴C= . 3 2π ? 2π ? ∵A+B+C=π ,∴B= -A,代入 sin B=2sin A 中,∴sin? -A?=2sin A,∴ 3 ? 3 ? 2π 2π sin cosA-cos sin A=2sin A, 3 3 ∴tan A= 3 , 3

π ∵0<A<π ,∴A= . 6

9


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