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高考数学知识点复习题16


高考数学知识点复习题 16 第十六讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 一、选择题: 1.圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角弧度数为( π 2π A. B. C. 3 D.2 3 3 )

解析:设圆半径为 R,则其内接正三角形的边长为 3R,于是圆心角的弧度数为 α α 2.若 α 为第一象限角,那么 sin2α,cos2α,sin ,cos 中必定为正值的有( 2 2 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 α cos 的符号均不确定.故选 B. 2 3π 3π? 3.已知点 P? ?sin 4 ,cos 4 ?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为( π 3π 5π 7π A. B. C. D. 4 4 4 4 )

3R = 3.故选 C. R

α α 解析:由于 α 为第一象限角,所以 2α 为第一或二象限角,sin2α>0,cos2α 符号不确定, 为第一或三象限角,sin , 2 2

)

3π cos 4 3π 3π y 解析:解法一:r= sin2 +cos2 =1,由三角函数的定义,tanθ= = =-1. 4 4 x 3π sin 4 3π 3π 7π 又∵sin >0,cos <0,∴P 在第四象限,∴θ= ,故选 D. 4 4 4 2 2 解法二:P? ,- ?,同上.答案:D 2? ?2 4.若一个扇形的周长与面积的数值相等,则该扇形所在圆的半径不可能等于( ) A.5 B.2 C.3 D.4 1 1 4 4 解析:设扇形的半径为 R,圆心角为 α,则有 2R+Rα= R2α,即 2+α= R· α,整理得 R=2+ ,由于 ≠0,∴R≠2. 2 2 α α 答案:B 5.(2010· 烟台联考题)若角 α 的终边与直线 y=3x 重合,且 sinα<0,又 P(m,n)是 α 终边上一点,且|OP|= 10,则 m-n 等于( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 ?m2+n2=10, ?m=-1, ? ? 解析:由题意,tanα=3,α 是第三象限角,∴? 解得? ∴m-n=2. 答案:A ? ? ?n=3m<0, ?n=-3, 6.(2010· 福州模拟题)如图,已知单位圆 O 与 y 轴相交于 A、B 两点.角 θ 的顶点为原点,始边在 x 轴的非负半轴 上,终边在射线 OC 上.过点 A 作直线 AC 垂直于 y 轴且与角 θ 的终边交于点 C,则有向线段 AC 的函数值是( ) A.sinθ B.cosθ C.tanθ D.cotθ 解析:根据单位圆中三角函数线的定义可知应选择 D. 二、填空题: 7.已知 0≤α≤2π,点 P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,则 α 的取值范围是________. ?sinα-cosα>0, ?sinα>cosα, ? ? 解析:由题设? ?? ?tanα>0 ?tanα>0. ? ? π π? 5 再观察单位圆中的三角函数线即得答案.答案:? ?4,2?∪(π,4π) 8.扇形的中心角为 120° ,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________. 解析:设内切圆的半径为 r, 2 扇形半径为 R,则(R-r)sin60° =r.∴R=?1+ ?r, 3? ? 1 2π 2 · R 2 S扇形 2 3 7+4 3 7+4 3 1?R?2 1? 1+ ?2= ∴ = = . 答案: 2 = πr 3? r ? 3? 9 9 3? S圆 β 9.若角 β 的终边与 60° 角的终边相同,在[0° ,360° )内,终边与角 的终边相同的角为________. 3 β β 解析:∵β=k· 360° +60° ,k∈Z,∴ =k· 120° +20° ,k∈Z.又 ∈[0° ,360° ),∴0° ≤k· 120° +20° <360° ,k∈Z,∴- 3 3

1

1 17 β β ≤k< ,∴k=0,1,2.此时得 分别为 20° ,140° ,260° .故在[0° ,360° )内,与角 终边相同的角为 20° ,140° ,260° . 6 6 3 3 答案:20° ,140° ,260° 3 10.(2010· 南京第一次调研)已知角 α 的终边经过点 P(x,-6),且 tanα=- ,则 x 的值为________. 5 -6 3 解析:根据题意知 tanα= =- ,所以 x=10. 答案:10 x 5 三、解答题: 11.角 α 的终边上的点 P 与 A(a,b)关于 x 轴对称(a≠0,b≠0),角 β 的终边上的点 Q 与 A 关于直线 y=x 对称, sinα tanα 1 求 + + 的值. cosβ tanβ cosαsinβ -b a b a 解: 由题意可知 P(a, -b), 则 sinα= 2 cosα= 2 tanα=- ; 由题意可知 Q(b, a), 则 sinβ= 2 , 2, 2, a a +b a +b a +b2 b a cosβ= 2 2,tanβ= , b a +b 2 2 sinα tanα 1 b2 a +b ∴ + + =-1- 2+ 2 =0. cosβ tanβ cosαsinβ a a 12.解答下列问题: (1)若 θ 在第四象限,试判断 sin(cosθ)· cos(sinθ)的符号; θ (2)若 tan(cosθ)· tan(sinθ)>0,试指出 θ 所在象限,并用图形表示出 所取的范围. 2 解:(1)∵θ 在第四象限, π π ∴0<cosθ<1< ,- <-1<sinθ<0, 2 2 ∴sin(cosθ)>0,cos(sinθ)>0, ∴sin(cosθ)· cos(sinθ)>0. ? ? tan(cos θ)>0, ? ?tan(cosθ)<0, (2)由题知? 或? ? ? ?tan(sinθ)>0 ?tan(sinθ)<0.
? ?0<cosθ<1, ?-1<cosθ<0, ? ∴? 或? 即 θ 在第一或第三象限; ?0<sinθ<1 ?-1<sinθ<0, ? ? θ θ 若 θ 在第一象限,则 的取值范围如图①所示;若 θ 在第三象限,则 的取值范围如图②所示(见阴影部分,不含边界). 2 2 13.已知下列命题: θ θ 7 θ 4 θ 3 θ θ 1 (1)θ 是第二象限角; (2)sin +cos =- ; (3)tan = ; (4)tan = ; (5)sin -cos =- 2 2 5 2 3 2 4 2 2 5 试以其中若干(一个或多个)命题为条件,然后以剩余命题中的若干命题为结论,组成新命题,并证明之,至少组出 两个新命题. 解:以(1)(2)为条件,以(3)为结论. 证明:因为 θ 是第二象限角, π θ π 所以 kπ+ < <kπ+ ,k∈Z.① 4 2 2 θ θ 7 又 sin +cos =- , 2 2 5 θ 3 所以 2kπ+π< <2kπ+ π,k∈Z.② 2 2 5 θ 3 由①②可知 2kπ+ π< <2kπ+ π. 4 2 2 θ θ 7 θ θ 12 又由 sin +cos =- ,得 sin · cos = , 2 2 5 2 2 25 θ tan 2 12 所以 = . 25 2θ 1+tan 2 θ θ 所以 12tan2 -25tan +12=0. 2 2 θ 3 θ 4 解得 tan = (舍),tan = . 2 4 2 3

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