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3.1.2指数函数


指数函数(1)

引例1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分 裂成4个,……. 1个这样的细胞分裂 x 次后,得到 的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么? 分 分裂次数:1, 2, 3, 4, … , x 析

细胞个数:2, 4, 8, 16,… , y

由上面的对应关系可知,函数关系是:

y?2

x

引例2:某种商品的价格从今年起每年降低15%, 设原来的价格为1,x年后的价格为y,则y与x的 函数关系式为 : x

y ? 0.85

在 y ? 2 ,y ? 0.85 中指数x是自变量, 底数是一个大于0且不等于1的常量.
x x

我们把这种自变量在指数位置上而底数是一 个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.

指数函数的定义: 函数

y ? a (a ? 0且a ? 1)
x

叫做指数函数,其中x是自变量,

定义域是R。

探究:为什么要规定
探讨:若不满足上述条件

a ? 0且a ? 1
y?a
x

会怎么样?

(1)若 a ? 0 x 则当x > 0时, a
x

?0

当x≤0时, a 无意义. (2)若 a ? 0 则对于x的某些数值,可使 x a 无意义. 如 (?2) x ,这时对于

x ? 1,x ? 2
(3)若

1 4

……等等,

在实数范围内函数值不存在.

a ? 1 则对于任何 x ? R x a ? 1 是一个常量,没有研究的必要性

反馈 练习:
1.下列函数是指数函数的是

A. y=(-3)x

B. y=3x+1 C. y=-3x+1

指数函数中的 a 系数必须是 1,x必在指数 ( D ) 的位置 D. y=3-x

x

2.函数 y = ( a2 - 3a + 3) ax 是指数函数,求 a的值. 解:由指数函数 的定义有 a2 - 3a + 3=1 a =1或a = 2 解得 a>0 a≠1

a>0
a≠1

∴a=2

在同一坐标系中分别作出如下函数的图像:

y?2

x




y?( )

1 x 2

y?2

?x

y ?3

x

y?( )

1 x 3

y?3

?x

x

… … …

-3

-2

-1

-0.5 0.71
8

0 1 1
7

0.5 1.4

1 2

2 4

3 8

… …

y ? 2x
?1? y?? ? ?2?
x

0.13 0.25 0.5 8 4 2

1.4

0.71 0.5

f?x? =

0.25 0.13 …

x 2

6

5

g?x? = 0.5x

4

3

2

1

-6

-4

-2

2

4

6

y ? a (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质:
x

a ?1
y

0 ? a ?1
y

图 象

1 0 x

1 0

x

1.定义域: R 性 2.值域: (0, ??) 质 3.恒过点 (0,1) ,即x= 0 时,y= 1 4.在 R上是 增 函数 在R上是 减 函数

x

… … …

-2.5 0.06 15.6

-2 0.1 9

-1 0.3 3

-0.5 0.6 1.7

0 1 1

0.5 1.7 0.6

1 3 0.3

2 9 0.1

… … …

3x 3? x

1x ( q?x? = ) h?x? = 3x 3
6 5 4

1x g?x? =( ) 2

3

f?x? = 2x

2

1

-4

-2

2

4

二、指数函数的图像随底数大小的变化情况
例2、指数函数

y ?a ,y ?b ,y ?c ,y ?d
x x x

x

的图象如下图所示,则底数

a, b, c, d
y

与正整数 1

共五个数,从大到小的顺序是 : 0 ? b ? a ? 1 ? d ? c .

y ? bx y ? ax
1

y?c y?d
1
0

x

x

x

三、利用单调性比较两个数的大小
例3 、比较下列各题中两个值的大小: ①

1.7

2.5

, 1.7

3

构造函数 y=1.7x

解① :利用指数函数单调性1.7 2.5 , 3 1.7
x 的底数是1.7,它们可以看成函数 y ? 1.7

当x=2.5和3时的函数值;

y

y ? 1.7 x 因为1.7>1,所以函数
在R上是增函数,
1

y=1.7x

1.7 而2.5<3,所以,

2.5

? 1.7

3
0 2.5 3 x

例题分析 利用指数函数的性质,比较下列各题中两个值的 大小。

(1)1.7 与1.7
a

a?1

4 4 (3)已知( ) 与( ) ,比较a,b的大小 7 7
a b

(2)0.8 与0.8
?0.1

?0.2

(1)考察函数y =1.7x,它在实数集上是增函数 解:
因为a<a+1 ,所以

1.7 ? 1.7
a

a?1

(2)考察函数y =0.8x,它在实数集上是减函数

因为-0.1>-0.2 ,所以 0.8?0.1 ? 0.8?0.2
x (3)考察函数 y ? ( ) ,它在实数集上是减函数 4 a 47 因为( ) ? ( )b ,所以a ? b 7 7

4

③ ④ ⑤

1.7
( )

0.3

>

.

0.9
( )

3.1

1 0.5 6

? ?

.

1 0.5 2

3

?0.9

.

0.8

?0.9

“1”起 到了桥 梁的作 用

例4、求满足下列不等式的正数

a 的范围

a ?a a ?a
5

2 3

6 5

正数

a 的范围 (1, ??) . a 的范围
(0,1)
.

6 5

正数

利用指数函数单调性比大小的方法 : 1.对于底数相同,指数不同的两个幂的大小 比较,可用单调性判断 2.对于底数不同,指数相同的两个幂的大小 比较,可利用指数函数图像的变化规律来判 断 3.对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较, 应通过 中间值来比较 ,一般的,用特殊的数1或0

四、解简单的指数不等式
例5、解不等式 2 x ?x

a 2

?a 2

? x ?3

解:由指数函数的单调性可得:

x ? x ? ?x ? 3
2

x2 ? 2 x ? 3 ? 0 整理得:
解得:

?3 ? x ? 1
x ? 1}

?

原不等式的解集为:{x | ?3 ?

练习: 一、判断大小 二、解下列不等式

4

0.3

? ? ?
? ?

4

?0.4



2

x2 ? x

?( )

1 x ?2 4

0.1
( )

0.3

0.1
3

?0.4

0.3

(3 x ?1)(2 x ?1)

?1

4 0.3 3

0.3 0.3

参考答案

4 4

0.3

3

① {x | ?4 ?

x ? 1}

?0.3

?

?

0.3?0.4

{x | ? 1 ? x ? 1 } ② 2 3


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