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全国高中数学教师优秀教案-《导数的概念》教案(广东曾劲松)

《导数的概念》教案 广东省深圳市深圳中学 曾劲松 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书(A 版)数学选修 2-2 第 一章第一节的《变化率与导数》 , 《导数的概念》是第 2 课时. 教学内容分析 1.导数的地位、作用 导数是微积分的核心概念之一,它是一种特殊的极限,反映了函数变化的快慢程度.导 数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具,同时对研究几何、 不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础.同时,导数在物理学,经济 学等领域都有广泛的应用,是开展科学研究必不可少的工具. 2.本课内容剖析 教材安排导数内容时,学生是没有学习极限概念的.教材这样处理的原因,一方面是 因为极限概念高度抽象,不适合在没有任何极限认识的基础上学习.所以,让学生通过学习 导数这个特殊的极限去体会极限的思想,这为今后学习极限提供了认识基础.另一方面,函 数是高中的重要数学概念,而导数是研究函数的有力工具,因此,安排先学习导数方便学生 学习和研究函数. 基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度,因此,先通过求物体在某一 时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度, 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是 瞬时变化率的的模型,并将瞬时变化率定义为导数,这是符合学生认知规律的. 进行导数概念教学时还应该看到, 通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬 时速度; 从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变 化率,我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想. 教学目的 1.使学生认识到:当时间间隔越来越小时,运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向 于一个常数,并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度; 2.使学生通过运动物体瞬时速度的探求,体会函数在某点附近的平均变化率的极限就 是函数在该点的瞬时变化率,并由此建构导数的概念; 3.掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤; 4.通过导数概念的构建,使学生体会极限思想,为将来学习极限概念积累学习经验; 1 5.通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律 的重要过程. 教学重点 通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求,抽象概括出函数导数的概念. 教学难点 使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义, 由此得出函数在某点平均变化 率的极限就是函数在该点的瞬时变化率,并由此得出导数的概念. 教学准备 1.查找实际测速中测量瞬时速度的方法; 2.为学生每人准备一台 Ti-nspire CAS 图形计算器,并对学生进行技术培训; 3.制作《数学实验记录单》及上课课件. 教学流程框图 教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律,使学生在操作感知的基础上形成导 数概念的表象, 再通过表象抽象出导数概念, 并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一 步体会导数的本质. 教学的主要过程设计如下: 复 习 准 备 体 会 模 型 提 炼 模 型 形 成 概 念 应 用 概 念 小 结 作 业 理解平均速度与瞬时速度 的区别与联系. 感受当△t→0 时,平均速 度逼近于某个常数. 从形式上完成从平均速度 向瞬时速度的过渡. 由物体运动的瞬时速度推 广到函数瞬时变化率,并 由此得出导数的定义. 理解导数概念,熟悉求导 的步骤,应用计算结果解 释瞬时变化率的意义. 通过师生共同小结,使学 生进一步感受极限思想对 人类思维的重大影响. 2 教学过程设计 预计时 教学内 间 (分) 容 教师活动 (1)提问:请说出函数从 x1 到 x2 的平均变化率公式. (2)提问:如果用 x1 与增量△x 表示平均变化率的公式是怎样的? ( 3 )高台跳水的例子中,在时 间段 [0, 学生活动 回答问题后理解: ( 1 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) . x2 ? x1 ( 2 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) . ?x 教学评价 (1)复习 过程应使 学生明确 函数的平 均变化率 表示. 65 ] 里的平均速度是零, 而实 (3) 学生在教师的 49 讲述中思考用什么 量来反映运动员的 运动状态. 1.复习 准备 设计意 图: 让学 生理解 平均速 度与瞬 时速度 的区别 与联系, 感受到 平均速 度在时 间间隔 很小时 可以近 似地表 示瞬时 速度. 5 分钟 际上运动员并不是静止的.这说明平 均速度不能准确反映他在这段时间 里运动状态. ( 4 )提问:用一个什么样的量 来反映物体在某一时刻的运动状 态? ( 5 )提问:我们如何得到物体 在某一时刻的瞬时速度?例如,要求 物体在 2S 的瞬时速度,应该怎么解 决? ( 6 )我们一起来看物理中测即 时速度(瞬时速度)的视频: (4) 让学生体会并 明确瞬时速度的作 用. (5)学生思考. (6) 学生观看视频 并思考. (2)应使 学生明确 平均速度 与瞬时速 度 的 关 系,为下 一阶段实 验活动作 铺垫. (7 )提问:这里所测得的真的 是瞬时速度吗? ( 8 )提问:怎样使平均速度更 好的表示瞬时速度? (9)在学生回答的基础上讲述: 真正的瞬时速度根本无法通过 仪器测定,我们将平均速度作为瞬时 速度的近似值; 为了使平均速度更好的表示瞬 时速度,应该让时间间隔尽量小. (7) 期望或引导答 出“是平均速度” . (8)学生回答,得 出“时间间隔越小 越好! ” (9) 学生体会教师 所 讲结论. 3 (1)向学生提出数学实验任务: 已知跳水运动员在跳水过程中距离水 面 的 高 度 与 时 间 的 函 数 h(t)= - 4.9t2+6.5t+10, 请你用计算器完成下列表格 中 t0=2 秒附近的平均速度的计算并填充好 表格,观察平均速度的变化趋势. 数学实验记录单(1) 2.体 会模 型 设 计 意图: 让 学 生 在 信 息 技

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