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浙江省湖州市安吉县上墅私立中学2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

2016-2017 学年浙江省湖州市安吉县上墅私立中学高一(上)期末数学试卷
一、选择题: (共 18 小题,每小题 3 分,共 54 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要 求) 1.若全集 U={0,1,2,3},A={0,1,2},B={0,2,3},则 A∪(?UB)=( A.? B.{1} C.{0,1,2} D.{2,3} ) )

2.已知集合 M={x∈Z|﹣1≤x≤3},N={1,2},则?MN 等于( A.{1,2} B.{﹣1,0,3} 3.函数 f(x)= A. (﹣ ,+∞) C.{0,3} D.{﹣1,0,1} )

+lg(3x+1)的定义域是(

B. (﹣∞,﹣ ) C. (﹣ , ) D. (﹣ ,1)

4.函数

,则

的值是(



A.

B.

C.

D. )

5.函数 f(x)=1﹣log2x 的零点是( A. (1,1) B.1 C. (2,0) D.2

6.cos35°cos25°﹣sin145°cos65°的值为( A.﹣ B.cos10° C. D.﹣cos10°



7.若函数满足 f(x)=﹣f(x+2) ,则与 f A.f(1) B.f(2) C.f(3) D.f(4) 8.已知 tanα=﹣2,其中 α 是第二象限角,则 cosα=( A.﹣ 9.设函数 A.最小正周期为 π 的奇函数 C.最小正周期为 的奇函数 B. C.± D.﹣ ,则 f(x)是( B.最小正周期为 ) )

的偶函数

D.最小正周期为 π 的偶函数 四个值,与曲线 c1、c2、

10.如图的曲线是幂函数 y=xn 在第一象限内的图象.已知 n 分别取±2, c3、c4 相应的 n 依次为( )
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A.

B.

C.

D.

11.若函数 y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,再将整个图象沿 x 轴向左平移 A.y= C.y= 个单位,沿 y 轴向下平移 1 个单位,得到函数 y= sinx 的图象则 y=f(x)是( B.y= D.y= ) )

12.函数 y=3|log3x|的图象是( A. B.

C.

D.

13.若函数 f(x)= A.1 B.2 C.3

+ 是奇函数,则 a 的值为( D.4 (x2+2x﹣3)的单调增区间是( B. (﹣∞,﹣3] C. (﹣∞,﹣1)



14.函数 f(x)=log A. (﹣∞,﹣3)

) D. (﹣3,﹣1) )

15.已知函数 f(x)=( )x﹣log3x,若实数 x0 是方程 f(x)=0 的解,且 x0<x1,则 f(x1)的值( A.恒为负 B.等于零 C.恒为正 D.不大于零 16.同时具有性质“①最小正周期是 π,②图象关于 x= 个函数是( A. ) B. C. D. 对称,③在

上是增函数”的一

17.f(x)是定义在区间[﹣c,c]上的奇函数,其图象如图所示:令 g(x)=af(x)+b,则下列关于 函数 g(x)的叙述正确的是( )

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A.若 a<0,则函数 g(x)的图象关于原点对称. B.若 a=1,0<b<2,则方程 g(x=0)有大于 2 的实根. C.若 a=﹣2,b=0,则函数 g(x)的图象关于 y 轴对称 D.若 a≠0,b=2,则方程 g(x)=0 有三个实根 18. b∈R, b}= 对 a, 记 max{a, A.0 B. C. D.3 =max{|x+1|, , 函数 f (x) |x﹣2|} (x∈R) 的最小值是 ( )

二、填空题: (每空 3 分,共 15 分.请将答案填在答卷对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模 棱两可均不得分) 19.已知 20.已知 21.给出下列命题: (1)函数 y=3x(x∈R)与函数 y=log3x(x>0)的图象关于直线 y=x 对称; (2)函数 y=|sinx|的最小正周期 T=2π; (3)函数 (4)函数 其中正确的命题序号是 . , 的图象关于点 成中心对称图形; 的单调递减区间是 . ,则 cosθ= ,则 tanx= ; . = .

22. 2]上的函数, x2 已知 f (x) 是定义在[﹣2, 且对任意实数 x1, (x1≠x2) , 恒有 且 f(x)的最大值为 1,则满足 f(log2x)<1 的解集为 .

三、解答题: (共 31 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 23.已知 f(x)=﹣cos2x+ sinxcosx
第 3 页(共 18 页)

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小值并求函数取得最小值时自变量 x 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调增区间. 24.已知函数 f(x)=x2+mx﹣1,m∈R. (1)若关于 x 的不等式 f(x)<0 的解集是{x|﹣2<x<n},求实数 m,n 的值; (2)若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,求实数 m 的取值范围. 25.已知函数 f(x)=log2(2x﹣1) (Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 若函数 g(x)=log2(2x+1) ,且关于 x 的方程 g(x)=m+f(x)在区间[1,2]上有解,求实数 m 的取值范围.

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2016-2017 学年浙江省湖州市安吉县上墅私立中学高一(上)期末数学 试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (共 18 小题,每小题 3 分,共 54 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要 求) 1.若全集 U={0,1,2,3},A={0,1,2},B={0,2,3},则 A∪(?UB)=( A.? B.{1} C.{0,1,2} D.{2,3} )

【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】通过已知条件求出?UB,然后求出 A∪?UB 即可. 【解答】解:因为全集 U={0,1,2,3},B={0,2,3}, 所以?UB={1}, 又 A={0,1,2}. 所以 A∪?UB={0,1,2}. 故选 C.

2.已知集合 M={x∈Z|﹣1≤x≤3},N={1,2},则?MN 等于( A.{1,2} B.{﹣1,0,3} 【考点】补集及其运算. C.{0,3} D.{﹣1,0,1}



【分析】根据题意先用列举法表示出 M,再由补集的运算求出 CMN. 【解答】解:由题意知,M={x∈Z|﹣1≤x≤3}={﹣1,0,1,2,3}, 由于 N={1,2},则 CMN={﹣1,0,3}, 故选 B.

3.函数 f(x)= A. (﹣ ,+∞)

+lg(3x+1)的定义域是(



B. (﹣∞,﹣ ) C. (﹣ , ) D. (﹣ ,1)

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】根据函数成立的条件即可求出函数的定义域.
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【解答】解:要使函数有意义,则



即 即

, ,

∴函数的定义域为(﹣ ,1) , 故选:D.

4.函数

,则

的值是(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的值. 【分析】由题意可得函数是分段函数,因此应该先看自变量所在的范围,进而求出答案.

【解答】解:由题意可得:函数



所以 f( )=﹣ ,所以 f( 故选 A.

)= .

5.函数 f(x)=1﹣log2x 的零点是( A. (1,1) B.1 C. (2,0) D.2



【考点】函数的零点. 【分析】令 f(x)=1﹣log2x=0,可得结论. 【解答】解:令 f(x)=1﹣log2x=0,可得 x=2 ∴函数 f(x)=1﹣log2x 的零点是 2 故选 D.

6.cos35°cos25°﹣sin145°cos65°的值为(


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A.﹣ B.cos10° C.

D.﹣cos10°

【考点】三角函数的化简求值. 【分析】利用诱导公式把要求的式子化为 cos35°cos25°﹣sin35°sin25°,再利用两角和的余弦公式化为 cos60°,从而得到结论. 【解答】解:cos35°cos25°﹣sin145°cos65°=cos35°cos25°﹣sin35°sin25°=cos(35°+25°)= , 故选:C

7.若函数满足 f(x)=﹣f(x+2) ,则与 f A.f(1) B.f(2) C.f(3) D.f(4) 【考点】函数的周期性. 【分析】求出函数 f(x)的周期,根据函数的周期性判断即可. 【解答】解:∵f(x)=﹣f(x+2)=f(x+4) , ∴f(x)是以 4 为周期的函数, 故 f=f(4) , 故选:D.

8.已知 tanα=﹣2,其中 α 是第二象限角,则 cosα=( A.﹣ B. C.± D.﹣



【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【分析】由 tanα 的值,以及 α 是第二象限角,利用同角三角函数间的基本关系即可求出 cosα 的值. 【解答】解:∵tanα=﹣2,其中 α 是第二象限角, ∴cosα=﹣ 故选:A. =﹣ .

9.设函数 A.最小正周期为 π 的奇函数 C.最小正周期为 的奇函数

,则 f(x)是( B.最小正周期为



的偶函数

D.最小正周期为 π 的偶函数
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【考点】正弦函数的图象. 【分析】根据三角函数的图象和性质判断即可. 【解答】解:函数 化简可得:f(x)=﹣cos2x, ∴f(x)是偶函数. 最小正周期 T= =π, ,

∴f(x)最小正周期为 π 的偶函数. 故选 D

10.如图的曲线是幂函数 y=xn 在第一象限内的图象.已知 n 分别取±2, c3、c4 相应的 n 依次为( )

四个值,与曲线 c1、c2、

A.

B.

C.

D.

【考点】幂函数图象及其与指数的关系. 【分析】由题中条件:“n 取±2,± 四个值”,依据幂函数 y=xn 的性质,在第一象限内的图象特征可 得. 【解答】解:根据幂函数 y=xn 的性质,在第一象限内的图象, 当 n>0 时,n 越大,递增速度越快, 故曲线 c1 的 n=2,曲线 c2 的 n= , 当 n<0 时,|n|越大,曲线越陡峭,所以曲线 c3 的 n= 曲线 c4 的﹣2, 故依次填 2, ,﹣ ,﹣2. 故选 A.
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11.若函数 y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,再将整个图象沿 x 轴向左平移 A.y= C.y= 个单位,沿 y 轴向下平移 1 个单位,得到函数 y= sinx 的图象则 y=f(x)是( B.y= D.y= )

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】根据题意以及函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,平移函数 y= sinx 的图象可得 y=f(x) 的图象. 【解答】解:根据 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律可得, 把函数 y= sinx 的图象向上平移 1 个单位,可得函数 y= sinx+1 的图象; 再将整个图象沿 x 轴向右平移 个单位,可得 y= sin(x﹣ )+1 的图象; )+1 的图象,

再把图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的 倍,可得 y= sin(2x﹣ 故函数 f(x)= sin(2x﹣ 故选 B. )+1,

12.函数 y=3|log3x|的图象是( A. B.



C.

D.

【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法. 【分析】由函数解析式,此函数是一个指数型函数,且在指数位置带有绝对值号,此类函数一般先去 绝对值号变为分段函数,再依据此分段函数的性质来确定那一个选项的图象是符合题意的. 【解答】解:y=3|log3x|= ,即 y=

由解析式可以看出,函数图象先是反比例函数的一部分,接着是直线 y=x 的一部分, 考察四个选项,只有 A 选项符合题意, 故选 A.

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13.若函数 f(x)= A.1 B.2 C.3

+ 是奇函数,则 a 的值为( D.4



【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】利用函数 f(x)是奇函数,可得 f(﹣x)+f(x)=0,通过解方程,可求实数 a 的值 【解答】解:∵函数 f(x)=)= + 是奇函数

∴f(﹣x)+f(x)= ∴a=2 故选:B

+ +

+ =

+

+ =



+ = ﹣1=0,

14.函数 f(x)=log A. (﹣∞,﹣3)

(x2+2x﹣3)的单调增区间是( B. (﹣∞,﹣3] C. (﹣∞,﹣1)

) D. (﹣3,﹣1)

【考点】复合函数的单调性. 【分析】先确定函数的定义域,再考虑内外函数的单调性,即可得到结论. 【解答】解:令 t=x2+2x﹣3,则由 x2+2x﹣3>0 可得 x>1 或 x<﹣3 又 t=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,∴函数在(﹣∞,﹣3)上单调减 ∵y= 在(0,+∞)上单调减

∴原函数的单调增区间为(﹣∞,﹣3) 故选 A.

15.已知函数 f(x)=( )x﹣log3x,若实数 x0 是方程 f(x)=0 的解,且 x0<x1,则 f(x1)的值( A.恒为负 B.等于零 C.恒为正 D.不大于零 【考点】函数的零点与方程根的关系.



【分析】由函数的性质可知,f(x)=( )x﹣log3x 在(0,+∞)上是减函数,且可得 f(x0)=0,由 0<x0<x1,可得 f(x1)<f(x0)=0,即可判断 【解答】解:∵实数 x0 是方程 f(x)=0 的解, ∴f(x0)=0.
第 10 页(共 18 页)

∵函数 y( )x,y=log3x 在(0,+∞)上分别具有单调递减、单调递增, ∴函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数. 又∵0<x0<x1, ∴f(x1)<f(x0)=0. ∴f(x1)的值恒为负. 故选 A.

16.同时具有性质“①最小正周期是 π,②图象关于 x= 个函数是( A. ) B. C.

对称,③在

上是增函数”的一

D.

【考点】正弦函数的对称性;正弦函数的单调性. 【分析】利用正弦函数与余弦函数的周期性、对称性与单调性判断即可. 【解答】解:对于 y=f(x)=sin(2x﹣ f( 由﹣ )=sin ≤2x﹣ ) ,其周期 T= 对称, =π,

=1 为最大值,故其图象关于 x= ≤ 得,﹣ )在 ≤x≤ ,

∴y=f(x)=sin(2x﹣ 即 y=f(x)=sin(2x﹣ 故选:A.

上是增函数,

)具有性质①②③,

17.f(x)是定义在区间[﹣c,c]上的奇函数,其图象如图所示:令 g(x)=af(x)+b,则下列关于 函数 g(x)的叙述正确的是( )

A.若 a<0,则函数 g(x)的图象关于原点对称. B.若 a=1,0<b<2,则方程 g(x=0)有大于 2 的实根.
第 11 页(共 18 页)

C.若 a=﹣2,b=0,则函数 g(x)的图象关于 y 轴对称 D.若 a≠0,b=2,则方程 g(x)=0 有三个实根 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】当 a<0,b≠0 时,由 g(0)=af(0)+b=b≠0 可排除 A;方程 g(x)=0,其实根即 y=f(x) 的图象与直线 y=﹣b 的交点的横坐标.由图象可判断 B 正确. 【解答】解:当 a<0,b≠0 时,g(0)=af(0)+b=b≠0, ∴g(x)不是奇函数,此时函数 g(x)的图象不关于原点对称,故 A 不正确. 方程 g(x)=0,即 af(x)+b=0,当 a≠0 时,其实根即 y=f(x)的图象与直线 y=﹣b 的交点的横坐标. 当 a=1,0<b<2 时,﹣b∈(﹣2,0) ,由图所知,y=f(x)的图象与直线 y=﹣b 有一交点的横坐标 大于 2,故 B 正确. 故选 B.

18. b∈R, b}= 对 a, 记 max{a, A.0 B. C. D.3

=max{|x+1|, , 函数 f (x) |x﹣2|} (x∈R) 的最小值是 (



【考点】函数的值域. 【分析】根据题中所给条件通过比较|x+1|、|x﹣2|哪一个更大先求出 f(x)的解析式,再求出 f(x) 的最小值. 【解答】解:当 x<﹣1 时,|x+1|=﹣x﹣1,|x﹣2|=2﹣x,因为(﹣x﹣1)﹣(2﹣x)=﹣3<0,所以 2﹣x>﹣x﹣1; 当﹣1≤x< 时,|x+1|=x+1,|x﹣2|=2﹣x,因为(x+1)﹣(2﹣x)=2x﹣1<0,x+1<2﹣x; 当 <x<2 时,x+1>2﹣x; 当 x≥2 时,|x+1|=x+1,|x﹣2|=x﹣2,显然 x+1>x﹣2; 故 f(x)=

据此求得最小值为 . 故选 C.

第 12 页(共 18 页)

二、填空题: (每空 3 分,共 15 分.请将答案填在答卷对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模 棱两可均不得分) 19.已知 【考点】三角函数的化简求值. 【分析】根据同角三角函数关系式和两角和与差的公式即可求解. 【解答】解:∵ 则 cosθ=﹣ =sinθcos 故答案为: , = +cosθsin . = = , ,则 cosθ= ; = .

20.已知

,则 tanx= ﹣



【考点】同角三角函数间的基本关系. 【分析】 已知等式两边平方, 利用同角三角函数间的基本关系化简, 根据 x 的范围确定出 sinx 大于 0,
2 cosx 小于 0, =1﹣2sinxcosx, 即 sinx﹣cosx 大于 0, 利用完全平方公式得到 (sinx﹣cosx) 开方求出 sinx

﹣cosx 的值,与已知等式联立求出 sinx 与 cosx 的值,即可确定出 tanx 的值. 【解答】解:将 sinx+cosx= ①两边平方得: (sinx+cosx)2= ∴2sinxcosx=﹣ <0, ,π) , ,即 1+2sinxcosx= ,

∵x∈(0,π) ,∴x∈(

∴cosx<0,sinx>0,即 sinx﹣cosx>0, ∴(sinx﹣cosx)2=1﹣2sinxcosx= 联立①②得:sinx= ,cosx=﹣ , 则 tanx= =﹣ . ,即 sinx﹣cosx= ②,

故答案为:﹣

21.给出下列命题: (1)函数 y=3x(x∈R)与函数 y=log3x(x>0)的图象关于直线 y=x 对称;
第 13 页(共 18 页)

(2)函数 y=|sinx|的最小正周期 T=2π; (3)函数 (4)函数 其中正确的命题序号是 (1) 、 (3) 、 (4) . 的图象关于点 成中心对称图形; 的单调递减区间是 .

【考点】正切函数的奇偶性与对称性;正弦函数的单调性. 【分析】 (1)指数函数与对数函数互为反函数,图象关于直线 y=x 对称; (2)绝对值三角函数,周期减半,得知最小正周期为 π; (3)当 x= 时,函数值为 0,即可判断.

(4)利用诱导公式使自变量 x 的系数为正,然后根据正弦函数的单调性求解即可. 【解答】解: (1)函数 y=3x(x∈R)与函数 y=log3x(x>0)互为反函数,故它们的图象关于直线 y=x 对称,正确; (2)函数 y=|sinx|的最小正周期 T=π,错误; (3)函数 (4) y= 的单调增区间区间满足 过点 ,图象关于点 , ∈[ ,函数 ],k∈Z. 的单调递减 成中心对称图形,正确;

又 x∈[﹣2π,2π],所以 区间是 正确. 故答案为: (1 ) 、 (3) 、 (4) . .

22. 2]上的函数, x2 已知 f (x) 是定义在[﹣2, 且对任意实数 x1, (x1≠x2) , 恒有 且 f(x)的最大值为 1,则满足 f(log2x)<1 的解集为 【考点】其他不等式的解法. 【分析】由“意实数 x1,x2(x1≠x2) ,恒有 [ ,4) .



”,得到 f(x)是定义在[﹣2,2]上的

增函数,从而得到最大值:f(2) ,这样,不等式(log2x)<1 可转化为:f(log2x)<f(2) ,利用函
第 14 页(共 18 页)

数的单调性求解. 【解答】解:∵对任意实数 x1,x2(x1≠x2) ,恒有 ∴f(x)是定义在[﹣2,2]上的增函数 ∴f(x)的最大值为:f(2)=1 ∴f(log2x)<1 可转化为:f(log2x)<f(2) ∴可得: 解得: 故答案为:[ ,4) ,

三、解答题: (共 31 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 23.已知 f(x)=﹣cos2x+ sinxcosx

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小值并求函数取得最小值时自变量 x 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调增区间. 【考点】正弦函数的单调性;三角函数的周期性及其求法. 【分析】 (Ⅰ)利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,结合三角函数 的图象和性质,求出 f(x)的最小值. (Ⅱ)将内层函数看作整体,放到正弦函数的增区间上,解不等式得函数的单调递增区间; 【解答】解: (Ⅰ)由 f(x)=﹣cos2x+ 化简: 令 解得 故当 (Ⅱ) 令 由 解得:
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sinxcosx

= ,

时,函数 f(x)的最小值为 ,函数 y=sint 的单调增区间为 , (k∈Z)

. ,



的单调增区间为

24.已知函数 f(x)=x2+mx﹣1,m∈R. (1)若关于 x 的不等式 f(x)<0 的解集是{x|﹣2<x<n},求实数 m,n 的值; (2)若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,求实数 m 的取值范围. 【考点】一元二次不等式的解法;二次函数的性质. 【分析】 (1)根据题意,根据不等式与对应方程的关系,利用根与系数的关系即可求出 m、n 的值; (2)根据题意得出 ,解不等式组即可.

【解答】解: (1)根据题意,关于 x 的不等式 x2+mx﹣1<0 的解集是{x|﹣2<x<n}, 所以方程 x2+mx﹣1=0 的实数根为﹣2 和 n, 由根与系数的关系得 m= ,n= ; (2)对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立, 可得 解得﹣ <m<0, ,0) . , ,

即实数 m 的取值范围是(﹣

25.已知函数 f(x)=log2(2x﹣1) (Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 若函数 g(x)=log2(2x+1) ,且关于 x 的方程 g(x)=m+f(x)在区间[1,2]上有解,求实数 m 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理. 【分析】 (Ⅰ)令 t=2x﹣1,则 y=log2t,根据对数函数的性质求出函数的单调性即可; (Ⅱ)问题转化为 m=g(x)﹣f(x)在区间[1,2]上有解,令 据函数的单调性求出 m 的范围即可.
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,根

【解答】解: (Ⅰ)函数 令 t=2x﹣1,y=log2t,

的定义域为(0,+∞) ,

当 x∈(0,+∞)时,函数 t=2x﹣1 单调递增, 当 t∈(0,+∞)时,函数 y=log2t 单调递增, 所以函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞) ; (Ⅱ)方程 g(x)=m+f(x)在区间[1,2]上有解, 即 m=g(x)﹣f(x)在区间[1,2]上有解, 令 当 x∈[1,2]时, 所以 所以 . , , ,令 ,

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2017 年 2 月 23 日

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