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人教课标版高中数学必修一《指数函数及其性质(第1课时)》教案-新版

2.1.2 指数函数及其性质 第一课时
一、教学目标 (一)学习目标 1.掌握指数函数的概念(定义、解析式) . 2.掌握指数函数的图像及其性质. 3.灵活运用指数函数的图像及性质. (二)学习重点 1.指数函数的定义和解析式. 2.指数函数的图像及其性质. (三)学习难点 1.指数函数的图像性质与底数 a 的关系. 2.如何由图像、解析式归纳指数函数的性质. 二、教学设计 (一)课前设计 1.预习任务 (1)读一读:阅读教材第 54 页至第 58 页,填空: 一般地,函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数(exponential function) ,其中 x 是自变量, 函数的定义域是 R. 指数函数的解析式 y ? a x 中, a x 的系数是 1. 指数函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 的图象和性质:

a ?1
6

0 ? a ?1
6

5

5



4

4

3

3

2

2


-4 -2

1

1

1

1

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 值域 过定点 性质 单调性 奇偶性

x?R

y ? (0,??)
过定点 (0,1) ,即 x ? 0 时, y ? 1 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 非奇非偶函数

(2)写一写:指数函数 y ? a x 中为什么要规定 a ? 0 且 a ? 1 呢? ①若 a ? 0 ,则当 x ? 0 时, a x ? 0 ;当 x ? 0 时, a x 无意义. ②若 a ? 0 ,则对于 x 的某些数值,可使 a x 无意义. ③若 a ? 1 ,则对于任意的 x ? R , a x ? 1 是一个常量,没有研究的必要性. 2.预习自测 (1)下列函数中是指数函数的是( A. y ? 2 ? 3 x B. y ? a x ) C. y ? 2 x D. y ? x 2

【知识点】指数函数的定义、解析式. 【数学思想】 【解题过程】只有选项 C 符合 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) . 【思路点拨】理解指数函数满足的条件. 【答案】C. (2)已知函数 y ? 2 x 的图象经过点 (?1, y0 ) ,那么 y0 ? ( A.
1 2



B. ?

1 2

C. 2

D. ? 2

【知识点】指数函数图像上点的坐标. 【数学思想】 【解题过程】点 (?1, y0 ) 满足 y ? 2 x ,则 y0 ? 2 ?1 ,解得 y0 ?
1 . 2

【思路点拨】根据指数函数图像上点的坐标特征,将点 (?1, y0 ) 代入 y ? 2 x 即可求得 y0 . 【答案】A. (3)函数 y ? (a ? 2) 2 a x 是指数函数,则 a 的值是( )

A. a ? 1 或 a ? 3

B. a ? 1

C. a ? 3

D. a ? 0 且 a ? 1

【知识点】指数函数的定义、解析式. 【数学思想】

?a ? 0且a ? 1 【解题过程】由 ? 解得 a ? 3 . 2 ?(a ? 2) ? 1
【思路点拨】理解指数函数的系数为 1,底数范围为 a ? 0 且 a ? 1 . 【答案】C. (二)课堂设计 1.知识回顾 (1)一般地,如果 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根(n th root) ,其中 n>1,且 n ? N ?

?a , a ? 0 (2)当 n 为奇数时, n a n ? a ;当 n 为偶数时, n a n ? ? ?? a , a ? 0
(3)有理数指数幂的运算性质:

a r a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? Q) (a r ) s ? a rs (a ? 0, r , s ? Q) (ab) r ? a r b r (a ? 0, b ? 0, r ? Q)
2.问题探究 探究一 结合实例,认识指数函数

●活动① 提炼概念(归纳指数函数模型) 请你想一想,这两个函数的结构有什么共同特征? ①设 x 年后我国的 GDP 为 2000 年的 y 倍,那么: y ? 1.073x ( x ? N? , x ? 20)

1 ? 5730 ②生物体内碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的关系: P ? ? ? ? (t ? 0) ?2?
1 ? 5730 在 y ? 1.073 , P ? ? ? ? 中,x,t 是自变量,底数是一个大于 0 且不等于 1 的常量. ?2?
x

t

t

一般地,函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数(exponential function) ,其中 x 是自变量,函数 的定义域是 R.

【设计意图】考虑到知识间的联系,以本章开篇的两个例子为出发点,找出两个函数表达形式 上的共同特征——底数是常数而指数是自变量,进而提炼出指数函数模型 y ? a x . ●活动② 辨析概念(判定指数函数解析式) 分析指数函数定义,你能判断下列哪些不是指数函数吗?

y ? 2x?2
y ??x

y ? (?2) x y ? x2

y ? ?2 x y ? 4x2

y ? xx

y ? ( a ? 1) x (a ? 1且a ? 2)

根据指数函数的定义来判断说明: 若 a>0,x 是任意一个实数时, a x 是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集 R.
x ? ?a ? 0, x ? 0 若 a=0, ? x . ? a 无意义, x ? 0 ?

1 1 若 a<0,如 y ? (?2) x ,对于 x ? , x ? 等等,在实数范围内的函数值不存在. 6 8

若 a=1, y ? 1x ? 1 是一个常量,没有研究的意义. 通过探究,你能否归纳出判断一个函数是否为指数函数的方法呢?(抢答) 底数的值是否符合要求 (a ? 0且a ? 1) ; a x 前面的系数是否为 1;指数是否符合要求. 【设计意图】通过概念辨析,加深对指数函数概念(定义及解析式)的理解,掌握指数函数解 析式中的隐藏条件. 探究二 探究指数函数的图像★▲

●活动① 大胆操作 累积经验★
?1? 在直角坐标系下,请用描点法分别作出函数 y ? 2 x 和函数 y ? ? ? 的图像,并探究图像分 ?2?
x

别位于哪几个象限?与 x 轴的相对位置关系如何?图像中有哪些特殊的点?图像在 y 轴左、 右 两侧的分布情况如何? 函数 y ? 2 x 的图像如图所示:

6 5 4 3 2 1 –3 –2 –1 –1

y

O1

2

3

4

x

由该图像可知,函数 y ? 2 x 的图像位于第一、二象限;始终在 x 轴上方,且有特殊点(0,1), 图像在 y 轴左侧无限接近于-∞、在 y 轴右侧无限接近于+∞.
?1? 函数 y ? ? ? 的图像如图所示: ?2?
y 6 5 4 3 2 1 –3 –2 –1 –1 O1 2 3 4 x
x x

?1? 由该图像可知,函数 y ? ? ? 的图像也位于第一、二象限;也始终在 x 轴上方,且有特殊点 ?2?

(0,1),但图像在 y 轴左侧无限接近于+∞、在 y 轴右侧无限接近于-∞. 【设计意图】 通过具体的动手操作, 归纳出指数函数的图像特征, 以及对比底数与 1 的大小, 培养学生学会数形结合的思想. ●活动② 巩固理解 发现性质★

在同一坐标系下,你能画出函数 y ? ? x ? a 和 y ? a x 的大致图像吗?

y

1 O 1 x

当 a>1 时, y ? ? x ? a 单调递增, y ? a x 也单调递增,且直线在 y 轴交点为(0,1)上边. 【设计意图】通过一次函数和指数函数的结合,深入认识指数函数中图像底数 a 的特征,培养 学生数学抽象、归类整理意识. ●活动③ 反思过程 认识性质★▲
?1? ?1? 在同一坐标系中,你能分别作出函数 y ? 2 , y ? ? ? , y ? 10 x , y ? ? ? 的图像吗? ?2? ? 10 ?
x
x x

列表如下:

x

… …
x

-3 0.13 8

-2 0.25 4

-1 0.5 2

-0.5 0.71 1.4

0 1 1

0.5 1.4 0.71

1 2 0.5

2 4 0.25

3 8 0.13

… … …

y ? 2x

?1? y?? ? ?2?



x



-1.5

-1 0.1

-0.5 0.32

-0.25 0.56

0 1

0.25 1.78

0.5 3.16

1 10

1.5 31.62

… …

y ? 10 x
?1? y?? ? ? 10 ?
x

… 0.03

… 31.62

10

3.16

1.78

1

0.56

0.32

0.1

0.03



指数函数的图像和性质透析: 当底数 a 大小不确定时,必须分 a>1 或 0<a<1 两种情况讨论函数的图像和性质, 当 a>1 时,x 的值越小,函数的图像越接近 x 轴, 当 0<a<1 时,x 的值越大,函数的图像越接近 x 轴, 指数函数的图像都经过点(0,1),且图像都只经过第一、第二象限.
?1? ?1? 【设计意图】通过观察 y ? 2 x , y ? ? ? , y ? 10 x , y ? ? ? 的图像特征,就可以得到 y ? a x ?2? ? 10 ?
x x

的图像和特征,培养从特殊到一般的思想方法.从给出的例子到学生自行举出例子,检查反馈 学生对指数函数图像的理解,加深对指数函数的认识,培养数形结合的思想方法. ●活动④ 发散思维 重新认识 如图是指数函数(1) y ? a x , (2) y ? b x , (3) y ? c x , (4) y ? d x 的图像,你能判断出 a,b,c,d 与 1 的大小关系吗?

y (3) (4) 1 O x (2) (1)

我们经过实际操作,会得到(2)>(1)>1>(4)>(3) ,也即 b>a>1>d>c.

由指数函数图像特征判断指数函数底数大小的方法: 由第一象限内“底大图高”的规律判断, 取特殊值 x=1 得函数值的大小即底数大小进行判断. 【设计意图】通过学生对图像的深化认识,并通过具体的操作,归纳指数函数中图像的特征, 培养学生数学抽象、归类整理意识. 探究三 指数函数的概念、图像性质及其应用★▲

●活动① 巩固基础 检查反馈 例1 下列函数中是指数函数的个数是( ② y ? 3 x ?1 B.1 个 ③ y ? 3x C.2 个 ) ④ y ? x3 D.3 个

① y ? 2 ? 3x A.0 个

【知识点】指数函数的定义. 【数学思想】类比归纳思想. 【解题过程】只有函数 y ? 3 x 和 y ? 3 x ?1 符合指数函数定义 y ? a x (a ? 0, a ? 1) ,则上述函数中有 2 个是指数函数. 【思路点拨】理解指数函数的定义形式,进行运用. 【答案】C. 同类训练 A.1 已知函数 f ( x) ? (a 2 ? 3a ? 3) ? a x 是指数函数,则 a 的值为( B.2 C.1 或 2 D. a ? 0 且 a ? 1 )

【知识点】指数函数的定义、解析式. 【数学思想】

?a 2 ? 3a ? 3 ? 1 【解题过程】由指数函数定义得 ? ,故 a ? 2 . ?a ? 0且a ? 1
【思路点拨】根据指数函数的定义进行求解待定系数即可. 【答案】B. 例2 A.
1 3

已知指数函数 f ( x) ? a x 的图像经过点(-1,3),则 f(2)=( B.
1 9



C.3

D.9

【知识点】指数函数的定义、解析式. 【数学思想】

1 ?1? 【解题过程】由过点(-1,3)得 f ( x) ? ? ? ,则 f (2) ? . 9 ?3?

x

【思路点拨】通过指数函数的解析式形式求解. 【答案】B. 同类训练 ( ) B. ?3,9? C. ?1,9? D. ?1 , ? ?? 已知函数 f ( x) ? 3 x ?b (2 ? x ? 4, b 为常数 ) 的图像经过点 ,则 f ( x) 的取值范围为 ( 2,1 )

A. ?9,81?

【知识点】指数函数的定义、解析式. 【数学思想】 【解题过程】 f ( x) ? 3 x ? 2 ,且 2 ? x ? 4 ,故 1 ? f ( x) ? 9 . 【思路点拨】通过求得指数函数解析式,再求其定义域下的值域. 【答案】C. 【设计意图】掌握指数函数的基本概念、定义,以及解析式的常规应用. ●活动② 例3 强化提升 灵活应用 )

要使 g ( x) ? 3 x ?1 ? t 的图像不经过第二象限,则 t 的取值范围是( B. t ? ?1 C. t ? ?3 D. t ? ?3

A. t ? ?1

【知识点】指数函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合思想.

( 0,3 ? t ) 且为增函数,则 3 ? t ? 0 ,得到 t ? ?3 . 【解题过程】函数 g ( x) ? 3 x ?1 ? t 过定点
【思路点拨】通过指数函数过定点和其图像特征列出不等式解得范围. 【答案】C. 同类训练 已知 0 ? a ? 1, b ? ?1 ,则函数 y ? a x ? b 的图象必定不经过( B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

A.第一象限

【知识点】指数函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合思想. 【解题过程】图像恒过点(0,1+b),且 b ? ?1 ,故 (0,1 ? b) 在 y 轴的负半轴上,也即图像不经过第 一象限.

【思路点拨】通过图像过定点这一图像特征进行判断图像的位置. 【答案】A. 例 4 函数 f ( x) ? a | x| (a ? 1) 的图像是(
y


y 1
y

y

1 O x

1 O x

1

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

【知识点】指数函数的图像和性质、奇偶性的函数图像. 【数学思想】数形思想和分类讨论思想.
?a x ( x ? 0) ? 【解题过程】去绝对值,可得 ?? 1 ? x ,又因为 a>1,由指数函数图像易知选 A. ( x ? 0) ?? ? ?? a ?

【思路点拨】通过指数函数图像和性质求解即可. 【答案】A. 同类训练 已知指数函数(1) f ( x) ? m x , (2) g ( x) ? n x 满足不等式 1 ? n ? m ? 0 ,则它们的图 像是( )
y (1) (2)
y (2) (1)
(1) (2) 1 y

(2) (1)

y

1 O x

1 O x

1
x

O

O

x

A.

B.

C.

D.

【知识点】指数函数的图像和性质. 【数学思想】数形结合的思想. 【解题过程】由 1 ? n ? m ? 0 可知(1) (2)为两条单调递减曲线,再选特殊点 x=1, (1) (2) 对应的函数值分别为 m 和 n ,由 m ? n 可知选 C. 【思路点拨】 首先根据底数的范围判断图像的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的 曲线. 【答案】C.

【设计意图】通过对比指数函数图像的各种形式,从图像中探索指数函数的底数问题,体会到 分类讨论和数形结合的思想,培养学生的思维转化能力,以及图像的运用能力. ●活动③ 深入探究 实际应用

例 5 若关于 x 的方程 a x ? 1 ? 2a (a ? 0, 且a ? 1) 有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围 是 .

【知识点】指数函数图像的应用. 【数学思想】分类讨论思想和换元思想. 【解题过程】由题得,函数 y ? a x ? 1 与 y ? 2a 有两个交点;①当 0<a<1 时,又满足有两个交 点,则 0<2a<1,即 0 ? a ?
1 ,如图所示: 2

y 1 y=2a O x

②当 a>1 时,2a>2,两函数无交点,不符合题意,如图所示:

y 1 O
1 【答案】 (0, ) . 2

y=2a x

【思路点拨】由指数函数分底数讨论情况,结合图像进行求解即可.

同类训练 当 k 为何值时,方程 | 3 x ? 1 |? k 无解?有一解?有两解? 【知识点】指数函数的值域、图象. 【数学思想】数形结合和分类讨论的思想. 【解题过程】将方程分解成函数 y ?| 3 x ? 1 | 和 y ? k ,首先画出 y ?| 3 x ? 1 | 的图象,如图所示:

y 1 O x y=k

由图可知,当函数 y ? k ? 0 ,两函数无交点,方程 | 3 x ? 1 |? k 无解;当 y ? k ? 0 时,两函数 有一个交点,方程 | 3 x ? 1 |? k 有一解;当 0 ? y ? k ? 1 时,两函数有两个交点,方程 | 3 x ? 1 |? k 有 两解;当 y ? k ? 1 时,两函数有一个交点,方程 | 3 x ? 1 |? k 有一解. 【思路点拨】该类问题可将函数转化为常见的函数图像的交点问题,分类讨论交点个数,判断 解的个数. 【答案】当 k ? 0 时, | 3 x ? 1 |? k 无解;当 k ? 0 和 k ? 1 时, | 3 x ? 1 |? k 有一解;当 0 ? k ? 1 时,

| 3 x ? 1 |? k 有两解.
例6 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过 1 年剩留的这种物质是原来的 84%,画出

这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩量留是原来的一半 (结 果保留 1 个有效数字). 【知识点】指数函数的图象及其实际应用. 【数学思想】数形结合思想. 【解题过程】设这种物质量初的质量是 1,经过 x 年,剩留量是 y. 经过 1 年,剩留量 y ? ?1? 84% ? ? 0.841 ;
1

经过 2 年,剩留量 y ? ?1? 84% ? ? 0.84 2 ;
2

…… 一般地,经过 x 年,剩留量 y ? 0.84 x . 根据这个函数关系式可以列表如下: x y 0 1 1 0.84 2 0.71 3 0.59 4 0.50 5 0.42 6 0.35

用描点法画出指数函数 y ? 0.84 x 的图象.
3.5

1 0.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0
-0.5

1
1

2
2

3
3

4
4

5
5

从图上看出 y=0.5 只需 x≈4. 【思路点拨】 通过恰当假设,将剩留量 y 表示成经过年数 x 的函数,并可列表、描点、作图, 进而求得所求. 【答案】4 年. 同类训练 某环保小组发现某市生活垃圾年增长率为 b ,2009 年该市生活垃圾量为 a 吨,由此 ) C. a (1 ? b)10 吨 D. a (1 ? b) 9 吨

可预测 2019 年垃圾量为( A. a (1 ? 10b ) 吨

B. a (1 ? 9b ) 吨

【知识点】指数函数的实际应用. 【数学思想】递推法. 【解题过程】先逐年计算前几年的生活垃圾量,再递推可得. 【思路点拨】关注指数函数的实际应用中的指数递增的特征. 【答案】C. 【设计意图】从图像中发现性质并应用性质,体会方程和方程分解为函数的思想,数形结合的 思想,培养学生的思维转化能力、分类讨论能力,以及图像的运用能力.从生活的具体到数学 的数字抽象,体会指数函数的指数递增规律. 3.课堂总结 知识梳理 (1)定义:一般地,函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数(exponential function) ,其中 x 是 自变量,函数的定义域是 R. (2)指数函数的图象与性质:

a ?1

0 ? a ?1

6

6

5

5



4

4

3

3

2

2


-4 -2

1

1

1

1

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 值域 过定点 性质 单调性 奇偶性 (3)指数函数的图像特征: 图像特征 (1)图像都位于 x 轴上方; (2)图像交于点 (0,1) ;

x?R

y ? (0,??)
过定点 (0,1) ,即 x ? 0 时, y ? 1 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 非奇非偶函数

函数性质 (1)当 x ? R, y ? 0 ; (2)当 x ? 0, y ? 1 ;

(3)从左向右看,a ? 1 时,图像呈上 (3 ) a ? 1 时,是增函数; 0 ? a ? 1 时,

0 ? a ? 1 时, 升趋势; 图像呈下降趋势; 是减函数;

(4)a ? 1 时, 图像在第一象限内的部

? x ? 0, y ? 1 (4) a ? 1 时, ? ? x ? 0,0 ? y ? 1 分都在直线 y ? 1 的上方,第二象限内
的部分都在直线 y ? 1 的下方;

? x ? 0,0 ? y ? 1 0 ? a ? 1 时, ? . ? x ? 0, y ? 1

0 ? a ? 1 时, 图像在第一象限内的部分
都在直线 y ? 1 的下方,第二象限内的 部分都在直线 y ? 1 的上方. (5)就单个指数函数图象而言,它既 (5)指数函数既不是奇函数也不是偶函 不关于 y 轴对称, 也不关于原点对称. 数.

(4)指数函数记忆口诀:指数增减要看清,抓住底数不放松;反正底数大于 0,不等于 1 已 表明;底数若是大于 1,图像从下往上增,底数 0 到 1 之间,图像从上往下减,无论函数增或 减,图像都过(0,1)点. 重难点归纳 (1)在解决指数函数有关问题时,如果底数 a 大小不确定,那么必须分 a>1 和 0<a<1 两种情 况讨论. (2)利用指数函数的性质(单调性)课比较两个数的大小:当 x>0 时,同底数幂,0<a<1 时, 幂大指数小,a>1 时,幂大指数大. (三)课后作业 基础型 自主突破
1 1 1.若函数 f ( x) ? ( a ? 3) ? a x 是指数函数,则 f ( ) ? ( 2 2



A. 2

B. ? 2

C. ? 2 2

D. 2 2

【知识点】指数函数的定义. 【数学思想】

? 1 1 ? a ?3 ?1 1 x 【解题过程】由题意, ? 2 ,得 a ? 8 ;则 f ( x) ? 8 ,即 f ( ) ? 8 2 ? 2 2 . 2 ? ?a ? 0且a ? 1
【思路点拨】由指数函数的定义和解析式即可求解. 【答案】D.
3 5 2.已知函数 f ( x) 是指数函数,且 f (? ) ? ,则 f ( x) ? 2 25



【知识点】指数函数的定义、解析式. 【数学思想】
? ?2 ? 3 5 【解题过程】设 f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1) ,由 f (? ) ? 得 a 2 ? 5 2 ? 5 2 ,解得 a ? 5 . 2 25 3 1 3

【思路点拨】利用指数函数的定义解未知数即可. 【答案】 5 x . 3.下列函数中,随 x 的增大,增长速度最快的是( )

A. y ? 50( x ? Z)

B. y ? 1000 x C. y ? 0.4 ? 2 x ?1

D. y ?

1 ? ex 100000

【知识点】指数函数的实际应用. 【数学思想】 【解题过程】指数函数增长速度最快,且 e ? 2 ,因而 y ?
1 ? e x 增长最快. 100000

【思路点拨】直接根据幂函数、正比例函数、指数函数的增长差异得出结论. 【答案】D.
?1? 4.函数 f ( x) ? ? ? 的图像是( ?3?
y
x


y

y

y

1 O x

1

1
O
x

O

1

x

O

x

A.

B.

C.

D.

【知识点】指数函数的解析式、图像. 【数学思想】数形结合的思想. 【解题过程】由于 0 ?
1 ? 1 ,所以指数函数单调递减,且函数过定点 (0,1) . 3

【思路点拨】熟练掌握关于指数函数底数不同时的函数图像问题. 【答案】B. 5.设
1 ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ? 1 ,那么( 2 ?2? ?2?
b a

) C. a ? b ? 1 D. b ? a ? 1

A. 0 ? b ? a ? 1

B. 0 ? a ? b ? 1

【知识点】指数函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合的思想.
1 ?1? ?1? ?1? 【解题过程】根据函数 f ( x) ? ? ? 在 R 上是减函数,由 ? ? ? ? ? ? ? 1 得 1 ? b ? a ? 0 . 2 ?2? ?2? ?2?
x b a

【思路点拨】掌握指数函数单调性这一基本性质. 【答案】B.

6.已知 f ( x) ? a ? x (a ? 0 且 a ? 1) ,且 f (?2) ? f (?3) ,则实数 a 的取值范围是 【知识点】指数函数的解析式、单调性的应用. 【数学思想】 【解题过程】由 f ( x) ? a
?x



1 ?1? ? ? ? 且 f (?2) ? f (?3) ,则 f ( x) 单调递增,即 ? 1 . a ?a?

x

【思路点拨】 .由指数函数的解析式和单调性可得. 【答案】 (0,1) 能力型 师生共研 7.某钢厂的年产量由 1990 年的 40 万吨增加到 2000 年的 50 吨,如果按照这样的年增长率计 算,则该钢厂 2010 年的年产量约为( A.60 万吨 B.61 万吨 ) C.63 万吨 D.64 万吨

【知识点】指数函数的实际应用. 【数学思想】 【解题过程】可设年增长率为 x ,根据题意列方程得 40(1 ? x)10 ? 50 ,解得 (1 ? x)10 ?
2

5 ,如果 4

?5? 按照这样的年增长率计算,则该钢厂 2010 年的年产量约为 40(1 ? x) 20 ? 40 ? ? ? ? 62.5 ? 63 . ?4?

【思路点拨】可设年增长率为 x ,第一年(1990 年)产量为 40(1 ? x) ,第二年(1991 年)产量 为 40(1 ? x) 2 ,...,列出指数函数方程求解 x ,再解答该钢厂 2010 年的年产量即可两个集合相 等,则两个集合的元素对应相等. 【答案】C. 8.若函数 y ? a x ? b 的部分图像如图所示,则( )

y

1 -1 O x

A. 0 ? a ? 1,?1 ? b ? 0

B. 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1 C. a ? 1,?1 ? b ? 0 D. a ? 1,0 ? b ? 1 【知识点】指数函数的定义、解析式、图像及其性质. 【数学思想】数形结合的思想. 【解题过程】由图像可以看出,函数为减函数,故 0 ? a ? 1 ,又由函数 y ? a x 过定点 (0,1) ,则 函数 y ? a x ? b 过定点 (0, b ? 1) ,即 ? 1 ? b ? 0 . 【思路点拨】根据指数函数的图像和性质即可判断. 【答案】A. 探究型 多维突破

, 2? 上的最大值比最小值大 9.设函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 在区间 ?1
【知识点】指数函数的图像与性质. 【数学思想】数形结合、分类讨论的思想.

a ,求 a 的值. 2

, 2? 上单调递增,所以 f (2) ? f (1) ? a 2 ? a ? 【解题过程】当 a ? 1 时,函数 f ( x) 在区间 ?1
得a ?
3 或 a ? 0 (舍去); 2

a ,解 2

, 2? 上单调递减,所以 f (1) ? f (2) ? a ? a 2 ? 当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 在区间 ?1

a 1 ,解得 a ? 或 2 2

a ? 0 (舍去).
【思路点拨】正确理解指数函数的图像和性质,注意指数函数底数的分情况讨论就不会漏掉部 分答案. 【答案】 a ?
3 1 或a ? . 2 2
x

?b? 10.在下列函数中,二次函数 y ? ax 2 ? bx 与指数函数 y ? ? ? 的图像只可能是( ?a?
y



y

y 1

y 1
1 x

1 0

1 0

-1 0
1 x

-1

1

x

-1

-1

0

1

x

A.

B.

C.

D.

【知识点】指数函数图像的应用. 【数学思想】数形结合、分类讨论、排除法的思想.
b ?b? 【解题过程】根据 y ? ? ? 可知 a, b 同号且不相等,则二次函数 y ? ax 2 ? bx 的对称轴 ? ?0 2a ?a?
x

可排除 B 和 D 选项;选项 C 中, a ? b ? 0, a ? 0 ,所以 C 不正确,因此选项 D 正确. 【思路点拨】分类讨论 a, b 的取值排除错误图像即可. 【答案】D. 自助餐 1.若函数 y ? (a 2 ? 3a ? 3)a x 是指数函数,则( A. a ? 0 且 a ? 1 B. a ? 1 )

b ? 1 ,则指数函数单调递增,故选项 a

C. a ? 1 或 a ? 2

D. a ? 2

【知识点】指数函数的定义、解析式. 【数学思想】 【解题过程】若函数 y ? (a 2 ? 3a ? 3)a x 是指数函数,则 a 2 ? 3a ? 3 ? 1 ,解得 a ? 1 或 a ? 2 ;又∵ 指数函数的底数 a ? 0 且 a ? 1 ,故 a ? 2 . 【思路点拨】利用指数函数的定义和解析式底数的条件求解. 【答案】D. 2.在同一坐标系下,函数 y ? ? x ? a 和 y ? a x 图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

【知识点】指数函数的图象及其性质. 【数学思想】数形结合、分类讨论的思想. 【解题过程】当 a ? 1 ,易知 y ? ? x ? a 单调递减, y ? a x 单调递增,且直线在 y 轴交点为 (0,1) 上 边,故选项 D 是符合题意的.

【思路点拨】分类讨论函数的单调性. 【答案】D. 3.函数 f ( x) ? a x ? 2 (a ? 0, a ? 1) 的图象过定点( A. ?0,1? B. ?1,0 ? C. ?2,0 ? ) D. ?2,1?

【知识点】指数函数的定义、解析式和图象的平移. 【数学思想】数形结合思想. 【解题过程】 y ? a x 的图象沿着 x 轴向右平移 2 个单位得到 y ? a x ? 2 ,故过定点 ?2,1? . 【思路点拨】由指数函数的定义和解析式出发,探索图象的平移问题. 【答案】D.

4x 4.已知集合 M ? {x | x ? x }, N ? { y | y ? , x ? M } ,则 M ? N ? ( 2
2



1 A. {x | 0 ? x ? } 2

B. {x |

1 ? x ? 1} 2

C. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | 1 ? x ? 2}

【知识点】指数函数的定义、解析式. 【数学思想】 【解题过程】集合 M ? {x | 0 ? x ? 1} ,集合 N ? { y |
1 1 ? y ? 2} ,求其交集为 {x | ? x ? 1} . 2 2

【思路点拨】利用一元二次不等式的解法和指数函数的性质可化简集合 M , N ,再利用交集的 运算即可得出. 【答案】B. 5.按复利计算利率的储蓄,存入银行 2 万元,如果年息 3%,5 年之后支取,本利和应为人民 币( )元. B. 2(1 ? 0.03) 5 C. 2(1 ? 0.3) 4 D. 2(1 ? 0.03) 4

A. 2(1 ? 0.3) 5

【知识点】指数函数的实际应用. 【数学思想】 【解题过程】由题意,存入银行 2 万元后,每一年的本利和都是前一年的 1 ? 3% ? 1.03 ,故五 年之后支取,本利和应为人民币 2 ? (1 ? 0.03) 5 . 【思路点拨】根据找出每一年的本利和和前一年的关系进行求解. 【答案】B.

?a x ? 6.若函数 f ( x) ? ? a ?(4 ? ) x ? 2 ? 2

x ?1 x ?1

是 R 上的增函数,则实数 a 的取值范围为( C. ( 4,8 ) D. ?4,8?



A. ?1 , ? ??

B. ( 1,8 )

【知识点】指数函数单调性的应用. 【数学思想】数形结合以及分类讨论思想. 【 解 题 过 程 】 因 为 f ( x) 在 R 上 是 增 函 数 , 故 在 ?? ?,1? 上 和 (1,??) 上 都 单 调 递 增 , 即

y ? a x ( x ? 1) 和 y ? (4 ?

a

a )x ? 1 (x ? 1) 都是增函数,且 y ? (4 ? ) x ? 1 在 ?? ?,1? 上的最大值 2 2

不大于 y ? a x 在 (1,??) 上的最小值.

? ?a ? 1 ? ?a ? 1 ? a ? 由此可得 ?4 ? ? 0 ? ?a ? 8 ,解得 4 ? a ? 8 . 2 ? ?a ? 4 ? ?? a? 1 4 ? ? 1 ? 2 ? a ? ?? 2? ??
【思路点拨】由分段函数结合图象对参数进行讨论. 【答案】D.


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