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单调性 奇偶性、周期性函数综合


课堂训练
1、已知函数 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a] ,则 a ?
2

1 ,b=0 3

2、若 ? ( x) ,g(x)都是奇函数, f ( x) ? a? ? bg( x) ? 2 在(0,+∞)上有最大值 5, 则 f(x)在(-∞,0)上有( A.最小值-5 B.最大值-5 ) C.最小值-1 D.最大值-3.

3、已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ??) 单调递增,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是_______ 4、已知函数 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x +2x —1,求 f(x)在 R 上的表达式_______ 5、若 f ( x) ? ?
3 2

1 3

x ?1 ?(3a ? 1) x ? 4a 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是_______ x ?1 ? log a x

6、已知函数 f(x)满足 f(x+y)+f(x-y)=2f(x) ·f(y) (x ? R,y ? R) ,且 f(0)≠0, 试证 f(x)是偶函数.

7、设

是定义在

上的增函数,

,且

,求满足不等式

的 x 的取值范围.

作业: 1. 下列函数中,在区间 A. 2.函数 A. 3. A. B. B. 在 C. B. 上为增函数的是( C. 的增区间是( C. ) 。 D. 上是减函数,则 a 的取值范围是( ) 。 D. ). D.

4.设偶函数 f ( x) 的定义域为 R ,当 x ? ?0,??? 时, f ( x) 是增函数,则 f (?2), 系是 ( )A f (? ) ? f (?3) ? f (?2) C f (? ) ? f (?3) ? f (?2) D B f (? ) ? f (?2) ? f (?3)

f (? ) , f (?3) 的大小关

f (? ) ? f (?2) ? f (?3)

5.已知 f(x)=x +ax +bx-8,且 f(-2)=10,那么 f(2)等于( A.-26
2

5

3



B.-18

C.-10

D.10 .

6.函数 f(x) = ax +4(a+1)x-3 在[2,+∞]上递减,则 a 的取值范围是__ 7.若 y=(m-1)x +2mx+3 是偶函数,则 m=_________.
2

8.设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m) ,求实数 m 的 取值范围.

9.求函数

的单调递减区间.

10.讨论函数 f(x) ? x 2 ? 2ax ? 3 在(-2,2)内的单调性。

2 , 1] 上的函数 y ? f ( x) 是减函数, 11.定义在 [ ?1 且是奇函数, 若 f (a ? a ? 1) ? f (4a ? 5) ? 0 , 求实数 a 的

范围。

课堂训练
1、已知函数 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a] ,则 a ?
2

1 ,b=0 3

2、若 ? ( x) ,g(x)都是奇函数, f ( x) ? a? ? bg( x) ? 2 在(0,+∞)上有最大值 5, 则 f(x)在(-∞,0)上有( A.最小值-5 B.最大值-5 ) C.最小值-1 D.最大值-3

3、已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若 f ( x) ? g ( x) ?

x ?1

1

,则 f(x)的解析式为_______.

4、已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ??) 单调递增,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是_______ 5、已知函数 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x +2x —1,求 f(x)在 R 上的表达式_______ 6、若 f ( x) ? ?
3 2

1 3

x ?1 ?(3a ? 1) x ? 4a 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是_______ x ?1 ? log a x

7、已知函数 f(x)满足 f(x+y)+f(x-y)=2f(x) ·f(y) (x ? R,y ? R) ,且 f(0)≠0, 试证 f(x)是偶函数.

8、设

是定义在

上的增函数,

,且

,求满足不等式

的 x 的取值范围. 作业: 1. 下列函数中,在区间 A. 2.函数 A. 3. A. B. B. 在 C. B. 上为增函数的是( C. 的增区间是( C. ) 。 D. 上是减函数,则 a 的取值范围是( ) 。 D. ). D.

4.设偶函数 f ( x) 的定义域为 R ,当 x ? ?0,??? 时, f ( x) 是增函数,则 f (?2), 系是 ( )A f (? ) ? f (?3) ? f (?2) C f (? ) ? f (?3) ? f (?2) D B f (? ) ? f (?2) ? f (?3)

f (? ) , f (?3) 的大小关

f (? ) ? f (?2) ? f (?3)

5.已知 f(x)=x +ax +bx-8,且 f(-2)=10,那么 f(2)等于( A.-26
2

5

3



B.-18

C.-10

D.10 .

6.函数 f(x) = ax +4(a+1)x-3 在[2,+∞]上递减,则 a 的取值范围是__ 7.若 y=(m-1)x +2mx+3 是偶函数,则 m=_________.
2

8.设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m) ,求实数 m 的 取值范围.

10.求函数

的单调递减区间.

11.讨论函数 f(x) ? x 2 ? 2ax ? 3 在(-2,2)内的单调性。

2 , 1] 上的函数 y ? f ( x) 是减函数, 11.定义在 [ ?1 且是奇函数, 若 f (a ? a ? 1) ? f (4a ? 5) ? 0 , 求实数 a 的

范围。

奇偶性
1、奇偶性定义与求法
判断步骤如下: (1)定义域是否关于原点对称; (2)数量关系 f (? x) ? ? f ( x) 哪个成立; 注:先观察定义域的对称性 例 1:判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、 f ( x) ? x 3 ? 2 x (4) 、 f ( x) ? ⑵、 f ( x) ? 2 x 4 ? 3x 2 (5) 、 f ( x) ? (3) 、 f ( x) ? x 2

x ? ?? 1,2?

x?2 ? 2? x

x2 ?1 ? 1? x2

2、奇偶性的应用
5 3 例 1、已知 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 8 且 f (?2) ? 10 ,那么 f (2) ? __

例 2、已知偶函数 f ( x) 在 ?? ?,0? 上为减函数,比较 f (?5) , f (1) , f (3) 的大小。 例 3、已知 f ( x) 为偶函数 当0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 1 ? x,当 ? 1 ? x ? 0时 ,求 f ( x) 的解析式? 例 4、若 f ( x) ? (k ? 2) x 2 ? (k ? 3) x ? 3 是偶函数,讨论函数 f ( x) 的单调区间?
3 2 例 5、已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 是偶函数判断 g ( x) ? ax ? bx ? cx 的奇性。

2 2 例 6、定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 (??,0) 是单调递减,若 f (2a ? a ? 1) ? f (3a ? 2a ? 1) ,则 a 的取

值范围是如何? 例 7、设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5]时, 是 . 例 8、已知函数 f ( x) ? a ?

f(x)的图象如右图, 则不等式 f ?x ? ? 0 的解

1 . ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? ________。 2 ?1
x

函数的单调性
一、增函数 1、观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:
y 1 -1 -1 1 x -1 -1 y 1 1 x -1 -1 y 1 1 x

1 随 x 的增大,y 的值有什么变化?○ 2 能否看出函数的最大、最小值? ○ 3.增函数的概念 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2; 当 x1<x2 时, 总有 f(x1)<f(x2) . 二、函数的单调性 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具 有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 【判断函数单调性的常用方法】 1、根据函数图象说明函数的单调性. 例 1、 如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以 及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数? 【针对性练习】 下图是借助计算机作出函数 y =-x2 +2 | x | + 3 的图象,请指出它的的单调区间.

2.利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: ① 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;② 作差 f(x1)-f(x2); ③变形(通常是因式分解和配方) ;④定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; ⑤下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) .

例 2、证明函数 y ? x ?

1 在(1,+∞)上为减函数. x

例 3、 函数 f(x)=-x3+1 在 R 上是否具有单调性?如果具有单调性,它在 R 上是增函数还是减 函数?试证明你的结论. 例 4、已知 f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且 f(m-1)-f(1-2m)>0,求实数 m 的取 值范围.
1 1.函数 y ? ? 的单调区间是( x

) 3.函数 y ? ? x2 ? 2 x ? 3 的增区间是( ) 。

5、定义在(-1,1)上的函数 f ( x) 是减函数,且满足: f (1 ? a) ? f (a) ,求实数 a 的取值范围。 ☆☆☆复合函数的单调性☆☆☆ 1、定义: 设 y=f(u),u=g(x), 当 x 在 u=g(x) 的定义域中变化时, u=g(x) 的值在 y=f(u) 的定义域 内变化,因此变量 x 与 y 之间通过变量 u 形成的一种函数关系 2、复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如 下: 例 1、已知 y ? f (u) ? u ? 1, u ? g ( x) ? ?3x ? 2 ,求 y ? f ? g ( x)? 的单调性。 例 2、已知 y ? f (u) ? u 2 ? 1, u ? g ( x) ? x ? 1 ,求函数 y ? f ? g ( x)? 的单调性。 〖针对性训练〗 1、已知 y ? f (u) ? u 2 ? 1, u ? g ( x) ? ? x ? 1 ,求函数 y ? f ? g ( x)? 的单调性。 2、已知 f ( x) ? 8 ? 2 x ? x2 ,如果 g ( x) ? f (2 ? x2 ) ,那么 g ( x) ( )

单调性与奇偶性综合例题 1、已知 f ( x) ? ax7 ? bx5 ? cx3 ? dx ? 5 ,其中 a, b, c, d 为常数,若
f (?7) ? ?7 ,则 f (7) ? _______变式 1、已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则

f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)= _______
a 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是 x ?1

例题 2、若 f(x)=-x2+2ax 与 g ( x ) ?

例题 3、已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数 m 的取值范围

, 1] 上的函数 y ? f ( x) 是减函数,且是奇函数,若 f (a 2 ? a ? 1) ? f (4a ? 5) ? 0 ,求实数 a 的 3、定义在 [ ?1
范围。


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