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121任意角的三角函数(一)


王集中学高一备课组

新课引入
? 问题1:你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数 (正弦,余弦,正切)的定义吗?

在Rt?POM中
sin ? ?
PM OP OM OP PM OM

如何将 ?POM放 到 平 面 直 角 坐标系中?

P

cos? ?
tan ? ?

?
O M

锐角三角函数

问 题2: 将?PO M 放 到 平 面 直 角 坐 标 系, 中 点P是 坐 标 表 示 什 么 ?
y

在Rt?OMP中 , r? x2 ? y2 ? 0
O

P ( x, y )

r
?

y

x

M

x

sin ? ?

y PM ? OP r x OM ? OP r y PM ? OM x

cos? ?
tan ? ?

诱思探究

问题3:如果改变点P在终边上的位置,
这三个比值会改变吗?
y

P?
P(a,b)


M

?
O

M?

x

M ?P? ? OP? ? OM OM ? cos ? ? OP? OP MP ? M ?P? tan ? ? OM ? OM MP sin ? ? OP

?OMP ∽ ?OM ?P?

问题4:怎样将锐角的三角函数 推广到任意角的三角函数?

设 ? 是任意角,? 的终边上任意一点P 的坐标是 ?x,y ? , 当角? 在第一、二、三、四象限时的情形,它与原点的距 离为 r ,则 r ?
x ? y ? x2 ? y 2 ? 0
2 2



数学理论:

1.任意角的三角函数:

一般地,对任意角 ?,我们规定:

y (1)比 值 叫 做?的 正 弦 , 记 作 si n?, 即 r r y si n? ? ; r O x ( 2)比 值 叫 做?的 余 弦 , 记 作 cos?, 即 r x cos? ? ; r y ( 3)比 值 ( x ? 0)叫 做?的 正 切 , 记 作 tan?, 即 x y tan? ? . x

P ( x, y )

y

?
x

说明:
(1)sin ? ,cos ? , tan ? 分别叫做角?的正弦函数、余弦函数、 正切函数.以 上三种函数都称为三角函数;

(2)正弦函数、余弦函数、正切函数都是以角为自 变量,以比值为函数值的函数;
(3)sin ? 不是 sin 与? 乘积,而是一个比值;三角函 数的记号是一个整体,离开自变量的"sin""cos""tan" 等是没有意义的.

(4)任意角 ? 的三角函数值仅与 ? 有关,而 与点 在角的终边上的位置无关.

(5)三角函数的定义域:
三角函数
sin ?

定义域

R R
{? | ? ?

cos?
tan ?

?
2

? k? , k ? Z }

例1 已知角?的终边经过点( P 2, ? 3),求角?的 正弦、余弦、正切值.
解:
因为
所以

x ? 2, y ? ?3,
r ? 2 2 ? ( ?3) 2 ? 13 ,

所以

y ?3 3 13 sin? ? ? ?? , r 13 13
x 2 2 13 cos? ? ? ? , r 13 13
3 y ?? . tan? ? 2 x

巩固提高 练习1 已知角 ? 的终边过点 P

??12,5?





?

的三个三角函数值.

解:由已知可得:

r? x ?y ?
2 2

??12?

2

? 52 ? 13

y 5 于是,sin ? ? ? r 13 y 5 tan ? ? ? ? x 12

x 12 cos ? ? ? ? r 13

练习2:已知角?的终边经过点 P(2a,?3a)(a ? 0), 求?的正弦、余弦、正切值 .
解: 因 为 x ? 2a , y ? ?3a ,
所以 r ? (2a )2 ? (?3a )2 ? 13 a (a ? 0),

(1)当a ? 0时, r ? 13a,
si n? ? y ? 3a 3 13 ? ?? , r 13 13a 2a 2 13 ? , 13 13a ? 3a 3 ?? . 2a 2

(2)当a ? 0时, r ? ? 13a,
si n? ? y ? 3a 3 13 ? ? , r ? 13a 13

【 评 】 : 注 意 绝 对 值号 符, 由 于 a ? 0, 所 以 分 a?0 和a ? 0两 种 情 况 去 掉 绝 对 值 号 符.

x cos? ? ? r y tan? ? ? x

x 2a 2 13 cos? ? ? ?? , r ? 13a 13 y ? 3a 3 tan? ? ? ?? . x 2a 2

3.正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号:
y
? ?
O

y

? ?
O

?
?

?
x
?

y
?
O

?
说明:

? x

? x

sin ?

cos?

tan ?

(1)正弦函数值的符号与y的符号相同;余弦函数的 符号与x的符号相同; (2)三角函数正值口诀:一全正、二正弦、三正 切、四余弦.

例题精讲 例2 确定下列三角函数值的符号:
7 (1) cos ? ; 12
解:
(1)

(2) sin( ?465?);

11 ( 3) tan ? . 3

7 7 ? 是第二象限角,所以 cos ? ? 0. 12 12

( 2) 因 为? 465? ? ?2 ? 360? ? 225?,即 ? 465?是 第 三 象 限 角 , 所 以 si n ( ?465? ) ? 0.

( 3) 因 为

11 5 11 ? ? 2? ? ? , 即 ? 是 第 四 象 限 角 ,所 以 3 3 3 11 tan ? ? 0. 3

【评】:先判断角所在象限,然后根据“一全正、二正弦、

三 正切、四余弦”判断三角函数值的符号.

例3 确定下列三角函数值的符号:

解:

? ?? sin ? ? ? cos 250?(2)tan( ?672?)(3) ( 1) ? 4?

(1)因为 250 ? 是第三象限角,所以cos 250 ? ? 0 ;

48 ? ? 2 ? 360 ? (2)因为 ? 672 ? = , 而 48 ?是第一象限角,所以 tan(?672?) ? 0 ; ? ? ?? ? sin (3)因为 是第四象限角,所以 ? ? 4 ? ? 0 . ? ? 4

练习 确定下列三角函数值的符号 4? 17 16
cos

?

5

?

sin( ?

?

3

)

tan( ?

?

8

?)

例4求函数

tan x y? ? 的值域 cos x tan x

cos x

解: 定义域:cosx?0 ∴x的终边不在x轴上 又∵tanx?0 ∴x的终边不在y轴上

cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2 (1)、当x是第1象限角时, (2)、当x是第2象限角时, |cosx|=?cosx |tanx|=?tanx ∴y=?2 (3)当x是第3象限角时, |cosx|=?cosx |tanx|=tanx∴y=0 (4)当x是第4象限角时,|cosx|=cosx |tanx|=-tanx∴y=0 所以,值域为{2,-2,0}

巩固提高

练习1若角α是第二象限角,且 | cos

?
2

则 是第

?

|? ? cos

?
2

,

2



象限角;

练习

2.(1)若cos? ? 0且t an? ? 0, 试确定?为第几象限角 .

(2). 已知cos? ? t an? ? 0, 判断?是第几象限角 .

课堂练习:

1.已知?的终边经过点 P(?3,4),求2 sin? ? cos?的值.
2.确 定 下 列 三 角 函 数 值 符 的号 : 23? (1) sin256?; ( 2) cos(?406?); ( 3) tan . 3
m 3.角?的 终 边 上 有 一 点 P ( m ,5), 且 cos? ? ( m ? 0), 13 求 si n? ? cos?值.

归纳总结

1. 内容总结: ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. 2 .方法总结: 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想: 划归的思想,数形结合的思想.

课后作业

P15练习 2、5; P22 习题1.2 第

1 、5 、6 题.


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