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北京师大附中2012—2013学年高二数学下学期期末考试试题


北京师大附中 2012—2013 学年度第二学期期末考试 高 二 数 学(理科)试 卷
试卷说明:1.本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟. 2.请将答案填写在答题纸上,考试结束后,监考人员只将答题纸收回. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题纸上. 1. 两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为

2 3 和 ,两个零件是否加工 3 4


为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( A

1 2

B

5 12

C

1 4

D

1 6


2. 盒中有 4 个白球, 5 个红球, 从中任取 3 个球, 则抽出 1 个白球和 2 个红球的概率是 ( A

37 42

B

17 42

C

10 21

D

17 21

3. 如图, AB 是⊙ O 的直径, P 是 AB 延长线上的一点,过 P 作⊙ O 的切线,切点为 C ,

PC ? 2 3 , 若 ?CAP ? 30? , 则 ⊙ O 的 直 径 AB 为 (



A 2

B

2 3

C 4

D

4 3

4. 已知随机变量 ? 服从正态分布 N 2, ? A 0.16 B 0.32 C 0.68

?

2

?, P?? ? 4? ? 0.84 ,则 P?? ? 0? 的值为(
D 0.84



5. 在 1 ? x3 ?1 ? x ? 的展开式中, x 的系数是(
10
5

?

?

) C 297 D 207

A -297

B

-252

6. 由曲线 y ? x 和直线 y=1 围成图形的面积是(
2

) D

A

4 3

B

3 2

C

3

2 3
1

7. 如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”,在一个

长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 ( ) A 60 B 48 C 36 D 24 8. 某班试用电子投票系统选举班干部候选人。全班 k 名同学都有选举权和被选举权,他们 的编号分别为 1,2,?,k。规定:同意按“1” ,不同意(含弃权)按“0” 。令

j号同学当选, ?1,第i号同学同意第 aij ? ? j号同学当选, ?0,第i号同学不同意第
其中 i=1, 2, ?,k, 且 j=1,2,?,k, 则同时同意第 1, 2 号同学当选的人数为( A B C D )

a11 ? a12 ? ? ? a1k ? a21 ? a22 ? ? ? a2k a11 ? a21 ? ? ? ak1 ? a12 ? a22 ? ? ? ak 2 a11a12 ? a21a22 ? ? ? ak1ak 2 a11a21 ? a12 a22 ? ? ? a1k a2k

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请将答案填写在答题纸上. 9. 6 名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 _____ 种.

10. 2 x ? 3

?

?

4

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ,则 ?a0 ? a2 ? a4 ?2 ? ?a1 ? a3 ?2 ? _____.

11. 如图, E , F 是梯形 ABCD 的腰 AD ,BC 上的点,其中 CD ? 2 AB, EF // AB ,若

EF CD AE ? ? _______ . ,则 AB EF AD
12. 若曲线 f ?x? ? ax ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 ______ .
2

13. 设集合 I ? ? 1,2,3,4,5,6?,集合 A,B 是 I 的子集,若 A 中含有 3 个元素,B 中至少含有 2 个元素,且 B 中所有数均不小于 A 中最大的数,则满足条件的集合 A, B 有 ______ 组. 14. 计 算
1 2 3 n ?n ? 3? 可 以 采 用 以 下 方 法 : Cn ? 2Cn ? 3Cn ??? nCn ,

0 1 2 2 n n 构造恒等式 Cn ? Cn x ? Cn x ??? Cn x ? ?1 ? x? ,两边对 x 求导,得 n

2

1 2 3 2 Cn ? 2Cn x ? 3Cn x ?

n n ?1 ? nCn x ? n(1 ? x)n ?1



1 2 3 n 在上式中令 x ? 1 ,得 Cn ? 2Cn ? 3Cn ??? nCn ? n ? 2n?1 1 2 3 n 类比上述计算方法,计算 Cn ? 22 Cn ? 32 Cn ? ? ? n2Cn ? _______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分 15. 已知函数 f ( x) ? x 2e x . (1)求 f ( x ) 的极值. (2)求 f ( x ) 在区间 [t , 0] 上的最大值和最小值.

16. 某校 10 名学生组成该校“科技创新周”志愿服务队(简称“科服队” ) ,他们参加活动 的有关数据统计如下: 参加活动次数 人 数 1 2 2 3 3 5

(1)从“科服队”中任选 3 人,求这 3 人参加活动次数各不相同的概率; (2)从“科服队”中任选 2 人,用 X 表示这 2 人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E X .

17. 某旅行社为 3 个旅游团提供了 4 条参观园博园的旅游线路,每个旅游团任选其中一条, (1)求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率; (2)求恰有 2 条线路没有被选择的概率; (3)求选择甲线路的旅游团数的分布列和数学期望. 18. 某班级举行一次知识竞赛活动,活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩(得 分均为整数,满分为 100 分)进行统计,制成如下频率分布表.

(Ⅰ)填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号的答案) ; (Ⅱ)决赛规则如下:参加决赛的每位同学依次口答 4 道小题,答对 2 道题就终止答题,并 获得一等奖.如果前三道题都答错,就不再答第四题.某同学进入决赛,每道题答对的 概率 P 的值恰好与频率分布表中不少于 80 分的频率的值相同.
3

①求该同学恰好答满 4 道题而获得一等奖的概率; ②记该同学决赛中答题个数为 X ,求 X 的分布列及数学期望. 19. 已知函数 f ?x ? ? ln x ? ax2 ? bx , (1)当 a ? ?1 时,若函数 f ?x ? 在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围; (2)若 f ?x ? 的图象与 x 轴交于 A?x1 ,0?, B?x2 ,0??x1 ? x2 ? 两点,设 AB 的中点为 C ? x0 ,0 ? , 求证: f ' ?x0 ? ? 0 . 20. 设 M 是含有 n 个正整数的集合,如果 M 中没有一个元素是 M 中另外两个不同元素之和, 则称集合 M 是 n 级好集合, (Ⅰ)判断集合{1,3,4,7,9}是否是 5 级好集合,并写出另外一个 5 级好集合, 满足其最大元素不超过 9; (Ⅱ)给定正整数 a ,设集合 M ? ?a, a ? 1, a ? 2,?a ? k?是好集合,其中 k 为正整 数,试求 k 的最大值,并说明理由; (Ⅲ)对于任意 n 级好集合 M,求集合 M 中最大元素的最小值(用 n 表示).

4

北京师大附中 2012—2013 学年度第二学期期末考试 高 二 数 学(理科)试 卷(答题纸) 班级________ 题号 答案 姓名__________ 1 2 学号_______ 3 4 成绩_______ 5 6 7 8

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.______________________________; 11.______________________________; 13.______________________________; 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15. 10.______________________________; 12.______________________________; 14. ______________________________.

16.

5

17.

18.

6

19.

20.

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