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河南省信阳高中2013届高三第五次月考数学(理)试题含解析


河南省信阳高中 2013 届高三第五次月考

数学(理)试题(含解析)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? ?0,1,2? , N ? ?y | y ? 2 x, x ? M ?,则集合 M ? N ? ( )

1 A. ?0? B. ?0,1? C. ? ,2? 解:由题意知,N={0,2,4},故 M∩N={0,2},故选 D. 2. a, b ? R ,下列命题正确的是( )
A.若 a ? b ,则 a ? b
2 2 2 2

D. ?0,2?

B.若 | a |? b ,则 a ? b
2 2

2 2

C.若 a ?| b | ,则 a ? b D.若 a ?| b | ,则 a ? b 解:对于 A,a=-1,b=-2,结论不成立;对于 B,a=-1,b=1,结论不成立;对于 C,a=1,b=-1,结论不 成立;对于 D,∵a>|b|≥0,∴a2>b2,结论成立;故选 D. 3.对于命题 p 和命题 q ,“ p ? q 为真命题”的必要不充分条件是( ) A. p ? q 为假命题 B. (?p) ? (?q) 为假命题 C. p ? q 为真命题 D. (?p) ? (?q) 为真命题 解:∵命题 p 和命题 q,“p∧q 为真命题”, ∴p 和 q 都是真命题,?p 是假命题,?q 是假命题, ∴p∨q 为真命题, (?p)∨(?q)为真命题, ∴“p∧q 为真命题?(?p)∨(?q)为假命题, ∴“p∧q 为真命题?p∨q 为真命题,但是 p∨q 为真命题不一定推出 p∧q 为真命题,有可能为假命题, ∴“p∧q 为真命题”的必要不充分条件是 p∨q 为真命题,故选 C; 4.设函数 f ? x ? ? x sin x ? cos x 的图像在点 t , f ? t ? 处切线的斜率为 k ,则函数

?

?

k ? g ? t ? 的部分图像为(

)

解:∵f(x)=x sinx+cosx ∴f'(x)=(x sinx)'+(cosx)'=x(sinx)'+(x)'sinx+(cosx)'=x cosx+sinx-sinx=x cosx ∴k=g(t)=tcost 根据 y=cosx 的图象可知 g(t)应该为奇函数且当 x>0 时 g(t)>0,故选 B. 5.设等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 8a 2 ? a5 ? 0 ,则下列式子中数值不确定的是( ) A.

a5 a3

B.

S5 S3

C.

a n ?1 an

D.

S n ?1 Sn

2 2 2 2 2 6.过双曲线 x 2 ? y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F 作圆 x ? y ? a 的切线 FM (切点为 M ) ,交 y 轴于点 P . a b 若 M 为线段 FP 的中点,则双曲线的离心率是

A. 2

B. 2

C.

3

D. 5

故选答案 B。 7.函数 f (x) 满足 f (0) ? 0 ,其导函数 f ?(x) 的图象如图所示, 图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A. 1 B.

则 函 数 f (x) 的

4 3

C. 2

D.

8 3

8.已知函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? , 其中 0 ? ? ? 2? , f ?x ? ? f ? 若 则 ? 等于 A.

?? ? 且 ? 对x ? R 恒成立, ?6?

?? ? f ? ? ? f ?? ? , ?2?

? 6

B.

5? 6

C.

7? 6

D.

11? 6

9. 抛物线 y 2 ? 4 x的焦点为F , 准线为 l,l 与 x 轴相交于点 E,过 F 且倾斜角等于 60°的直线与抛物线在
x 轴上方的部分相交于点 A,AB⊥l,垂足为 B,则四边形 ABEF 的面积等于 A. 3 3 B. 4 3 C. 6 3 D. 8 3 ( )

10. 若实数 x 、 y 满足 9 ? 9 ? 3
x y

A. 0 ? ? ? 3

? 3 y?1 ,则 ? ? 3x ? 3 y 的取值范围是( ) B. 0 ? ? ? 6 C. 3 ? ? ? 6 D. ? ? 6
x ?1

11.已知函数 f ( x ) ? ? 值范围是 A. a<2

? ? x 2 ? ax, x ? 1, ? 2ax ? 5, x ? 1,
B. a<4

若存在 x1 , x2 ? R且x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实数 a 的取

C. 2 ? a ? 4

D. a>2

直线 y=2ax-5 在直线 l 处肯定不行,在 m 处可以, 此时需要:二次函数 y=-x2+ax,在 x=1 处的函数值,大于等于一次函 y=2ax-5 数在 x=1 处的函数值,可得 在 x=1 处有 1+a>2a-5,即 2≤a<4,综上得 a<4;故选 B; 12.设 P(x,y),Q(x′,y′) 是椭圆 ① a2+b2≥(x+y)2;②
x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)上的两点,则下列四个结论: a 2 b2
2

a 2 b2 1 1 ?1 1? xx? yy ? ? 2 ? ? ? ? ;③ 2 ? 2 ? 4 ;④ 2 ? 2 ? 1 . 2 x y x y a b ?a b?

其中正确的个数为 (A) 1 个 (B) 2 个

( (C) 3 个 (D) 4 个 h

)

二 填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的横线上) 13. 函数 y ?

x ?1 ?

1 的定义域是______ . lg(3 ? x)

14.已知 tan( x ?

?
4

) ?2 则

tan x 的值为__________. tan 2 x

15 ?ABC 外接圆的半径为 1, 圆心为 O , 2OA ? AB ? AC ? 0 ,| OA |?| AB | , C C ? 且 则 A ?B

??? ??? ? ?



? y ? x, ?2 x ? 3 y ? 0, ? 16.不等式组 ? 表示的平面区域是三角形,则实数 a 的取值范围是 x ? y ? 10, ? ? x ? 3 y ? a ? 0. ?
解:如图,



首先作出不等式组中前三个不等式对应方程的直线,得到△OAB,当 a≥0 时,不等式 x-3y-a≤0 对应的直线 经过(0,0)或在(0,0)的下方且与△OAB 无交点,表示的平面区域在其左上方,所以原不等式组表示 的平面区域为三角形;当 a<0 时,不等式 x-3y-a≤0 表示的平面区域在其左上方,则其对应的直线需经过 点 A 向上平移至 B(不含 B)结束,把 A(6,4) ,B(5,5)代入 x-3y-a=0 得到 a 的范围为-10<a≤-6.故 答案为 a≥0 或-10<a≤-6. 三 解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)设函数 f ( x ) ?| x ? 4 | ? | x ? a | (a ? 1) . (Ⅰ)若 f ( x ) 的最小值为 3,求 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求使得不等式 f ( x ) ? 5 成立的 x 的取值集合.

18(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? a , an ?1 ?

(4n ? 6)an ? 4n ? 10 ( n ?N? ) . 2n ? 1
. .

?a ? 2? (Ⅰ)判断数列 ? n ? 是否为等比数列?若不是,请说明理由;若是,试求出通项 an ; ? 2n ? 1 ?
(Ⅱ)如果 a ? 1 时,数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,试求出 S n .

19 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 sin x ? 1( x ? R) .
2

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)若在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , a ?

3 , A 为锐角,且 f ( A ?

?
8

)?

?ABC 面积 S 的最大值.
20(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? log 4 (4 x ? 1) ? kx(k ? R) 为偶函数. (Ⅰ) 求 k 的值; (Ⅱ) 若方程 f ( x) ? log 4 (a ? 2 x ? a) 有且只有一个实数解, 求实数 a 的取值范围.

2 ,求 3

21. (本小题满分 12 分) 已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为

3 2 的椭圆过点( 2, ). 2 2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P,Q 两点.满足直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列, 求△OPQ 面积的取值范围。

22. (本小题满 分 12 分) 函数 f ( x) ? ae , g ( x) ? ln x ? ln a, 其中 a 为常数, 且函数 y ? f ( x)和y ? g ( x) 的图象在其与坐标轴的
x

交点处的切线互相 平行。 (Ⅰ)求此平行线的距离;

x?m ? x 成立,求实数 m 的取值范围; f ( x) (III)对于函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 公共定义域中的任意实数 x0,我们把 | f ( x0 ) ? g ( x0 ) | 的值称 为两
(Ⅱ)若存在 x 使不等式 函数在 x0 处的偏差,求证:函数 y ? f ( x)和y ? g ( x) 在其公共定义域内的所有偏差都大于 2。

高三第五次大考理科数学答案
一、选择题 1.D 2.D 3.C 4.B 5.D 6.B 7.B 8.C 15. 9.C 3 10.C 11.B 12.D

二、填空题 13. [1,2) ? (2,3) 三、计算题

4 14. 9

16.(—10,—6]∪[0,+∞)

18、 (1) 解:

(4n ? 6)( a n ? 2) (4n ? 6)a n ? 4n ? 10 , ?2 ? 2n ? 1 2n ? 1 a ?2 (a ? 2) .…………2 分 ? n ?1 ? 2? n 2n ? 3 2n ? 1 a ?2 a?2 令 bn ? n ,则 bn ?1 ? 2bn ,且 b1 ? .…………3 分 2n ? 1 3 an ? 2 } 不是等比数列. ∴当 a ? ?2 时, b1 ? 0 ,则 bn ? 0 ,数列 { 2n ? 1 a ?2 } 是等比数列,且公比为 2.…………6 分 当 a ? ?2 时, b1 ? 0 ,则数列 { n 2n ? 1 a ? 2 a ? 2 n ?1 ? bn ? b1 ? 2 n ?1 ,即 n ? ?2 . 2n ? 1 3 (a ? 2)( 2n ? 1) n?1 解得 a n ? ? 2 ? 2 .……7 分 3 n ?1 (2)由(1)知,当 a ? 1 时, a n ? (2n ? 1) ? 2 ? 2 ,…………9 分

? a n?1 ? 2 ?

S n ? 3 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2n .…………10 分
由错位相减法,设 Tn ? 3 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2
2
2

n ?1

则 2Tn ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 ? …… ? ? 2n ? 1? ? 2 ……②
n

……①

② -①得

?Tn ? 3 ? 2 ? 2 ? 22 ? ?????? ?2n ?1 ? ? ? ? 2n ? 1? ? 2 n ? 3? 2? 2 ? 2n ? ? 2n ? 1? ? 2n ? ?1 ? ? ?2n ? 1? ? 2 n 1? 2

Tn ? (2n ? 1) ? 2n ? 1,
∴ S n ? Tn ? 2n ? (2n ? 1)( 2 ? 1) .…………12 分
n

20

(1)a ? 1, t ? ?1 不合题意

?? ? a 2 ? 4(1 ? a ) ? 0 ? x (2)*式有一正一负根 ? 经验证满足 a ? 2 ? a ? 0 ?a ? 1 1 t1 t 2 ? ?0 ? 1? a ? x (3)两相等 ? ? 0 ? a ? ?2 2 ? 2 经验证 a ? 2 ? a ? 0 ? a ? ?2 ? 2 2

综上所述?a ? 1 或 a ? ?2 ? 2 2

12 分

12 分

12 分

错误!未找到引用源。



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