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第18讲 一元二次不等式解法


一元二次不等式解法
【基础知识精讲】
1.一元二次不等式 (1)一元二次不等式经过变形,可以化成如下标准形式: ①ax +bx+c>0(a>0);②ax +bx+c<0(a>0). 2.一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集对比表 二次函数 y=ax +bx+c(a>0)
2 2 2

△情况 △= b -4ac
2

一元二次方程
2

一元二次不等式
2 2

ax +bx+c=0(a> ax +bx+c>0(a> ax +bx+c< 0) 0) 不等式解集为 x1= {x|x<x1 或 x >x2= 0(a>0) 不等式解集 为{x|x1<x <x2=

图 像 与 解

△>0

x2= △=0 x1=x2=x0= 不等式解集{x| x≠x0,x∈R}

解集为

△<0

方程无解

不等式解集为 R(一切实数)

解集为

a<0 的情况自己完成 3.一元 n 次不等式 (x-a1)(x-a2)?(x-an)>0, (x-a1)(x-a2)?(x-an)<0, 其中 a1<a2<?<an. 把 a1,a2,?an 按大小顺序标在数轴上,则不等式的解的区间如图所示:

4.分式不等式

(

,bj 互不相等)

把 a1,a2,?an 和 b1,b2,?,bm 按照从小到大的顺序标在数轴上,该分式不等式的解的区间的 情况与(3)中所述类似,分 n+m 为奇数或偶数在数轴上表示. 综合可知,一元二次不等式的解法充分运用了“函数与方程”,“数形结合”及“化归” 的数学思想,一元二次方程 ax +bx+c=0 的根就是使二次函数 y=ax +bx+c 的函数值为零时对 应的 x 值,一元二次不等式 ax +bx+c>0,ax +bx+c<0 的解就是使二次函数 y=ax +bx+c 的 函数值大于零或小于零时 x 的取值范围,因此解一元二次方程 ax +bx+c>0,ax +bx+c<0 一般要画与之对应的二次函数 y=ax +bx+c 的图像.
2 2 2 2 2 2 2 2

【重点难点解析】
例 1 解下列关于 x 的不等式: (1)2x+3-x >0; (2)x(x+2)-1≥x(3-x); (3)x -2
2 2 2

x+3>0;

(4)x +6(x+3)>3;

例 2 解不等式

≥2.

遇到分式不等式,一般应化为右边为零的形式,即化为

≥0,然后转化为

(当分式不等式的分母恒为正(或为负)时, 可以去分母, 如 0 x-1>0 且 )
2



例 3 若函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)对任意的实数 t,都有 f(2+t)=f(2-t),下列不等式成立 的是( ) B.f(2)<f(1)<f(4) D.f(4)<f(2)<f(1)

A.f(1)<f(2)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1)

例4

已知不等式 ax +bx+2>0 的解为-

2

<x<

,求 a,b 值.

【难解巧解点拨】

例1 若

x +qx+p>0 的解集是{x|2<x<4},求实数 p、q 的值.

2

例2

设 A={x|-2<x<-1,或 x>1},B={x|x +ax+b≤0},已知 A∪B={x|x>-2},

2

A∩B={x|1<x≤3},试求 a,b 的值.

例3

已知 f(x)=x +2(a-2)x+4.

2

(1)如果对一切 x∈R,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围. (2)如果对 x∈〔-3,1〕,f(x)>0 成立,求实数 a 的取值范围.

【命题趋势分析】
一元一次不等式,一元二次不等式是最简单的不等式.历年高考中,都涉及到解不等式的题 目,对解有理不等式、无理不等式,解指数和对数不等式,解绝对值不等式都进行了考查, 而解这些类型的不等式最终都要转化成一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解. 平时要求学生熟练掌握一元二次不等式(组)的解,并能灵活应用.

【典型热点考题】

例1

不等式

>1 解集是

.

例 2 设全集为 R,A={x|x -5x-6>0},B={x||x-5|<a}(a 是常数),且 11∈B,则 ( ) B.A∪CRB=R C.CRA∪CRB=R D.A∪B=R

2

A.CRA∪B=R

例3

不等式|x -3x|>4 的解集是

2

.

【同步达纲练习】
一、选择题 1.已知集合 A={x|x -2x-3<0 ( ) B.a≤1;
2 2

,B={x||x|<a

,若 B

A,则实数 a 的取值范围是

A.0<a≤1;

C.-1<a≤3;
2

D.a<1.

2.集合 A={x|x -3x-10≤0,x∈Z},B={x|2x -x-6>0,x∈Z},则 A∩B 的子集的个数 为( A.16; ) B.8; C.15; D.7.

3.不等式

≥0 的解集是(

) B.{x|x≤-1,或 x>3}

A.{x|-1≤x≤3}

C.{x|x≤-1,或 x≥3}
2

D.{x|-1≤x<3} )

4.若对于任何实数,二次函数 y=ax -x+c 的值恒为负,那么 a、c 应满足(

A.a>0 且 ac≤

B.a<0 且 ac<

C.a<0 且 ac>

D.a<0 且 ac<0

5.考察下列集合:(1){x||x-1|<1

;(2){x|x -3x+2≤0};(3){x|

2

≤0};

(4){x| A.1 个

≥0},其中是集合 A={x|1<x≤2 B.2 个 C.3 个 )

的子集的有( D.4 个

)

6.在下列各不等式(组)中,解集为空集的是(

A.x +x+1≤

2



B.|x-1|+|x-2|≤1;

C. 二、填空题

(其中 0<a<1 ;

D.x -(a+

2

)x+1≤0(其中 a>0).

1.使函数 y=

+

有意义的 x 的取值范围是

.

2.不等式 ax +bx+2>0 的解集是{x|-

2

<x<

,则 a+b=

.

3.不等式
2

≤1 的解集是

. .
2

4.不等式-4≤x -3x<18 的整数解为
2

5.已知关于 x 的方程 ax +bx+c<0 的解集为{x|x<-1 或 x>2}.则不等式 ax -bx+c>0 的 解集为 三、解答题 1.求不等式 x -2x+2m-m >0 的解集.
2 2

.

2.求 m,使不等式|

|<3 恒成立.

3.关于 x 的不等式 它的解集为{x|x1≤x≤x2},且 1≤|x1-x2|≤3,(m-2)x -mx-1≥0,求实数 m 的取值范围.
2

4.已知 a>1 解关于 x 的不等式组

5.解不等式


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