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(九)排列组合、概率统计(2005)2


2006 年广州市高三数学训练题 (九) 排列组合 概率统计
(时间:100 分钟 满分 100 分)

(由广州市中学数学教研会高三中心组编写,本卷命题人:罗

华,修订:杨斗)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.请将正确答案填入下面的表格内.
题号 答案 (1)已知随机变量 ? 服从二项分布,且 E? ? 2.4 , D? ? 1.44 ,则二项分布的参数 n, p 的 值为 (A) n ? 4, p ? 0.6 (B) n ? 6, p ? 0.4 (C) n ? 8, p ? 0.3 (D) n ? 24, p ? 0.1 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 得分

(2)对总数为 N 的一批零件抽取一个容量为 30 的样本,若每个零件被抽到的概率为 0.25, 则 N 的值为 (A) 100 (B) 120 (C) 150 (D) 200

(3)10 张奖券中有 2 张是有奖的,甲、乙两人中各抽 1 张,甲先抽,然后乙抽,设甲中奖的 概率为 p1,乙中奖的概率为 p2,那么 (A) p1 > p2 (B) p1 < p2 (C) p1 = p2 (D) p1, p2 大小不确定 (4)若 x ? N,且 x<55,则(55?x)(56?x)…(68?x)(69?x)= (A) A69?x
55?x

(B) A69?x

15

(C) A55?x

15

(D) A55?x

14

(5)学校黑板报设有 9 个学科专栏,由高中三个年级各负责 3 个专栏,其中数学由高三级负 责. 则不同的分工方法种数为 (A) 1680 (B) 560 (C) 280 (D) 140

(6)某年级 8 个班协商组建年级篮球队,共需 10 名队员,每个班至少有 1 个名额,不同的名 额分配方案种数为 (A) 16 (B) 24 (C) 28 (D) 36

(7)把红、黄、绿、蓝四张纸牌随机分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得一个. 事件“甲 分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 (A) 对立事件 (C) 互斥但非对立事件 (B) 不可能事件 (D) 以上答案均不对

(8)氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,某肽链由 7 种不同的氨基酸构成, 研究人员试验每次改变其中三种氨基酸的位置,其他四种位置不变,则试验的总次数为 (A) 126 (B) 70
9-1

(C) 35

(D)210

(9)将两名男生、五名女生的照片排成一排贴在光荣榜上,恰有三名女生的照片贴在两名男 生的照片之间的概率为 (A) 6 7 (B) 3 7 (C) 2 7 (D) 1 7

(10)3 位好友不约而同乘一列火车. 该列火车有 10 节车厢,那么至少有 2 人在同一节车厢 相遇的概率为 (A) 29 200 (B) 7 25 (C) 29 144 (D) 7 18

( 11 )设随机变量 ξ 的概率分布列为 P ?? ? k ? ?

c , k ? 1, 2,3,? , 6 ,其中 c 为常数,则 2k

P ?? ? 2? 的值为
(A)

3 4

(B)

16 21

(C)

63 64

(D)

64 63

(12)某仪表显示屏上有一排 7 个小孔,每个小孔可显示出 0 或 1,若每次显示其中三个小孔, 且相邻的两个小孔不能同时显示,则这个显示屏可以显示不同信号的种数为 (A) 10 (B) 48 (C) 60 (D) 80

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.把答案填在题中横线上.
(13) 为获知野生动物保护区内某种野生动物的数量,工作人员逮到该种动物 1200 只,作标记后 放回. 若干天后,再逮到该种动物 1000 只,数得当中有 100 只作过标记. 按概率方法 估算,保护区内这种动物有 只.
0.0040
频率 组距

(14) 某电子元件厂对一批新产品的使用寿命进行检 验,质检科抽取了一个容量为 100 的样本,经 检测统计后,绘制出了该产品使用寿命的频率 分布直方图(如图) ,估计这批新产品的使用 寿命在 400h 以上的概率是 .

0.0025 0.0020 0.0015

寿命
0 100 200 300 400 500 600 ( h)

(15) 设 ( 2 +x) 10 = a0 + a1 x + a2 x 2 + … + a10 x 10,则 (a0 + a2 + a4 + … + a10) 2-(a1 + a3 + a5 + … + a9) 2 的值为 . (16) 三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为凹数, 如 524,746 等,那么各位上无重复数字的三位凹数共有 个.

9-2

三、解答题:本大题共4小题,共 40 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤.
(17) (满分 8 分)已知随机变量 ? 的分布列如下,且已知 E? = 2,D? = 0.5, 求: (I) p1、p2、p3 (II) P(-1 < ? < 2)、P(1 < ? < 2)

?
P

1 p1

2 p2

3 p3

(18) (满分 10 分) 设数列 ?an ? 是等比数列,a1 ? C 的展开式中的第二项(按 x 的降幂排列) . (1)求常数 m 与 a 1 的值; (2)用 n , x 表示数列{ an }的前项和 S n ;

3m?2 2m

?A

1 m?1

1 ? ? 公比 q 是 ? x ? 2 ? (m ? N ) , 4x ? ?
*

4

1 2 n (3)若 Tn ? Cn S1 ? Cn S 2 ? ? ? Cn S n ,用 n , x 表示 Tn .

9-3

(19) (满分 10 分)某保险公司开设了一项保险业务,若在一年内事件 E 发生,该公司要赔偿 10000 元,设一年内 E 发生的概率为 0.001,要使公司收益的期望值为 500 元,公司应要 求顾客交多少保险金?

(20)(满分 12 分)将 15 名转学生(12 位男生 3 位女生)平均分到高三级甲、乙、丙三个班. ?I? 每班各分配到一名女生的概率是多少? ?II? 3 名女生同去一个班的概率是多少?

9-4

(九) 排列组合 概率统计
参考答案
(1)B 30 2 3 2 1 (2)B, =0.25 (3)C (4) B (5)B C8 · C6 =560 (6)D C8 +C8 =36 N A5 A2 A3 (9)D A7 (11)B,由
7 3 2 3

(7)C

(8)D

3 A7

1 = 7

A10 (10) B,1- 3 10

3

c c c ? 2 ? ? ? 6 ? 1可求得 c 2 2 2
3

(12) D,第一步:选择 3 个显示孔,这等价于求 4 个白球与 3 个红球排成一列,且 3 个红球互 不相邻的排法数,4 个白球之间和头尾有 5 个空位,插入 3 个红球有 C5 种方法, 第二步: 选中的孔各自有 2 个数据可显示, 3 个孔共有 23 种可能, 由分步相乘原理知, 总共可显示 C5 23=80 种不同信号. (13) 12000 (14) 0.35. (15) 设 f (x) = ( 2 +x) 10 ,则(a0 + a2 + a4 + … + a10) 2-(a1 + a3 + a5 + … + a9) 2 =[(a0 + a2 + … + a10) +(a1 + a3 + … + a9) ]· [(a0 + a2 + … + a10)-(a1 + a3 + … + a9) ] =f (1)·f (-1) = ( 2 +1)10 ( 2 -1) 10=1 (16) 240. 先取后排 C
3 10 3

P

2 2

(17) 解:(I) 依题意 p1 + p2 + p3 = 1, 又 E? = p1 + 2p2 + 3p3 = 2 D? = (1-2) 2 p1 + (2-2) 2 p2 + (3-2) 2 p3 = p1 + p3 = 0.5 解得:p1 = 0.25,p2 = 0.5,p3 = 0.25 (II) P(-1 < ? < 2) = P(? = 1) = p1 = 0.25,P(1 < ? < 2) = 0 (18) 解: (1)由 2m ? 3m ? 2 ? 0 及 m ? 1 ? 1 ,可得 m ? 2 且 m ? 2 ,∴ m ? 2 , a1 ? 1
1 3 (2)二项式的第二项 T2 ? C4 x ? 41 ? x ,所以 q ? x? x4

① x ? 1 时, an ? 1 , Sn ? n ② x ? 0 且 x ? 1 时, S n ?

1 ? xn . 1? x

( x ? 1) ?n ? n 所以 Sn ? ?1 ? x . ( x ? 0 且 x ? 1) ? ? 1? x k k ?1 (3)①当 Sn ? n 时,∵ kCn ? nCn ?1 ,
∴ Tn ? n (Cn?1 ? Cn?1 ? ?? Cn?1 ) ? n ? 2
0 1 n?1 n?1

. (或用首尾相加法求 Tn )

9-5

②当 S n ?

1 ? xn 时, 1? x
n

2n ? ?1 ? x ? 1 1 2 n 1 2 2 n n ? ? Tn ? ? ? ?Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? xCn ? x Cn ? ? ? x Cn ?? ? ? ? 1 ? x . 1? x ?
(19) 解法一:设公司要求顾客交 x 元保险金,若以 ξ 表示公司每年的收益额,则 ξ 是一个随 机变量,其分布列为 ξ P x 0.999 x-10000 0.001

因此,ξ 的期望为 Eξ = 0.999x + 0.001 (x-10000) = x-10 由题意 x-10 =500 ,故 x = 510 元

答:要求顾客交 510 元,公司受益的期望为 500 元. 解法二:设随机变量η 表示公司每年的赔偿额,则η 的分布列为: η P 0 0.999 10000 0.001

因此,η 的期望为 Eη = 0.999· 0+ 0.001· 10000= 10 由题意 x=10+ 500= 510 (元) 答:要求顾客交 510 元,公司受益的期望为 500 元.

(20)解:?1?将 15 名新生平均分配到甲、乙、丙班,共有 C 配 1 名女生、4 名男生.甲班有 C
1 3

5 15

C

5 10

C C

5 5

种不同的分法.若每班分 种方法,剩下的 1 名女生

C

4 12

种选法,乙班有 C
1 3

1 2

4 8

和 4 名男生去丙班. 每班各分到一名女生的方法有 C C 每班各分到一名女生的概率为: C ?2? 3 名女生都分到甲班,共有 C 有C
3 3 3 3 1 3

C

4 12

C

1 2

C

4 8

种.

C

4 12 5 15

C C

1 2 5 10

C

4 8



25 . 91

C

2 12

种分法.乙班从剩下的 10 名之中选 5 名 C

5 10

,共

C

2 12

C

5 10

C

5 5

= C

2 12

C

5 10

种不同分法.
2 12

同理,3 名女生都分到乙班、丙班方法数均为 C 3 C 12 C 10 ∴ 3 名女生分到同一班的概率为 5 5 C 15 C 10
9-6
2 5

C

5 10





6 . 91


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