当前位置:首页 >> >>

2011版高中数学二轮_三轮复习_专题7_数学思想方法课件_文_大纲人教版_图文

专题 7

数学思想方法

第19讲 函数与方程思想 第20讲 第21讲 第22讲 数形结合思想 分类讨论思想 转化与化归思想

专题 7

数学思想方法

专题 7 │ 知识网络构建
知识网络构建

专题 7 │ 考情分析预测
考情分析预测

数学思想方法是对数学知识最高层次的提炼与概括, 数学思想方法较之数学知识具有更高的层次,具有理性的 地位,它是一种数学意识,属于思维和能力的范畴,它是 数学知识的精髓,是知识转化为能力的桥梁. 高考中把函数与方程的思想作为数学思想方法的重点 进行考查,通过选择题和填空题考查函数与方程思想的基 本运算,而在解答题中,则从更深的层次,在知识网络的 交汇处,从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考 查;对数形结合思想的考查侧重两个方面:一方面是充分 利用选择题和填空题的题型特点 (只需写出结果而无需写 出解答过程 ),

专题 7 │ 考情分析预测

突出将复杂的数量关系问题转化为直观的几何图形问题的 意识,即由“数”到“形”的转化;另一方面在解答题中以由 “形”到“数”的转化为主来考查数形结合思想;对于分类与 整合思想是以解答题为主进行考查的,通常是通过对含有字母 参数的数学问题进行分类与整合的研究,考查考生思维的严谨 性与周密性;转化与化归思想在高考中的重点是一些常用的变 换方法,如一般与特殊的转化,繁与简的转化,构造转化,命 题的等价转化等.

专题 7 │ 考情分析预测

纵观近几年的高考试题,都加大了对数学思想方法的 考查,把数学思想方法的考查寓于各部分知识的考查之 中,以知识为载体,着重考查能力与方法题目很常见.预 测 2011 年数学高考中,仍然会在选择题、填空题、解答 题中以初等数学的各个知识点为背景,考查数学思想方 法,对数学思想方法的考查不会削弱,会更加鲜明,更加 重视.

第 19 讲 │ 函数与方程思想

第19讲 函数与方程思想

第 19 讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1.“ 函数与方程”思想的地位 函数与方程思想是最重要的一种数学思想,高考中所占比 重较大,综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想即 将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数, 结合初等函数的图象与性质,加以分析、转化、解决有关 求值、解 (证 )不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问 题;方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为 方程模型加以解决.

第 19 讲 │ 主干知识整合
2.“ 函数与方程”思想的作用 运用方程思想解决问题主要从四个方面着手: 一是把问题中 对立的已知与未知建立相等关系统一在方程中,通过解方程 解决;二是从分析问题的结构入手,找出主要矛盾,抓住某 一个关键变量,将等式看成关于这个主变元 (常称为主元 )的 方程,利用方程的特征解决;三是根据几个变量间的关系, 符合某些方程的性质和特征 ( 如利用根与系数的关系构造方 程等 ),通过研究方程所具有的性质和特征解决;四是中学数 学中常见的数学模型 (如函数、曲线等 ),经常转化为方程问 题去解决.

第 19 讲 │ 主干知识整合
3.“ 函数与方程 ”思想在高中数学中的体现 (1)函数与方程是密切相关的,对于函数 y= f(x),当 y= 0 时,就转化为方程 f(x)= 0,也可以把函数式 y= f(x)看做二元 方程 y- f(x)= 0.函数问题 (例如求反函数,求函数的值域等 )可 以转化为方程问题来求解, 方程问题也可以转化为函数问题来 求解,如解方程 f(x)= 0,就是求函数 y= f(x)的零点. (2)函数与不等式也可以相互转化,对于函数 y= f(x),当 y > 0 时,就转化为不等式 f(x)> 0,借助于函数图象与性质解决 有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式. (3)数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数, 用函 数的观点处理数列问题十分重要.

第 19 讲 │ 主干知识整合

(4)函数 f(x)= (ax+ b) n( n∈ N*)与二项式定理是密切相关 的,利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项 式定理的问题. (5)解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置 关系问题,需要通过解二元方程组才能解决,涉及到二次方 程与二次函数的有关理论. (6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常 需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.

第 19 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 函数方程思想在求解最值或参数的取值范围的应用

例 1 已知函数 f(x)= x3- 2x2+ x,g(x)= x2+ x+ a,若函数 y= f(x)与 y= g(x)的图象有三个不同的交点,求实数 a 的取值 范围.

第 19 讲 │ 要点热点探究
【解答】 函数 f(x)与 y= g(x)的图象有三个不同的交点 等价于方程 x3- 2x2+ x= x2+ x+a 有三个不同的实数根, 即关于 x 的方程 x3- 3x2- a= 0 有三个不同的实数根, 令 h(x)= x3- 3x2- a,则 h′ (x)= 3x2- 6x. 令 h′ (x)<0,解得 0<x<2; 令 h′ (x)>0,解得 x<0 或 x>2. 所以 h(x)在 (-∞, 0)和 (2,+∞ )上为增函数,在 (0,2) 上为减函数.所以 h(0)为极大值, h(2)为极小值. 从而 h(2)<0<h(0),解得- 4<a<0.
【点评】 本题在求解参数取值范围时,利用函数的极 值处理,迅速准确地使问题得到解决.

第 19 讲 │ 要点热点探究

1 如果关于实数 x 的方程 ax + = 3x 的所有解中,仅有 x 一个正数解,那么实数 a 的取值范围为 ( ) A. {a|- 2≤ a≤ 2} B.{a|a≤ 0 或 a= 2} C. {a|a≥ 2 或 a<- 2} D.{a|a≥ 0 或 a=- 2}
2

第 19 讲 │ 要点热点探究

3 1 B 【解析】 原问题 ?a= - 3有且仅有一个正实数解. x x 1 令 = t(t≠0),则 a=-t3+ 3t. x 令 f(t)=-t3+3t(t≠0), f′ (t)=-3t2+ 3, 由 f′ (t)=0,得 t=1 或 t=-1.又 t∈ (- 1,1)且 t≠0 时, f′ (t)>0; t∈ (-∞,-1), (1,+∞ )时,f′ (t)<0. 所以 f(t)极大值 = f(1)=2.又 t→-∞,f(t)→+∞; t→+∞,f(t)→-∞. 结合三次函数图象即可得到答案.

第 19 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 准确认识函数关系中的主从变量,解决有关问题 → ,OB → ,OC → 例 2 已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,向量OA 探究点二

→ -[y+2f′(1)]OB → +ln(x+ 1)OC → =0. 满足:OA (1)求函数 y=f(x)的表达式; 2x (2)若 x>0,证明: f(x)> ; x+ 2 1 2 (3)若不等式 x ≤ f(x2)+ m2- 2bm- 3 时, x∈ [- 1,1]及 b 2 ∈ [- 1,1]都恒成立,求实数 m 的取值范围.

第 19 讲 │ 要点热点探究

【解答】 用三点共线的充要条件构建目标函数,借助导 数研究单调性,利用值域构建不等式求解参数范围问题. → - [y+2f′(1)]OB → +ln(x+1)OC → = 0, (1)∵OA → =[y+2f′(1)]OB → - ln(x+ 1)OC →, ∴OA 由于 A、B、C 三点共线,即 [y+2f′(1)]+[-ln(x+ 1)]=1, 1 ∴y= f(x)= ln(x+1)+ 1-2f′ (1),f′ (x)= ,故 f′(1) x+ 1 1 = ,∴f(x)=ln(x+1). 2

第 19 讲 │ 要点热点探究

2? x+ 2? - 2x 2x 1 (2)令 g(x)= f(x)- , 由 g′ (x)= - = 2 x+ 2 x+ 1 ? x+ 2? x2 2, ?x+1??x+ 2? ∵ x> 0,∴ g′ (x)> 0,∴ g(x)在 (0,+∞ )上是增函数, 故 g(x)> 2x g(0)= 0,即 f(x)> . x+ 2

第 19 讲 │ 要点热点探究
1 2 (3)原不等式等价于 x - f(x2)≤m2-2bm-3,令 h(x)= 2 1 2 1 2 2 x -f(x )= x - ln(x2+ 1), 2 2 x 3- x x? x 2- 1? 2x 由 h′ (x)= x- 2 = 2 = 2 ,当 x∈ [- 1,1] x +1 x +1 x +1 时, h(x)max=0,∴m2-2bm-3≥0. 令
2 ? Q ? 1 ? = m - 2m-3≥0, ? 2 Q(b)=m -2bm-3,则? 2 ? ?Q?- 1?=m + 2m- 3≥ 0,

解得 m≥3 或 m≤-3.

第 19 讲 │ 要点热点探究

对于满足 0≤ p≤4 的所有实数 p,不等式 x2+ px >4x+p-3 都成立, 则实数 x 的取值范围是____________.

x>3 或 x<-1 【解析】 原不等式可化为 p(x- 1)+ (x2- 4x+3)>0,记 f(p)=p(x-1)+x2-4x+ 3,由已知 0≤p≤4,f(p)>0 恒成立,
2 ? ?f?0?= x - 4x+ 3>0, 有? 2 ? f ? 4 ? = x -1>0. ?

解之得 x>3 或 x<-1.

【点评】 反客为主,变换主元是解题的关键.

第 19 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点三 利用函数与方程的相互转化,解决有关问题

例 3 (1)设 a>1,若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x ? ? ? 2? ? ? ? ?满足方程 log x+ log y= c,这时 a , 2 a a , a ∈? ?,都有 y∈ ? ? a a a 的取值的集合为 ____________.

第 19 讲 │ 要点热点探究

(1){2}

【解析】 由 logax+logay=c,

?ac- 1 ? ac ? - c 1? 得 y= (x∈ [a,2a]),则当 x∈[a,2a]时,y∈? , a ?. x 2 ? ? 2 又对于任意的 x∈[a,2a],都有 y∈[a,a ],
- ?ac 1 ? ≥ a, 2 因此? c- 1 2 ? ?a ≤ a ,

? ?c≥ 2+ log a2, ?? ? ?c≤ 3,

又 仅有 一个常 数

c,所以 2+loga2=3?a=2.

第 19 讲 │ 要点热点探究

sin x (2)函数 f(x)= (0≤ x≤ 2π)的值域是 ( 5+ 4cosx ? 1 1? ? 1 1? A. ?- , ? B. ?- , ? ? 4 4? ? 3 3? ? 1 1? ? 2 2? C. ?- , ? D. ?- , ? ? 2 2? ? 3 3?

)

第 19 讲 │ 要点热点探究

2 sinx sin x 2 (2)C 【解析】 由 y= ,得 y = ? 5 + 4cos x 5+ 4cosx 1-cos2x=5y2+4y2cosx. 令 t= cosx(t∈ [-1,1]),则等价于方程 t2+ 4y2· t + 5 y2 - 1 =0 在 [-1,1]上有实数根. 令 g(t) = t2 + 4y2· t + 5y2 - 1 ,∵ g( - 1) = y2≥0 , g(1) = 9 y2 ≥ 0 ,

? ?Δ≥ 0, 故? 2 ? - 1 ≤- 2 y ≤ 1, ?

? 1 1? 1 ? - , ?y ≤ ,因此值域为? ? 2 2 ?,选 4 ? ?
2

C.

第 19 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点四 运用函数、方程、不等式的相互转化,解决有关 问题

例 4 若关于 x 的方程 x2+2kx-1= 0 的两根 x1、 x2 满足 -1<x1<0<x2<2,则 k 的取值范围是 ( ) ? 3 ? ? 3 ? A.?- 4,0? B.?- 4, 0? ? ? ? ? ? ? 3? 3? C.?0,4? D.?0, 4? ? ? ? ?

第 19 讲 │ 要点热点探究
A 【解析】 设函数 f(x)=x2+2kx-1,∵关于 x 的方 程 x2+2kx- 1=0 的两根 x1、 x2 满足-1<x1<0<x2<2, ?f?-1?>0, ? ∴?f?0?<0, ?f?2?>0, ? ?2k<0, ? 即?-1<0, ?4k+3>0, ? 3 ∴- <k<0,故选择 A. 4

第 19 讲 │ 要点热点探究

已知 a∈ R, 若关于 x 的方程 x

2

? 1? + x+ ?a- 4?+ |a|= 0 ? ?

有实根,则 a 的取值范围是 ________________.

第 19 讲 │ 要点热点探究

? 1? ?0, ? 4? ?

【解析】

? 1? 方程即 ?a- 4?+ |a|=- x2- x= ? ?

? 1? 2 1 ? 1? - ?x+ 2? + ∈ ?0, 4? , 利 用 绝 对 值 的 几 何 意 义 , 得 4 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1? 1? 1 ?a- + a?≤ ?a- ?+ |a|≤ , ?0, ?. 可得实数 a 的取值范围为 4 4? 4? 4 ? ? ? ?

第 19 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点五 函数方程思想在数列问题中的应用

例 5 [2010· 全国卷Ⅰ] 记等差数列 {an}的前 n 项和为 Sn,设 S3= 12,且 2a1,a2,a3+ 1 成等比数列,求 Sn.

第 19 讲 │ 要点热点探究

【解答】 设数列 {an}的公差为 d,
2 ? ?2a 1?a3+ 1?= a2 , 依题设有? ? ?a1+ a2+ a3= 12, 2 2 ? a + 2 a d - d + 2a1= 0, ? 1 1 即? ? ?a1+ d= 4.

? ?a 1= 1, 解得? ? ?d= 3,

? ?a1= 8, 或? ? ?d=- 4.

1 因此 Sn= n(3n-1),或 Sn= 2n(5- n). 2

第 19 讲 │ 要点热点探究

已知函数

? ?? 3- a? x- 3, x≤ 7, f(x)= ? x- 6 ? ,x>7, ?a

若数列 {an}

满足 an=f( n)( n∈ N*),且 { an}是递增数列,则实数 a 的取值 范围是 ( ) ?9 ? ?9 ? A.? , 3 ? B. ? , 3? C. [2,3) D. (1,3) 4 4 ? ? ? ?

第 19 讲 │ 要点热点探究

A 【解析】 依题意,数列{an}满足 an=f(n)(n∈ N*), 且 {an}是递增数列,所以 f(x)在 (0,+∞)上是增函数,所
? ?a≥ ?3- a?×7- 3, 以? ? ?3- a>0,

9 解得 ≤a<3,选择 A. 4

第 19 讲 │ 教师备选习题
教师备选习题
(选题理由:均为高考中的重点:1.导数与不等式〈构 造函数〉 ; 2.数列与不等式〈选择函数中恰当的主元〉 ) 1. [2010· 安徽卷] 设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+ 2a, x∈ R. (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)求证:当 a>ln2-1 且 x>0 时,ex>x2- 2ax+1.

第 19 讲 │ 教师备选习题

【解答】 (1)f′(x)= ex- 2,所以当 x∈ [ln2,+ ∞)时, f(x)是增函数;当 x∈ (- ∞, ln2)时, f′(x)是减函数. 所以 f(x)的单调递增区间是 [ln2,+∞),单调递减区间 是 (- ∞, ln2).所以 f(x)极小值 = f(ln2)= 2- 2ln2+ 2a. (2)证明:设 g(x)= ex- x2+ 2ax- 1,则 g′(x)= ex- 2x + 2a,由 (1)知当 a>ln2- 1 时,g′ (x)最小值= 2- 2ln2+ 2a, 所以有 g′ (x)最小值 >0,即 g(x)在 R 上是增函数,于是当 a>ln2 - 1 时,对任意 x∈ (0,+ ∞),都有 g(x)>g(0), 所以 g(x)= ex- x2+ 2ax- 1>0,所以 ex>x2- 2ax+ 1.

第 19 讲 │ 教师备选习题

2 . [2010· 抚州卷 ] 已知数列 {an}, {bn}中, a1= 0, b1 =1,且当 n∈ N*时, an, bn, an+ 1 成等差数列, bn, an+ 1, bn+ 1 成等比数列. (1)求数列{an}, {bn}的通项公式; (2)求最小自然数 k,使得当 n≥k 时,对任意实数 λ ∈ [0,1],不等式(2λ- 3)bn≥ (2λ-4)an+ (λ- 3)恒成立.

第 19 讲 │ 教师备选习题

2 【解答】 (1)依题意 2bn= an+ an+ 1, an bn+ 1.又 + 1 = bn ·

∵ a1 = 0 , b1 = 1 , ∴ bn≥0 , an≥0 ,且 2bn = bn- 1bn + bnbn+ 1, ∴ 2 bn= bn- 1+ bn+ 1(n≥ 2), ∴数列 { bn}是等差数 列, 又 b2= 4, b3= 9,∴ bn= n, n= 1 也适合. ∴ bn= n2, an= (n- 1)n.

第 19 讲 │ 教师备选习题

(2)将 an, bn 代入不等式 (2λ- 3)bn≥ (2λ- 4)an+ (λ- 3), 整理得 (2n- 1)λ+ n2- 4n+ 3≥0. 令 f(λ)= (2n- 1)λ+ n2- 4n+ 3, 则 f(λ)是关于 λ 的一 次函数,
? ?f?0?≥ 0, 由题意可得? ? ?f?1?≥ 0,
2 ? n ? - 4n+ 3≥ 0, ∴? 2 ? ?n - 2n+ 2≥ 0,

解得 n≤ 1 或 n≥ 3. ∴存在最小自然数 k=3,使得当 n≥k 时,不等式 恒成立.

第 19 讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处量变量 或未知数之间的关系,从而解决问题的一种思维方式,是很重 要的数学思想. (1)函数思想:把某变化过程中的一些相互制约的变量用函 数关系表达出来,并研究这些量之间的相互制约关系,最后解 决问题,这就是函数思想.应用函数思想解题,确立变量之间 的函数关系是一关键步骤,大体可分为下面两个步骤:①根据 题意建立变量之间的函数关系式,把问题转化为相应的函数问 题;②根据需要构造函数,利用函数的相关知识解决问题.

第 19 讲 │ 规律技巧提炼

(2)方程思想: 在某变化过程中, 往往需要根据一些要求, 确定某些变量的值,这时常常列出这些变量的方程或 ( 方程 组 ),通过解方程(或方程组 )求出它们,这就是方程思想. 2.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念,它们之 间相互渗透, 很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决, 很多函数的问题也需要用方程的方法来支援,函数与方程之 间的辩证关系,形成了函数方程思想.

第 20 讲 │ 数形结合思想

第20讲 数形结合思想

第 20 讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1. 数形结合思想的概念 数形结合思想, 就是把问题的数量关系和图形结合起来考 查的思想方法,即根据解决问题的需要,可以把数量关系 的问题转化为图形的性质和特征去研究,或者把图形的性 质问题转化为数量关系的问题去研究.数形结合思想,不 仅是一种重要的解题方法, 而且也是一种重要的思想方法, 在高考中经常考查.

第 20 讲 │ 主干知识整合

2. 数与形转换的三条途径 (1)通过坐标系的建立,引入数量化静为动,以动求解. (2)转化, 通过分析数与式的结构特点, 把问题转化到形 的角度来考虑.如将 a2+ b2转化为勾股定理或平面上两点 间的距离等. (3)构造,通过对数 (式 )与形特点的分析,联想相关知识 构造图形或函数等. 比如构造一个几何图形, 构造一个函数, 构造一个图表等.

第 20 讲 │ 主干知识整合
3. 数形结合的主要解题方式 (1)数转化为形,即根据所给出的“数”的特点,构造符合 条件的几何图形,用几何方法去解决. (2)形转化为数,即根据题目特点,用代数方法去研究几何 问题. (3)数形结合,即用数研究形,用形研究数,相互结合,使 问题变得简捷、直观、明了. 华罗庚先生说: “数缺形时少直观, 形少数时难入微”. 运 用数形结合思想解题,不仅直观,易于寻找解题途径,而且能 避免繁杂的计算和推理,简化解题过程,可起到事半功倍的效 果.所以华先生还一语双关地告诫学生“不要得意忘形”.

第 20 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 代数问题几何化——以形助数

例 1 (1)[2010· 湖北卷 ] 若直线 y= x+ b 与曲线 y= 3- 4x- x2有公共点,则 b 的取值范围是 ( A. [- 1,1+ 2 2] B. [1- 2 2, 1+ 2 2] C. [1- 2 2, 3] D. [1- 2, 3] )

第 20 讲 │ 要点热点探究

(1)C 【解析】 曲线方程可化简为 (x - 2)2 + (y - 3)2 =4(1≤y≤3),即表示圆心为 (2,3),半径为 2 的半圆.依据 数形结合, 当直线 y=x+b 与此半圆相切时须满足圆心 (2,3) |2-3+b| 到直线 y=x+b 距离等于 2,∴ =2,解得 b= 1 2 +2 2或 b=1-2 2.因为是下半圆,故可得 b=1-2 2, 当直线过 (0,3)时,解得 b=3,故 1-2 2≤b≤3,所以 C 正确.

第 20 讲 │ 要点热点探究

(2)[2010· 全国卷Ⅰ] 若变量 x, y 满足约 束条件 ?y≤1, ? ?x+y≥0, ?x-y-2≤ 0, ? A.4 C.2 B.3 D.1 则 z=x- 2y 的最大值为( )

第 20 讲 │ 要点热点探究

(2)B 【解析】 画出可行域 (如下图 ),z=x-2y?y= 1 1 x- z,由图可知,当直线 l 经过点 A(1,-1)时,z 最大, 2 2 且最大值为 zmax=1-2×(-1)=3.

第 20 讲 │ 要点热点探究

【点评】 本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能 力及计算能力.求解时,将代数式赋予了几何意义,那就是 直线的“在轴上的截距的 2 倍的相反数”,再结合图形,从 而使问题得到解决.除了赋予“截距”的意义外,我们还经 常将式子赋予“斜率”“两点间的距离”等.请看下面变式 题.

第 20 讲 │ 要点热点探究
(1)已知实系数方程 x2+( m+1) x+ m+ n+ 1=0 的 n 两个实根分别为 x1,x2,且 0<x1< 1,x2> 1,则 的取值 m 范围是 ( ) ? 1? A. ?-2,- ? 2? ? ? 1? B.?-2,- ? 2? ? ? 1? C. ?-1,- ? 2? ? D. (- 2,- 1)

第 20 讲 │ 要点热点探究
(1) A 【解析】 解答此题的关键是要由根的分布将条 件转化为 m, n 的关系式,令 f(x)= x2+ (m+ 1)x+m + n+ 1,则 f(x)= 0 的两根分别满足 0<x1<1, x2>1,
? ?f?0?= m+ n+ 1>0, 即有? ? ?f?1?= 2m+ n+ 3<0,

n m即为以上区域内的动

点 (m, n)和原点连线的斜率的范围 (如图 ),从而得到 n 1 - 2<m<- . 2

第 20 讲 │ 要点热点探究

x y (2)若直线 a+ b= 1 通过点 M(cosα, sinα),则 ( A. a2 + b2≤ 1 B . a2 + b2≥ 1 1 1 C. 2+ 2≤ 1 a b 1 1 D. 2+ 2≥ 1 a b 【答案】 D

)

第 20 讲 │ 要点热点探究

(3)当 x∈ R 时,求函数 f(x)= x2+ 2x+ 2+ x2- 4x+ 8的最小值.

第 20 讲 │ 要点热点探究
(3)【解答】 从代数角度难以找到解题的途径,若把 f(x)稍作变形, f(x)= ?x+ 1?2+ 1+ ?x- 2?2+ 4,可以观 察到 f(x)就是点 P(x,0)到点 A(- 1,- 1)、 B(2,- 2)的距 离之和, 如图, 显然当 P 点与坐标原点重合时 f(x)min= 2

+ 8= 3 2.

第 20 讲 │ 要点热点探究
高考命题者说

【考查目的】 本题考查直线与圆的位置关系的判定和 点到直线的距离. 【命制过程】 根据直线方程和圆的方程判断直线和圆 的位置关系、 确定点的轨迹方程是解析几何的重要内容. 本 题命制过程中希望考生通过对点的坐标的观察或曲线参数 方程的认识,建立点的轨迹方程,把直线与圆有交点的几 何问题转化为代数问题,得到问题的求解.当然考生也可 以利用点到直线的距离或柯西不等式求解,启发鼓励学有 余力的考生积极拓展知识,提高数学素养.

第 20 讲 │ 要点热点探究

【解题思路】 点 M(cosα,sinα)的轨迹是圆 x2+ y2=1, 从而转化为直线和圆有交点的问题;或根据直线过单位圆 上一点,得到原点到直线的距离小于或等于 1,利用点到直 线的距离公式求解. 【试题评价】 本题对考生的能力要求比较高.试题把 考生熟悉的直线和圆的位置关系的判断问题巧妙设计,使 问题的解答具有灵活性,考生必须深入理解数形结合的思 想,从解析几何的研究方法这个角度去认识和解决问题. (引自高等教育出版社 2009 年大纲版的 《高考理科试题 分析》第 87 页第 10 题 )

第 20 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点二 几何问题代数化——以数辅形
ex+ e- x 例 2 (1)[2009· 山东卷 ] 函数 y = x - 的图象大致为 e -e x ( )

图 7- 20-1

第 20 讲 │ 要点热点探究

A 解析】 (1)函数有意义,需使 ex-e x≠0,其定义


ex+ e- x e2x+ 1 域为{x|x≠0},排除 C,D.又因为 y= x = ,所 e - e- x e2x- 1 以当 x>0 时函数为减函数,故选 A.

第 20 讲 │ 要点热点探究

(2)[2010· 安徽卷 ] 设 abc>0,二次函数 f(x)= ax2 + bx+ c 的图象可能是 ( )

图 7- 20- 2

第 20 讲 │ 要点热点探究
D【解析】 (2)根据二次函数图象开口向上或向下,分 a>0 或 a<0 两种情况分类考虑.另外还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交 点的纵坐标,还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.当 b a>0 时,b、c 同号,C、D 两图中 c<0,故 b<0,-2a>0,选 项 D 符合.

第 20 讲 │ 要点热点探究

(3)[2010· 重庆卷] 到两互相垂直的异面直线的距离相等 的点, 在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨 迹是( ) A.直线 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线

第 20 讲 │ 要点热点探究

(3)D 【解析】 (图形略)在边长为 a 的正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,DC 与 A1D1 是两互相垂直的异面直线,平面 ABCD 过直线 DC 且平行于 A1D1, 以 D 为原点, 分别以 DA, DC 为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,设点 P(x,y)在平面 ABCD 内且到 A1D1 与 DC 的距离相等,则 |x|= y2+a2,∴ x 2 - y2 = a 2 .
【点评】 转换数与形的重要途径之一就是通过坐标系 的建立,引入数量,化静为动,以动求解.

第 20 讲 │ 要点热点探究
?b ? y = log ? ? ?a ?

(1)[2010· 湖 南 卷 ] 函 数 y = ax + bx 与

2

x(ab≠ 0, |a |≠ |b |)在同一直角坐标系中的图象可能是(

)

图 7-20- 3

第 20 讲 │ 要点热点探究

【解析】 函数 y=ax2+bx 与 x 轴的两个交点是 ? b ? b ? ? (0,0),?- , 0?.对于 A、B,由抛物线的图象知- ∈ 2a ? a ? ? ?b ? 1? b ? ? ? ? ?0, 2?,则?a ?∈ (0,1),所以 y= log|a|x 不是增函数,排除; ? ? ? ? ?b ? b ? 对于 C,由抛物线的图象知 a<0 且- <- 1,所以? ?a ?>1,所 a ? ? b 以 y=log| |x 应是增函数排除 C,故选 D. a (1)D

第 20 讲 │ 要点热点探究

(2)若动直线 x= α 与函数 f(x )= sinx 和 g(x)= cosx 的图
? ?的最大值为 ( MN 象分别交于 M、 N 两点,则 ? ? ? ?

)

A. 1 C. 3

B. 2 D. 2

(2)B

第 20 讲 │ 要点热点探究
高考命题者说

【考查目的】 本题考查三角函数的最大值的求法,考 查数形结合的数学思想. 【命制过程】 考生对 f(x)= sinx 和 g(x)=cosx 的图象 是比较熟悉的.本题可以通过作图直观得到线段 MN,但 要从图形的变化确定线段 MN 的长度的最大值是困难的, 这就必须将“形”转化为“数”.实际上 |MN| = |sinα - π cosα|= 2sinα- .命制本题的目的是考查数形结合思想的 4 应用和三角函数 y= Asin(ωx+φ)的最大值的求解方法.

第 20 讲 │ 要点热点探究

【解题思路】

? |MN|= |sinα-cosα|= ? ? ?

? ? π? ? ?? 2sin?α- ??. 4 ?? ?

【试题评价】 试题以考生熟悉的三角函数图象入手, 巧妙设计动态的图形变化,将“形”的问题 ——求 |MN|的 最大值,转化为“数”的问题 —— 求函数 y= |sinα- cosα| 的最大值,不仅突出考查了三角函数的图象和性质,也考 查了考生将知识迁移到不同情境中的能力,将数形结合的 思想充分展现出来. (引自高等教育出版社 2009 年大纲版的 《高考理科试题 分析》第 62 页第 8 题 )

第 20 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点三 “数”“形”互助——相得益彰

例 3 (1)[2010· 全国卷 1] 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B →= 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D, 且BF → ,则 C 的离心率为________. 2FD

第 20 讲 │ 要点热点探究

3 (1) 【解析】 (法一)如图, |BF|= b2+ c2=a, 3 作 DD1⊥ y 轴于点 D1, → = 2FD → ,得 则由BF |OF| |BF| 2 3 3 = = ,所以|DD1|= |OF|= c, |DD1| BD 3 2 2 2 ?a2 3c? 3c 3 c ? - 即 xD= ,由椭圆的第二定义得 |FD|= e? = a- . ?c 2? 2 2a ? ? 3 c2 3 又由 |BF|= 2|FD|,得 a=2a- ?e= . a 3

第 20 讲 │ 要点热点探究

x2 y2 解法二: 设椭圆方程为第一标准形式 2+ 2=1, 设 D(x2, a b 0+ 2x2 3 3 y2),F 分 BD 所成的比为 2,xC= ? x 2 = x C = c; y C 2 2 1+ 2 b+ 2y 2 3yC-b 3· 0- b 9 c2 b = ? y2 = = =- ,代入椭圆方程得 2+ 2 2 2 4a 1+ 2 1b 2 3 = 1 ? e= . 4b 2 3

第 20 讲 │ 要点热点探究

(2)[2010· 安徽卷 ] 椭圆 E 经过点 A(2,3), 对称轴为坐标轴, 1 焦点 F1, F2 在 x 轴上,离心率 e= . 2 (1)求椭圆 E 的方程; (2)求∠ F1AF2 的角平分线所在直线的方程.

第 20 讲 │ 要点热点探究
x 2 y2 【解答】 (1)设椭圆 E 的方程为 2+ 2= 1. a b 1 c 1 由 e= ,即 a= , a= 2c,得 b2= a2- c2= 3c2, 2 2 x2 y2 1 3 所以椭圆方程 2+ 2= 1.将 A(2,3)代入上式, 得 2+ 2 4c 3c c c x 2 y2 = 1,解得 c= 2,∴椭圆 E 的方程为 + = 1. 16 12

第 20 讲 │ 要点热点探究
(2)由 (1)知 F1(- 2,0), F2(2,0), 3 所以直线 AF1 的方程为 y= (x+ 2), 4 即 3x- 4 y+ 6= 0; 直线 AF2 的方程为 x= 2. 由椭圆 E 的图形知∠ F1AF2 的角平分线所在直线的斜率为正数. 设 P(x , y) 为 ∠ F1AF2 的 角 平 分 线 所 在 直 线 上 任 一 点 , 则 |3x- 4y+ 6| = |x- 2|. 5 若 3x- 4y+ 6= 5x- 10,即 x+ 2y- 8= 0,其斜率为负,不合题 意,舍去. 于是 3x- 4y+ 6=- 5x+ 10,即 2x- y- 1= 0. 所以∠ F1AF2 的角平分线所在直线的方程为 2x- y- 1= 0.

第 20 讲 │ 教师备选习题
教师备选习题
(选题理由: 1,2 均为数形结合,很有代表性 ) 1.[2010· 黄冈卷] 方程 2sinθ= cosθ,θ∈ [0,2π)的根的个 数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

第 20 讲 │ 教师备选习题
【解析】 B 因为方程有根,故 cosθ>0,令 sinθ= x, (- 1≤x≤1),则问题转化为方程 2x= 1- x2的根的个数的 问题,记 C1:y= 2x,C2:y= 1- x2,则问题转化为两曲线 交点个数的问题. 在同一坐标系中画出它们的图象,如图所示,故选 B.

【点评】 方程根的个数与曲线交点的个数是相同的. 本 例先对数式换元转化,再进行数形转化,最后考查曲线交点 的个数.

第 20 讲 │ 教师备选习题
y 2.如果实数 x, y 满足等式 (x-2) +y =3,则x的最大 值是( ) 1 3 3 A. B. C. D. 3 2 3 2 y- 0 y- 0 y 【解析】 D 将 写成 的形式,这样 就可以看成 x x- 0 x- 0
2 2

是圆 (x- 2)2+ y2= 3 上任意一点到定点 (0,0)连线的斜率. 如图, 显然当连线与圆相切时取得最值,其中倾斜角为锐角的切线 斜率最大,为 3.

第 20 讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原 则: (1)等价性原则: 要注意由于所作的草图不能精确刻画数 量关系带来的负面效应; (2)双向性原则:即进行几何直观分析,又要进行相应的 代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分析容易失真; (3)简单性原则:不要为了“数形结合”而数形结合,而 取决于是否有效、简便和更易达到解决问题的目的.

第 20 讲 │ 规律技巧提炼

2.运用数形结合思想分析解决问题时要注意: (1)两个或两个以上的函数图象在同一个坐标系内时,必 须要考虑它们的相对位置关系, 否则极易出错. 例如方程 sin x = lgx 有多少个实数解?很多学生由图得只有 1 个解, 这是错 误的. (2)要熟记常见函数或曲线的形状和位置,画图要比较准 确.

第 21 讲 │ 分类讨论思想

第21讲 分类讨论思想

第 21 讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,同时也是一 种数学思想,这种思想对于简化研究对象,发展人的思维有 着重要的帮助,因此,有关分类讨论的数学命题在高考试题 中占有重要位置. 所谓分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研 究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分 别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题 的解答.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积 零为整”的数学策略.

第 21 讲 │ 主干知识整合

2.运用分类讨论思想解题的基本步骤: (1)明确讨论的对象:即对哪个参数进行讨论; (2) 对所讨论的对象进行合理分类 ( 分类时要做到不重 复、不遗漏、标准要统一、分层不越级); (3)逐类讨论:即对各类问题详细讨论,逐步解决; (4)归纳总结:将各类情况总结归纳.

第 21 讲 │ 主干知识整合

3.明确引起分类讨论的原因,有利于掌握用分类讨论的 思想方法解决问题,分类讨论的主要原因有: (1)由数学概念引起的分类讨论:如绝对值的定义、不等 式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的 倾斜角、两条直线所成的角等; (2)由数学运算要求引起的分类讨论:如除法运算中除数 不为零、偶次方根为非负、对数中真数与底数的要求、不等 式中两边同乘以一个正数、负数对不等号方向的影响等;

第 21 讲 │ 主干知识整合

(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论; (4)由图形的不确定性引起的分类讨论; (5)由参数的变化引起的分类讨论,某些含参数的问题, 由于参数的取值不同会导致所得结果不同, 或者由于不同的 参数值要运用不同的求解或证明方法; (6)其他根据实际问题具体分析进行分类讨论,如排列、 组合问题,应用问题等.

第 21 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 根据数学概念分类讨论

例 1 [2009· 广东卷 ] 已知二次函数 y= g(x)的导函数的图 象与直线 y= 2x 平行, 且 y= g(x)在 x=- 1 处取得极小值 m g? x? - 1(m≠ 0).设 f(x)= x . (1)若曲线 y= f(x)上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值 为 2,求 m 的值; (2)k(k∈ R)如何取值时,方程 f(x)- kx=0 有解,并求 出该方程的解.

第 21 讲 │ 要点热点探究

【解答】 (1)依题可设 g(x)=a(x+ 1)2+m- 1(a≠ 0), 则 g′ (x)=2a(x+ 1)= 2ax+2a, 又 g′ (x)的图象与直线 y= 2x 平行,∴ 2a= 2,a=1, ∴ g(x)= (x+ 1)2+m- 1= x2+2x+m, g? x? m f(x)= = x+ +2. x x ? m? ? 2 2 2 2 2 设 P(x0,y0),则 |PQ| =x0+ (y0-2) =x0+?x0+x ? ? ? 0? 2 m 2 = 2x0 + 2 + 2m≥ 2 2m2+ 2m= 2 2|m |+ 2m, x0

第 21 讲 │ 要点热点探究

2 m 2 当且仅当 2x2 = 时, | PQ | 取得最小值,即 |PQ|取得 2 0 x0

最小值 2. 当 m>0 时, ?2 2+2?m= 2,解得 m= 2-1; 当 m<0 时, ?-2 2+2?m= 2,解得 m=- 2-1.

第 21 讲 │ 要点热点探究

m (2)由 y= f(x)-kx= (1- k)x+ +2=0(x≠ 0), x 得 (1-k)x2+2x+m= 0 (*) m 当 k=1 时,方程(*)有一解 x=- ; 2 当 k≠1 时,方程(*)有两解?Δ=4-4m(1-k)>0, 1 1 当 m>0, k>1- 或者 m<0,k<1- 时, m m - 2± 4-4m?1-k? 方程 f(x)- kx=0 有两解 x= ; 2? 1- k?

第 21 讲 │ 要点热点探究
1 当 k≠1 时,方程 (*)有一解 ?Δ=4-4m(1-k)=0, k=1- , m 1 方程 f(x)-kx=0,有一解 x= =-m. k- 1 m 综上,当 k= 1 时,方程 f(x)-kx=0 有一解 x=- ; 2 1 1 当 k>1- (m >0),或 k<1- (m <0)时, m m -2± 4- 4m?1-k? 方程 f(x)-kx=0 有两解 x= ; 2? 1- k? 1 1 当 k=1- 时,方程 f(x)- kx=0 有一解 x= =-m. m k- 1

第 21 讲 │ 要点热点探究

【点评】 本题有两次运用了数学概念进行分类,一次 是根据绝对值的概念,另一次是根据一元二次方程的概念, 要注意的是不能见到形如 (*)式这样的方程就认定它是一元 二次方程,要根据系数是否为零进行分类探究.

第 21 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点二 根据公式、定理、性质的条件分类讨论

例 2 设等比数列 {an} 的公比为 q ,前 n 项和 Sn>0(n = 1,2,? ). (1)求 q 的取值范围; 3 (2)设 bn= an+ 2- an+ 1,记 {bn}的前 n 项和为 Tn,试比较 2 Sn 与 Tn 的大小. 【解析】 由于涉及等比数列的前 n 项和公式的应用,须分 q =1 和 q≠1 讨论.欲比较 Sn 与 Tn 的大小,只需求出 Sn 与 Tn 后,再用作差法比较.

第 21 讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)因为 {an}是等比数列, Sn>0,可得 a1= S1>0, q≠0. 当 q=1 时,Sn=na1>0; a 1 ? 1 - q n? 1- q n 当 q≠1 时,Sn= >0,即 >0, (n=1,2,?) 1- q 1- q
? ?1- q<0, 上式等价于不等式组:? n ? 1 - q <0, ? ? ?1- q>0, 或? n ? 1 - q >0, ?

(n= 1,2,? )①

(n=1,2,?)②

解①式得 q>1;解②,由于 n 可为奇数、可为偶数,得- 1<q<1. 综上, q 的取值范围是 (-1,0)∪ (0,+∞).

第 21 讲 │ 要点热点探究
? ? 3 ? 2 3 ? 2)由 bn=an+ 2- an+1,得 bn=an?q - q?, 2 ? 2 ? ? ? ? 2 3 ? Tn=?q - q?Sn. 2 ? ? ? ? ? 1? ? 2 3 ? ? 于是 Tn-Sn=Sn?q - q- 1?= Sn?q+ ? (q-2). 2 2? ? ? ? ? 又∵Sn>0,且-1<q<0 或 q>0, 1 ①当-1<q<- 或 q>2 时 Tn- Sn>0,即 Tn>Sn; 2 1 ②当- <q<2 且 q≠0 时,Tn- Sn<0,即 Tn<Sn; 2 1 ③当 q=- 或 q=2 时,Tn-Sn= 0,即 Tn=Sn. 2

第 21 讲 │ 要点热点探究
【点评】 该题中在使用等比数列的前 n 项和公式 Sn 时, 须分 q=1 和 q≠1 讨论,注意不要忽视 q=1 的情况.在第 3 (2)问中,抓住 bn=aa+ 2- an+ 1,利用等比数列的通项公式, 2 ? ? ? ? ? 2 3 ? ? 2 3 ? 巧妙地把 bn 转化成 bn=an?q - q?,Tn=?q - q?Sn.最后,作 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? 1? ? 2 3 ? ? 差比较 Sn 与 Tn, 即 Tn- Sn=Sn?q - q-1?=Sn?q+ ? (q-2), 2 2? ? ? ? ? 最后为确定差的符号,应对 q 进行分类讨论.一般地,在应 用带有限制条件的公式时要小心, 根据题目条件确定是否进 行分类讨论.

第 21 讲 │ 要点热点探究
求和 Sn=a+ a2+?+an=________. ?a ? 1 - a n ? ? , ? a≠ 1? , 1 - a Sn= ? ? ?n,?a=1?. 【解析】 当 a= 0 时, Sn= 0. 当 a≠ 0 时,此题为等比数列求和,
a? 1- an? ①若 a≠ 1 时,则由求和公式,得 Sn= ; 1- a ②若 a= 1 时, Sn= n. ?a ? 1 - a n ? ? , ? a≠ 1? , 综合可得, Sn= ? 1- a ? ?n, ?a= 1?.

第 21 讲 │ 要点热点探究

【点评】 由于等比数列定义本身有条件限制,等比数 列求和公式是分类给出的,因此, 应用等比数列求和公式时 也需要讨论.这里进行了两层分类:第一层分类的依据是等 比数列的概念,分为 a=0 和 a≠ 0;第二层分类依据是等比 数列求和公式的应用条件.

第 21 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点三 根据参数的变化情况分类讨论
1- a 例 3 [2010· 山东卷 ] 已知函数 f(x)=lnx-ax+ x -1(a ∈ R). (1)当 a=- 1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线 方程; 1 (2)当 a≤ 时,讨论 f(x)的单调性. 2

第 21 讲 │ 要点热点探究

2 【解答】 (1)当 a=- 1 时,f(x)=lnx+x+ -1,x∈ x 1 2 (0,+∞ ),所以 f′ (x)= +1- 2, x x 因此, f′(2)=1, 即曲线 y=f(x)在点(2, f(2))处的切线斜率为 1, 又 f(2)= ln2+2, 所以曲线 y= f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-(ln2 +2)=x-2,即 x-y+ ln2=0.

第 21 讲 │ 要点热点探究
1- a (2)因为 f(x)=lnx- ax+ - 1, x a- 1 ax2-x+1- a 1 所以 f′ (x)= -a+ 2 =- ,x∈ (0, x x x2 +∞ ). 令 g(x)=ax2-x+ 1-a, x∈(0,+∞ ), ①当 a=0 时,g(x)=- x+1, x∈(0,+∞ ), 所以当 x∈ (0,1)时,g(x)>0,此时 f′ (x)<0,函数 f(x) 在 (0,1)上单调递减; 当 x∈ (1,+∞)时,g(x)<0,此时函数 f′ (x)>0,函 数 f(x)在 (1,+∞ )上单调递增. ②当 a≠0 时,由 f′ (x)=0, 1 2 即 ax -x+ 1-a= 0,解得 x1=1,x2= - 1, a

第 21 讲 │ 要点热点探究
1 (i)当 a= 时,x1=x2,g(x)≥0 恒成立,此时 f′ (x)≤0, 2 函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减; 1 (ii) 当 0<a< 时, x1<x2 ,当 x ∈ (0,1) 时, g(x)>0 ,此时 2 ? ? 1 ? f′ (x)<0,函数 f(x)在 (0,1)上单调递减;当 x∈?1, -1? ?时, a ? ? ? ? 1 ? g(x)<0,此时 f′ (x)>0,函数 f(x)在?1, -1? ?上单调递增; x a ? ? ?1 ? ? ∈ ? -1,+∞? ? 时 , g(x)>0 , 此 时 f′ (x)<0 , 函 数 f(x) 在 ?a ? ?1 ? ? ? - 1 ,+∞ ?a ?上单调递减; ? ?

第 21 讲 │ 要点热点探究
1 (iii)当 a<0 时,由于 - 1<0,故 x1>x2, a 当 x∈ (0,1)时,g(x)>0,此时 f′ (x)<0,函数 f(x)在 (0,1) 上单调递减; x∈ (1,+∞)时, g(x)<0,此时函数 f′ (x)>0,函数 f(x) 在 (1,+∞ )上单调递增. 综上所述: 当 a≤ 0 时,函数 f(x)在 (0,1)上单调递减, 函数 f(x)在 (1,+∞ )上单调递增; 1 当 0<a< 时,函数 f(x)在 (0,1)上单调递减, 2 ? ? 1 ? 函数 f(x)在?1, - 1? ?上单调递增, a ? ?

第 21 讲 │ 要点热点探究
?1 ? ? f(x)在? -1,+∞ ? ?上单调递减; a ? ?

函数

1 当 a= 时,函数 f(x)在 (0,+∞)上单调递减. 2

【点评】 本题分类讨论的目的是为了判定导函数的符 号,正是因为 a 的不同取值对导函数的符号的影响,才决 定着必须进行分类讨论.讨论时要突出目的性、全面性、 准确性.

第 21 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点四 根据图形位置或形状变动分类讨论

例 4 [2010· 辽宁卷 ] 有四根长都为 2 的直铁条, 若再选两 根长都为 a 的直铁条, 使这六根铁条端点处相连能够焊接成 一个三棱锥形的铁架,则 a 的取值范围是 ( ) A. (0, 6+ 2) B. (1,2 2) D. (0,2 2)

C. ( 6- 2, 6+ 2)

第 21 讲 │ 要点热点探究

A 【解析】 根据条件,四根长为 2 的直铁条与两根长 为 a 的直铁条要组成三棱锥形的铁架,有以下两种情况: (1)底面是边长为 2 的正三角形,三条侧棱长为 2,a,a, 如图(1), 此时 a 可以取最大值, 可知 AD= 3, SD= a2-1, 则有 a2-1<2+ 3,即 a2<8+4 3= ( 6+ 2)2,即有 a< 6 + 2;

第 21 讲 │ 要点热点探究

(2)构成三棱锥的两条对角线长为 a,其他各边长为 2, 如图(2),此时 a>0 即可满足条件. 综上分析可知 a∈(0, 6+ 2).

【点评】 涉及几何问题时,由于几何元素的形状、 位置变化的不确定性,需要根据图形的特征进行分类讨 论.

第 21 讲 │ 要点热点探究

x2 y2 (1)已知椭圆 + =1 的两个焦点分别是 F1, F2, 25 9 P 是椭圆上的任意一点, 则使得三角形 PF1F2 是直角三角形 的点 P 的个数为( ) A.2 B.4 C.6 D.8

第 21 讲 │ 要点热点探究
(1)D 【解析】 按照直角三角形 PF1F2 的直角顶点的不 同情况分析研究. ①若 F1 为直角顶点,则这样的直角三角形一定存在,且 有两个,如图①. ②若 F2 为直角顶点,则这样的直角三角形一定存在,且 有两个,如图②. ③若 P 为直角顶点,若这样的 P 点存在,设其坐标为 (x, →1=(- 4-x,-y),PF →2 y),依题意 F1(-4,0),F2(4,0),于是PF → 1· →2=0,因此 x2+ = (4-x,-y),因为 P 为直角,所以PF PF
2 2 x y ? 2 2 ? + = 1, x y 2 y -16=0,又因为 + =1,所以?25 9 25 9 2 2 ? ?x +y -16=0,

第 21 讲 │ 要点热点探究
? 5 7 ?x=± 4 , 解得? 9 ?y=± , 4 ? 所以 P 点坐标为
?5 7 9? ? ? , ? 4 4? ? ?



?5 7 ? ? ? 9? 9? ? ? ? 5 7 9? ? 5 7 ? , , ,- - , - ,- ? 4 ? ? ? ? ?,故这样的直角三角 4 4 4 4 4 ? ? ? ? ? ?

形也存在,并且有 4 个,如图③. 综上所述,使得三角形 PF1F2 是直角三角形的点 P 的个 数为 8,选 D.

【点评】 本题考查了椭圆中的焦点三角形问题,其关键是 按照直角顶点的不同情况进行分类研究.

第 21 讲 │ 要点热点探究
(2)[2009· 上海卷 ] 过圆 C: ( x- 1)2+ ( y- 1)2= 1 的圆心, 作直线分别交 x、 y 正半轴于点 A、 B,△ AOB 被圆分成四部 分 (如图 7- 21- 1),若这四部分图形的面积满足 SⅠ + SⅣ = SⅡ + SⅢ ,则直线 AB 有 ( )

图 7- 21- 1 A. 0 条 C. 2 条 B. 1 条 D. 3 条

第 21 讲 │ 要点热点探究

B 【解析】 由已知,得 SⅣ- SⅡ = SⅢ- SⅠ,第Ⅱ, Ⅳ部分的面积是定值,所以 SⅣ-SⅡ为定值,即 SⅢ-SⅠ为 定值,当直线 AB 绕着圆心 C 移动时,只可能有一个位置 符合题意,即直线 AB 只有一条,故选 B.

第 21 讲 │ 要点热点探究

(3)[2009· 浙江卷] 设向量 a,b 满足 |a |=3,|b|= 4,a· b= 0.以 a,b,a-b 的模为边长构成三角形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为( ) A.3 B.4 C.5 D.6

第 21 讲 │ 要点热点探究

(3)

B

? 【解析】 因为? ?a- b?= 5,所以以 a,b,a- b 的

?

?

模为边长构成直角三角形; 对于半径为 1 的圆有一个位置正好 是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于圆的位置稍微右 移且再向下移,能实现 4 个交点的情况,如图,但 5 个以上的 交点不能实现.

第 21 讲 │ 教师备选习题
教师备选习题
(选题理由:避免分类讨论的几种方法. 1.消去参数,避免分类讨论;2.分离参数,避免分类 讨论 ) 1.已知 0<a<1,0<m≠ 1,比较 |logm(1- a)|与 |logm(1+ a)|的大小.

【解析】 若按常规解法去绝对值, 须分 0<m<1 和 m>1 两种情况讨论.但注意到两对数同底,可用作商比较法, 通过换底公式可消去参数 m, 这样可避免对参数 m 的分类 讨论.

第 21 讲 │ 教师备选习题
?log ?1- a? ? 1 m ? ? ? ? ? ? log ? 1 - a ? . ? 1+ a? ?= log(1+ a) ?log ?1+ a??= ? 1 - a m ? ?

【解答】

1 因为 1+ a>1,1+ a< , 1- a
?log ?1- a? ? 1 m ? ? 所以 log(1+ a) >1,即? ?>1. log ? 1 + a ? 1- a m ? ?

故 |logm(1- a)|>|logm(1+ a)|.

【点评】 若将题设条件改为-1<a<1,则必须对 a 进 行分类讨论:当 0<a<1 时,同上;当 a=0 时,|logm(1-a)| = |logm(1+ a)|;当- 1<a<0 时,同理得 |logm(1- a)|<|logm(1 +a)|.

第 21 讲 │ 教师备选习题

2.若不等式 x2-2mx+2m+ 1>0 对 |x|≤1 恒成立,求实 数 m 的取值范围.

【解析】 若设 f(m)= x2- 2mx+ 2m+ 1= (x- m)2- m2+ 2m + 1,由 |x|≤ 1 知,对 m 应分 m<- 1,- 1≤ m≤ 1, m>1 三种情 况讨论.若分离参数,则不用讨论.

第 21 讲 │ 教师备选习题
【解答】 原不等式等价于 2m(1- x)>- 1- x2.当 x= 1 时, - 1-x2 显然成立; 当 x≠1 时, 因为 |x|≤1, 所以 1- x>0, 则有 m> 2? 1- x? 恒成立,只需
2 2 ?- 1- x2? - 1 - x x +1 1 ? ? m> ? = =- max. 因 为 ? 2 2? 1- x? 2? x- 1? ? 2? 1- x? ?

? ? 2 1 ? ? 1 - x + - 2 ? ?≤- 2(2 1 - x ? ?

2- 2)= 1- 2,

?- 1- x2? 2 ? 当 1- x= ,即 x= 1- 2时取“=”,即? max= ? ? 1- x ? 2? 1- x? ?

1- 2,所以 m>1- 2.

第 21 讲 │ 教师备选习题

【点评】 对二次函数在闭区间上的最值问题,是最容 2 易引起“讨论”的.本题求解过程中,求 1-x+ 的最 1- x 小值时,要注意验证取等号的条件.

第 21 讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
分类讨论思想的本质上是“化整为零, 积零为整”. 用 分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程:明确讨论的 对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合 结论→检验分类是否完备 (即分类对象彼此交集为空集,并 集为全集 ).做到“确定对象的全体,明确分类的标准,分 类不重复、不遗漏”的分析讨论.

第 22 讲 │ 转化与划归思想

第22讲 转化与划归思想

第 22 讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
转化与化归的思想, 就是在研究和解决数学问题时采用 某种方式,借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问 题通过变换加以转化, 进而达到解决问题的思想. 等价转化 有一些模式可以遵循, 总是将抽象转化为具体, 化复杂为简 单 (高维向低维的转化,多元向一元的转化,高次向低次的 转化等 )、化未知为已知.在用化归方法解题时要求我们的 思维一定要有灵活性、多样性、联想性、开放性,通过变换 迅速而合理地寻找和选择解决问题的途径和方法.

第 22 讲 │ 主干知识整合

1. 化归的常用模式

第 22 讲 │ 主干知识整合
2. 常见的化归方法 (1)换元法:例如利用“换元”将无理式化为有理式,高次 问题化为低次问题; (2) 数形结合法:把形 (数 )转化为数 ( 形 ) ,数形互补、互换 获得问题的解题思路; (3)向量法 (复数法 ):把问题转化为向量 (复数 )问题; (4)参数法:通过引入参数,转化问题的形式,易于解决; (5)建模法:构造数学模型,把实际问题转化为数学问题或 把一类数学问题转化为另一类数学问题; (6)坐标法:以坐标为工具,实现“数”、“形”的对应、 转化;

第 22 讲 │ 主干知识整合
(7) 类比法:类比是根据两个对象或两类事物间存在着相同或不同 的属性,联想到另一类事物也可能具有某种属性的思想方法, 一般由特 殊向一般类比,抽象向具体类比,低维向高维类比,平行类比; (8) 特殊化法:将一般问题特殊化,从特殊问题的解决中,寻找一 般问题的解题策略; (9) 一般化方法:有时问题的本质特征可能被具体问题所掩盖,这 时应把特殊问题一般化,寻找解题思路; (10)加强命题法:即把命题结论加强为原命题的充分条件; (11)正与反的转化; (12)函数与方程、不等式之间的转化; (13)空间与平面之间的转化; (14)整体与局部的转化等等.

第 22 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 一般问题与特殊问题的化归

例 1 (1)[2010· 安徽卷 ] 设 {an}是任意等比数列,它的前 n 项 和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X,Y,Z,则下列等式中恒 成立的是 ( ) A . X+ Z= 2Y B . Y ( Y - X) = Z( Z- X) C. Y2= XZ D . Y ( Y - X) = X( Z- X)

第 22 讲 │ 要点热点探究

(1)D 【解析】 取等比数列 1,2,4,令 n=1,得 X=1, Y=3,Z=7 代入验算,只有选项 D 满足.

【点评】 对于含有较多字母的客观题,可以取满足条 件的数字代替字母,代入验证,若能排除 3 个选项,剩下唯 一正确的就一定正确,若不能完全排除,可以取其他数字验 证继续排除. 本题也可以用首项 a1、公比 q 和项数 n 表示代 入验证得结论.

第 22 讲 │ 要点热点探究

(2)在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(- sin A+ sin C x2 y2 4,0)和 C(4,0),顶点 B 在椭圆 + =1 上,则 = 25 9 sin B ________.

第 22 讲 │ 要点热点探究
5 (2) 【解析】 顶点 B 取椭圆短轴端点, 即 B(0,3), 则 sinA 4 3 4 24 B 3 B 4 B B =sinC=cos = , sin = , ∴sinB=2sin cos =2× × = , 2 5 2 5 2 2 5 5 25 sinA+sinC 5 ∴ = . sinB 4
【点评】 这里顶点 B 是椭圆上的动点,所以 sinA、sinB、 sinC 不易确定. 但根据“一般成立特殊一定成立”可将这个一 般性的问题转化为 B 点在特殊位置 (椭圆短轴端点 )来处理较 易. 像这种“特殊与一般的相互转化”在高考的选择题和填空 题中经常用到.当然,注意到 A、C 是两焦点,利用正弦定理, 进行数形转化也能取得很好的效果.

第 22 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点二 正向思维与逆向思维的化归

例 2 若二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+ 1 在 区间[- 1,1]内至少存在一个值 c 使得 f(c)>0,求实数 p 的取值范围.

第 22 讲 │ 要点热点探究

【解答】 如果在 [-1,1]内没有值满足 f(c)>0, 1 ? ? ?p≤-2或 p≥ 1, ?f?- 1?≤ 0, 则? ?? ? ?f?1?≤ 0, ?p≤- 3或 p≥3, 2 ? 3 ? p≤-3 或 p≥ ,取补集 2

3 为- 3<p< ,即为满足条件的 p 的取值范围. 2

【点评】 在处理某一问题时,按习惯思维从正面思考比 较困难,这时用逆向思维的方式从反面去考虑,往往使问题 变得比较简单.

第 22 讲 │ 要点热点探究

甲、乙二人依次从标有 1,2,3,?,9 的九张卡 片中不放回地抽取一张卡片,则甲、乙二人至少抽到 一张奇数数字卡片的概率是________.

第 22 讲 │ 要点热点探究

5 【解析】 设甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的 6 概率为 P,则甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的对立事 件为甲、乙二人均抽到标有偶数数字的卡片,设为 P ,则 P= A2 5 4 1- P =1- 2= . A9 6

【点评】 正难则反,利用补集求得其解,这就是补集思 想,充分体现对立统一、相互转化的思想方法.一般地,题 目若出现多种成立的情形,则不成立的情形相对很少,从反 面考虑较简单, 因此, 间接法多用于含有“至多”、 “至少” 情形的问题中.

第 22 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点三 抽象问题与具体问题的化归

(

e4 e5 e6 例 3 , , (其中 e 为自然常数 )的大小关系是 16 25 36 ) e4 e5 e6 e6 e5 e4 A. < < B. < < 16 25 36 36 25 16 e5 e4 e6 e6 e4 e5 C. < < D. < < 25 16 36 36 16 25

第 22 讲 │ 要点热点探究

e4 e4 e5 e5 e6 e6 A 【解析】 由于 = 2, = 2, = 2,故可构造函 16 4 25 5 36 6 ex e4 e5 e6 数 f(x)= 2,于是 f(4)= , f(5)= ,f(6)= . x 16 25 36 x 2 x x 2 ?e x ? e · x - e · 2 x e ? x - 2x? ? ? 而 f′(x)=? 2?′= = , 4 4 x x x ? ? 令 f′ (x)>0 得 x<0 或 x>2,即函数 f(x)在 (2,+∞ )上单 e4 e5 e6 调递增,因此有 f(4)<f(5)<f(6),即 < < ,故选 A. 16 25 36

第 22 讲 │ 要点热点探究

【点评】 本题结合函数思想,把问题化归为函数 f(x) ex = 2的单调性问题,体现了化归的一般化策略,一般化策 x 略不仅有助于命题的推广,而且是化归的重要途径.如果 放宽眼界,使问题中的某些因素或结构形式一般化,借助 于一般化的结论或一般化的方法,将有助于特殊问题的解 决.

第 22 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点四 命题与等价命题的化归

例 4 设 f(x)=2cos2x+cosx- 1(0<x<π),若方程 f(x)=k(cosx- 2)中的 cosx 有一正一负两个值, 求实 数 k 的取值范围.

第 22 讲 │ 要点热点探究

【解答】 令 cosx=t,t∈(- 1,1),则由 f(x)= k(cosx-2), 得 2t2+(1-k)t+2k- 1=0, (1) 方程 f(x)= k(cosx-2)中的 cosx 有一正一负两个值, 等价于关于 t 的方程 (1)在 t∈(- 1,1)中有两根异号. 设 g(t)=2t2+(1-k)t+ 2k- 1, ?g?0?<0, ? 则原问题又等价于?g?-1?>0, ?g?1?>0, ? 1 由此可得 0<k< . 2

第 22 讲 │ 要点热点探究

【点评】 根据问题的特点转化命题,将未知的问题向 已知的知识转化,并使未知和已知的知识发生联系,使之 能用熟悉的知识和方法解决新的问题,是解决数学问题的 常用思路.例如要求空间两条异面直线所成的角,只需通 过作平行线转化成大家所熟悉的两相交直线所成的角.又 如复杂的三角函数的最值问题有时也可以通过换元转化为 熟悉的二次函数最值问题,再如还可以用三角法解决几何 量的最值问题等等.

第 22 讲 │ 要点热点探究

如图 7- 22- 1 所示,在等边三角形 ABC 中, AB= a, 1 1 O 为中心,过 O 的直线交 AB 于 M,交 AC 于 N,求 + OM2 ON2 的最大值和最小值.

图 7- 22- 1

第 22 讲 │ 要点热点探究
3 解答】 由于 O 为正三角形 ABC 的中心,所以 AO= a, 3 π ∠MAO=∠ NAO= , 6 π 2π 设∠ MOA= α,则 ≤ α≤ . 3 3 在△ AOM 中,由正弦定理,得 OM OA = ? , ? ?? π sin∠MAO ? ?? α + sin? π - ? ? ? 6? ? ?? ? 得 OM=
? ?. π ? α + 6sin? ? 6? ? ?

3a

第 22 讲 │ 要点热点探究
在△AON 中,由正弦定理,得 ON=
? ?, π ? α - 6sin? ? 6? ? ? ? ? ? π? π? 1 1 12? ? ? ?? 2? 2? 所以 + = sin ?α+ ?+sin ?α- ?? 6? 6 ?? OM2 ON2 a2 ? ? ? ? ? 12? ?1 2 ? = 2 ? +sin α?. a ?2 ?

3a

π 2π 3 ∵ ≤ α≤ ,∴ ≤ sin2α≤1. 3 3 4 π 1 1 18 故当 α= 时, 2+ 2 取得最大值 2 ; 2 OM ON a π 2π 1 1 15 当 α= 或 时,此时 + 取得最小值 2 . 3 3 OM2 ON2 a

第 22 讲 │ 要点热点探究

【点评】 将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的 基本问题,是应用化归思想的灵魂,要求必须做到转化有 目标、转化有桥梁、转化有效果.本题将 OM, ON 利用 正弦定理转化为 α 的三角函数式,注意 α 的隐含范围.

第 22 讲 │ 教师备选习题
教师备选习题
(选题理由:1.实际问题化为数学问题;2.补集思想;3. 等价转化思想 ) 1. [2009· 湖北卷] 如图, 卫星和地面之间的电视信号沿 直线传播,电视信号能够传送到达的地面区域,称为这个 卫星的覆盖区域.为了转播 2008 年北京奥运会,我国发射 了“中星九号”广播电视直播卫星,它离地球表面的距离 约为 36000km.已知地球半径约为 6400km, 则“中星九号” 覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 ________km.(结果中保留反余弦的符号 ).

第 22 讲 │ 教师备选习题
8 【答案】 12800arccos 53 【解析】 如图所示, 可得 AO= 42400, 则在 Rt△ ABO 8 中可得 cos∠ AOB= . 53 8 所以 l= α· R= 2∠ AOB· R= 12800arccos . 53

第 22 讲 │ 教师备选习题

2.若下列方程: x2+4ax- 4a+ 3= 0, x2+ (a- 1)x+ a2 =0, x2+2ax-2a= 0 中至少有一个方程有实根,试求实数 a 的取值范围.

【解答】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情 况是: 三个方程均没有实根. 先求出反面情况时 a 的范围, 取所得范围的补集就是正面情况的答案.

第 22 讲 │ 教师备选习题
?Δ1= 16a2- 4?- 4a+ 3?<0, ? 2 2 Δ = ? a - 1 ? - 4 a <0, ? 设三个方程均无实根,则有 2 ?Δ = 4a2- 4?- 2a?<0. ? 3 1 ? 3 ?-2<a<2, ? 1 解得? ?a<- 1或a>3, ? ?- 2<a<0.

3 即- <a<- 1. 2

3 所以当 a≥- 1 或 a≤- 时,三个方程至少有一个方程有 2 实根.

第 22 讲 │ 教师备选习题

【点评】 对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算 较难的问题,可先攻其反面,从而使正面问题得以解决.

第 22 讲 │ 教师备选习题

3.已知 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数,且 f(x)在 [0,+∞ )上是增函数.是否存在实数 m,使 f(cos2θ- 3)+ ? π? f(4m- 2mcosθ)>f(0)对所有的 θ∈ ?0, 2 ?均成立?若存在, 求 ? ? 出适合条件的实数 m;若不存在,请说明理由.

第 22 讲 │ 教师备选习题

【解答】 由 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数可得 f(0)= 0,又 f(x)在 [0,+ ∞)上是增函数,所以 f(x)在实数 集 R 上是增函数. 要使 f(cos2θ- 3)+ f(4m- 2mcosθ)>f(0)对所有的 θ∈ ? π? ? ? 0 , ? ? 均 成 立, 只需 f(cos2θ - 3)>f(2m cosθ - 4m ) 对 θ ∈ 2 ? ? ? π? ? ? 0 , 恒成立.又 f(x)在实数集 R 上是增函数,所以 ? 2? ? ? cos2θ- 3>2mcosθ- 4m,即 cos2θ-mcosθ+ 2m- 2>0 ? π? ? 对 θ∈?0, ? ?恒成立. 2 ? ?

第 22 讲 │ 教师备选习题
? π? ? cosθ= t,θ∈ ?0, ? ?,则 2 ? ?



t∈ [0,1],所以问题转化为对

一切 的 t ∈ [0,1] , 不等 式 t2 - mt + 2m - 2>0 恒 成立.即 t2- 2 t2- 2 t2- 2 m> 对 t∈ [0,1]恒成立,设 f(t)= ,则 f(t)= = t- 2 t- 2 t- 2 2 (t- 2)+ + 4≤ 4- 2 2 ,当且仅当 t= 2- 2时等号 t- 2 成立.所以 m>4-2 2,所以存在实数 m 且 m>4- 2 2, 使 f(cos2θ - 3) + f(4m - 2mcosθ)>f(0) 对 所 有 的 θ ∈ ? π? ? ? 0 , ? ?均成立. 2 ? ?

第 22 讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是 转化的基础;丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是 实现转化的桥梁;培养训练自己自觉地化归与转化意识需要 对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总 结和提炼,要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联 系.“抓基础,重转化”是学好中学数学的金钥匙. 2.化归应遵循五个原则: (1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利 于我们运用熟悉的知识、经验和问题来解决;

第 22 讲 │ 规律技巧提炼
(2) 简单化原则:将复杂问题化归为简单问题,通过对简 单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的 启示和依据; (3) 和谐化原则:化归问题的条件或结论,使其表现形式 更符合数与形内部所表示和谐统一的形式,或者转化命题,使 其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律; (4) 直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问 题来解决; (5) 正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑 问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解.


更多相关标签: