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2015-2016高中数学 2.2.1直线与平面平行、平面与平面平行的判定课件 新人教A版必修2_图文

2.2.1

直线与平面平行、平面与平面平行的判定

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1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的 判定定理的含义. 2.能运用直线与平面平行的判定定理、平面 与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系 的简单问题. 3.了解空间与平面相互转换的数学思想.

典 例 精 析

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题型一

直线与平面平行判定的应用

例 1 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB,在 AE,BD 上各有一点 P,Q,且 AP=DQ. 求证:PQ∥平面 BCE.
栏 分析:可用两种方法:①证明线面平行,可用线面平行的判定定理.②线面 目 链 接

平行可以转化为线线平行,而线线平行可通过“线段对应成比例”得到.连 接 AQ 并延长交 BC 于 K,连接 EK,只需证出 AP AQ = 即可. PE QK

证明: 证法一 如图所示, 作 PM∥AB 交 BE 于 M, 作 QN∥AB 交 BC 于 N,连接 MN. ∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB, ∴AE=BD. 又∵AP=DQ,∴PE=QB. 又∵PM∥AB∥QN, ∴ PM PE QN BQ = , = . AB AE DC BD
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∴PM 綊 QN. ∴四边形 PMNQ 是平行四边形. ∴PQ∥MN. 又 MN?平面 BCE, PQ?平面 BCE,∴PQ∥平面 BCE.

证法二 如图,连接 AQ 并延长交 BC 于 K,连接 EK. AQ QD 在△AQD 和△BQK 中,由△AQD∽△BQK,得 = . QK BQ ∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB, ∴其对角线 AE=BD. 又 AP=DQ, ∴PE=BQ. ∴ QD AP AQ AP = ,因此 = . BQ PE QK PE
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∴PQ∥EK.又 PQ?平面 BEC,EK?平面 BEC, ∴PQ∥平面 BEC. 点评:证法一可称为“平行四边形法”,证法二可称为“三角形中的 比例线段法”,都是证明线面平行时常用的方法.

?跟踪训练 1.P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q 是PA的中点,求证:PC∥平面BDQ. 证明:如图所示,连接AC,BD交于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=OC,连接OQ, 则OQ在平面BDQ内,OQ是△APC的中位线, ∴PC∥OQ.∵PC在平面BDQ外,OQ?平面 BDQ ∴PC∥平面BDQ.
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题型二 应用

平面与平面平行判定定理的

例2 在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,E,F,N 分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点.求证: (1)E,F,B,D四点共面; (2)平面MAN∥平面EFDB.
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证明:如图,(1)连接B1D1, ∵E,F分别是边B1C1,C1D1的中点, ∴EF∥B1D1,而BD∥B1D1,∴BD∥EF,

∴E,F,B,D四点共面.
(2)易知MN∥B1D1,B1D1∥BD,∴MN∥BD, 又MN?平面EFDB,BD?平面EFDB, ∴MN∥平面EFDB.连接DF,MF, ∵M,F分别是A1B1,C1D1的中点,
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∴MF∥A1D1,MF=A1D1,
∴MF∥AD,MF=AD, ∴四边形ADFM是平行四边形,

∴AM∥DF. 又AM?平面BDFE,DF?平面BDFE, ∴AM∥平面BDFE. 又∵AM∩MN=M, ∴平面MAN∥平面EFDB. 点评:判定两个平面平行与判定线面平行一样, 应遵循先找后作的原则,即先在一个面内找到两 条与另一个面平行的相交直线,若找不到再引辅 助线.
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?跟踪训练 2.在正三棱柱ABCA1B1C1中,D,D1分别为AC,A1C1的中 点.求证:平面AB1D1∥平面C1BD. 证明:连接BD,C1D, ∵D,D1分别为AC,A1C1的中点,

∴AD綊C1D1,
∴四边形ADC1D1为平行四边形. 则AD1∥C1D. 又∵AD1?平面AB1D1,C1D?平面AB1D1, ∴C1D∥平面AB1D1

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同理:BD∥平面AB1D1,BD∩C1D=D
∴平面AB1D1∥平面C1BD∴平面AB1D1∥平面C1BD.

题型三 应用

线面平行、面面平行的综合

例3 如图所示,B为△ACD所在平面外一点,点M, N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心.

(1)求证:平面MNG∥平面ACD;
(2)求S△MNG∶S△ACD.

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(1)证明:如图,连接 BM,BN,BG 并延长分别交 AC,AD, CD 于 P,F,H 三点, ∵M,N,G 分别是△ABC,△ABD,△BCD 的重心, BM BN BG ∴ = = =2, MP NF GH 连接 PF,FH,PH,有 MN∥PF. 又 PF?平面 ACD,MN?平面 ACD, ∴MN∥平面 ACD. 同理 MG∥平面 ACD, 又 MG∩MN=M, ∴平面 MNG∥平面 ACD.
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MG BG 2 (2)解析:由(1)可知 = = , PH BH 3 2 ∴MG= PH. 3 1 又 PH= AD, 2 1 ∴MG= AD. 3 1 1 同理 NG= AC, MN= CD, 3 3 ∴△MNG∽△DCA, ∴S△MNG∶S△ACD= (NG∶AC)2=(1∶3)2=1∶9.
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点评:

这种面面平行、线面平行、线线平行的相互转化, 是处理平行问题的基本思想方法.

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3.如图,已知点S是正三角形ABC所在平面 外的一点,且SA=SB=SC,SG为△SAB的高, D,E,F分别是AC,BC,SC的中点.求证: SG∥平面DEF. 证明:∵EF为△SBC的中位线,
∴EF∥SB, ∵EF?平面SAB,SB?平面SAB. ∴EF∥平面SAB. 同理,DF∥平面SAB,EF∩DF=F, ∴平面SAB∥平面DEF, 又∵SG?平面SAB,∴SG∥平面DEF.
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