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与名师对话2019届高三数学(文)一轮课时跟踪训练:第九章 平面解析几何 课时跟踪训练49含解析


课时跟踪训练(四十九)
[基础巩固] 一、选择题 1.中心在坐标原点的椭圆,焦点在 x 轴上,焦距为 4,离心率 2 为 2 ,则该椭圆的方程为( x2 y2 A.16+12=1 x2 y2 C.12+ 4 =1 ) x2 y2 B.12+ 8 =1 x2 y2 D. 8 + 4 =1

c 2 2 [解析] 因为焦距为 4,所以 c=2,离心率 e=a=a= 2 ,∴a =2 2,b2=a2-c2=4,故选 D. [答案] D x2 y2 x2 y2 2.曲线25+ 9 =1 与曲线 + =1(k<9)的( 25-k 9-k A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 [解析] c2=25-k-(9-k)=16,所以 c=4,所以两条曲线的焦 距相等. [答案] D 3.(2018· 河南开封开学考试)若方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴 上的椭圆,则实数 k 的取值范围是( A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) x2 y2 [解析] ∵方程 x +ky =2,即 2 + 2 =1 表示焦点在 y 轴上的椭 k
2 2

)

)

2 圆,∴k>2,故 0<k<1,故选 D. [答案] D x2 2 4.(2017· 吉林长春外国语学校期末)椭圆 2 +y =1 的两个焦点分 → → 别是 F1, F2, 点 P 是椭圆上任意一点, 则PF1· PF2的取值范围是( A.[-1,1] C.[0,1] B.[-1,0] D.[-1,2] )

→ [解析] 由椭圆方程得 F1(-1,0), F2(1,0), 设 P(x, y), ∴PF1=(- → → → x2 2 2 1-x,-y),PF2=(1-x,-y),则PF1· PF2=x +y -1= 2 ∈[0,1], 故选 C. [答案] C x2 y2 5.(2017· 湖北孝感七校联盟期末)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0) 的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B 两点,连接 AF,BF. 4 若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=5,则 C 的离心率为( 3 5 4 6 A.5 B.7 C.5 D.7 )

82+102-x2 4 [解析] 如图,设|AF|=x,则 cos∠ABF= = .解得 x 2×8×10 5 =6,∴∠AFB=90° ,由椭圆及直线关于原点对称可知 |AF1|=8,∠ FAF1=∠FAB+∠FBA=90° ,△FAF1 是直角三角形,所以|F1F|=10,

故 2a=8+6=14,2c=10, c 5 ∴a=7. [答案] B 6. (2017· 上海崇明一模)如图, 已知椭圆 C 的中心为原点 O, F(- 2 5,0)为 C 的左焦点,P 为 C 上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=4, 则椭圆 C 的方程为( )

x2 y2 A.25+ 5 =1 x2 y2 C.36+16=1

x2 y2 B.30+10=1 x2 y2 D.45+25=1

x2 y2 [解析] 依题意, 设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0), 右焦点为 F′, 连接 PF′. 由已知,半焦距 c=2 5.又由|OP|=|OF|=|OF′|,知∠FPF′= 90° . 在 Rt△PFF′中,|PF′|= |FF′|2-|PF|2= ?4 5?2-42=8.由 椭圆的定义可知 2a=|PF|+|PF′|=4+8=12,所以 a=6,于是 b2=

x2 y2 a -c =6 -(2 5) =16,故所求椭圆方程为36+16=1,故选 C.
2 2 2 2

[答案] C 二、填空题 x2 y2 7. (2018· 北京朝阳模拟)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0),若椭圆短轴的两个三等分点 M,N 与 F 构成正三角形,则此 椭圆的方程为__________. 3 3 2 [解析] 由△FMN 为正三角形,得 c=|OF|= 2 |MN|= 2 ×3b= x2 y2 1.解得 b= 3,∴a =b +c =4.故椭圆的方程为 4 + 3 =1.
2 2 2

x2 y2 [答案] 4 + 3 =1 x2 y2 8. (2018· 湖北武汉十六中月考)一个圆经过椭圆16+ 4 =1 的三个 顶点,且圆心在 x 轴上,则该圆的标准方程为__________. x 2 y2 [解析] 由16+ 4 =1 可知椭圆的右顶点坐标为(4,0), 上、 下顶点 坐标为(0,± 2). x2 y2 ∵圆经过椭圆16+ 4 =1 的三个顶点,且圆心在 x 轴上, ∴①当圆经过椭圆右顶点及短轴两端点时, 3 设圆的圆心为(x,0),则 x2+4=4-x,解得 x=2,∴圆的半径为 5 2, 3? ? 25 所求圆的方程为?x-2?2+y2= 4 .
? ?

②当圆经过椭圆左顶点及短轴两端点时,

3? ? 25 同理可得圆的方程为?x+2?2+y2= 4 .
? ? ? 3?2 25 ? +y2= [答案] ?x± 4 ? 2?

x2 y2 9.从椭圆a2+b2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左 焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交 点,且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是________. [解析 ]
2

由已知,点 P(- c, y) 在椭圆上,代入椭圆方程,得
2

b? ? b b P?-c, a ?.∵AB∥OP,∴kAB=kOP,即-a=-ac,则 b=c,∴a2= ? ? c 2 2 b2+c2=2c2,则a= 2 ,即该椭圆的离心率是 2 . [答案] 2 2

三、解答题 10.(2017· 湖南长沙望城一中第三次调研)P 为圆 A:(x+1)2+y2 =8 上的动点,点 B(1,0).线段 PB 的垂直平分线与半径 PA 相交于点 M,记点 M 的轨迹为 Γ. (1)求曲线 Γ 的方程; 2 2 (2)当点 P 在第一象限,且 cos∠BAP= 3 时,求点 M 的坐标. [解] (1)圆 A 的圆心为 A(-1,0),半径等于 2 2. 由已知得|MB|=|MP|,所以|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2 2, 故曲线 Γ 是以 A,B 为焦点,以 2 2为长轴长的椭圆,设 Γ 的方 x2 y2 程为a2+b2=1(a>b>0),a= 2,c=1,b=1, x2 2 所以曲线 Γ 的方程为 2 +y =1.

?5 2 2? 2 2 ?. (2)由点 P 在第一象限, cos∠BAP= 3 , |AP|=2 2, 得 P? , 3 ? ?3

2 于是直线 AP 的方程为 y= 4 (x+1). 代入椭圆方程,消去 y,可得 5x2+2x-7=0,即(5x+7)(x-1)=0. 7 所以 x1=1,x2=-5.因为点 M 在线段 AP 上, 所以点 M 的坐标为?1,
? ?

2? ?. 2? [能力提升]

x 2 y2 11.已知 F1,F2 分别是椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点, 若椭圆 C 上存在点 P, 使得线段 PF1 的中垂线恰好经过焦点 F2, 则椭 圆 C 离心率的取值范围是(
?2 ? A.?3,1? ? ? ?1 ? C.?3,1? ? ?

)
?1 2? B.? , ? 2? ?3

1? ? D.?0,3?
? ?

[解析] 如图所示, ∵线段 PF1 的中垂线经过 F2, ∴PF2=F1F2=2c,即椭圆上存在一点 P,使得 PF2=2c. c ?1 ? ∴a-c≤2c≤a+c.∴e=a∈?3,1?.故选 C.
? ?

[答案] C 12.如图,椭圆的中心在坐标原点 O,顶点分别是 A1,A2,B1, B2,焦点分别为 F1,F2,延长 B1F2 与 A2B2 交于 P 点,若∠B1PA2 为 钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为( )

A.?0,
?

?

5+1? ? 4 ? ,1?
? ?

B.?
? ? ?

? 5+1

4

C.?0, D.?
?

5-1? ? 2 ? ,1?
? ?

? 5-1

2

x2 y2 [解析] 设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0),∠B1PA2 为钝角可转 → → 化为B2A2,F2B1所夹的角为钝角,则(a,-b)· (-c,-b)<0,得 b2<ac, 5-1 - 5-1 ? c? c 即 a2-c2<ac, 故?a?2+a-1>0, 即 e2+e-1>0, e> 2 或 e< , 2 ? ? 又 0<e<1,∴ [答案] D x2 y2 13. (2017· 江苏镇江期末)已知椭圆m+ n =1(m, n 为常数, m>n>0) 的左、 右焦点分别为 F1, F2, P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点, 5-1 2 <e<1.

→ → 则PF1· PF2=________.
2 2 [解析] 由题知 F1(-c,0),F2(c,0),设 P(x0,y0),则 x0 +y2 0=b ,

→ → 2 2 ∴PF1· PF2=(-c-x0,-y0)· (c-x0,-y0)=x0 +y0 -c2=b2-c2=n- (m-n)=2n-m. [答案] 2n-m x2 y2 14. (2018· 云南保山期末)椭圆a2+b2=1(a>b>0)的一个焦点为 F1, 若椭圆上存在一个点 P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段 PF1 相切 于该线段的中点,则椭圆的离心率为________.

[解析] 设⊙O 与 PF1 切于点 M,连接 PF2,OM.因为 M 为 PF1 1 的中点, 所以 OM 綊2PF2, 得|PF2|=2b, 又|PF1|+|PF2|=2a, 所以|PF1| =2a-2b,|MF1|=a-b.在 Rt△OMF1 中,由|OM|2+|MF1|2=|OF1|2, 3 5 得 b2+(a-b)2=c2.所以 b2+(a-b)2=a2-b2,得 a=2b,c= 2 b,所 c 5 以 e=a= 3 . [答案] 5 3

x2 y2 15.已知椭圆a2+b2=1(a>b>0),F1,F2 分别为椭圆的左、右焦 点,A 为椭圆的上顶点,直线 AF2 交椭圆于另一点 B. (1)若∠F1AB=90° ,求椭圆的离心率.

→ → → → 3 (2)若AF2=2F2B,AF1· AB=2,求椭圆的方程. [解] (1)若∠F1AB=90° ,则△AOF2 为等腰直角三角形,所以有 OA=OF2,即 b=c. c 2 所以 a= 2c,e=a= 2 . (2)由题知 A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中 c= a2-b2,设 B(x, y). → → 由AF2=2F2B,得(c,-b)=2(x-c,y), 3c b 解得 x= 2 ,y=-2, b? ?3c 即 B? 2 ,-2?.
? ?

9 2 b2 4c 4 x2 y2 9 c2 1 将 B 点坐标代入a2+b2=1,得 a2 +b2=1,即4a2+4=1,解得 a2=3c2①. → → 3b? 3 ?3c ? ,- ?= , 又由AF1· AB=(-c,-b)· 2 2 2
? ?

得 b2-c2=1,即有 a2-2c2=1② 由①②解得 c2=1,a2=3,从而有 b2=2. x2 y2 所以椭圆的方程为 3 + 2 =1. x2 y2 16. (2017· 贵州遵义模拟)设 F1, F2 分别是椭圆 C: a2+b2=1(a>b>0) 的左、右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的 另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为4,求 C 的离心率;

(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b. [解] (1)∵M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,∴M 的横坐标为 c. b2? ? b2 3 ? 当 x=c 时,y=±a ,由直线 MN 的斜率为4,得 M c, a ?,即 tan ? ? b2 a b2 3 3 3 ∠MF1F2=2c=2ac=4,即 b2=2ac=a2-c2,即 c2+2ac-a2=0,则 3 1 e2+2e-1=0,即 2e2+3e-2=0,解得 e=2或 e=-2(舍去),即 e 1 =2. (2)由题意,原点 O 是 F1F2 的中点,则直线 MF1 与 y 轴的交点
2 c2 y0 b4 2 D(0,2)是线段 MF1 的中点, 设 M(c, y0)(y0>0), 则a2+b2=1, 即 y0=a2,

b2 解得 y0= a . b2 ∵OD 是△MF1F2 的中位线,∴ a =4,即 b2=4a, 由|MN|=5|F1N|, → → 得|MF1|=4|F1N|,解得|DF1|=2|F1N|,即DF1=2F1N. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则(-c,-2)=2(x1+c,y1).

?x1=- c, ? ?2?x1+c?=-c, 2 ? 即 解得? ? 2 y =- 2 , ? 1 ?y1=-1,
=1,

3

9 c2 1 代入椭圆方程得4a2+b2

9?a2-4a? 1 将 b =4a 代入得 4a2 +4a=1,解得 a=7,b=2 7.
2

[延伸拓展]

1.(2017· 石家庄质检)已知两定点 A(-2,0)和 B(2,0),动点 P(x, y)在直线 l:y=x+3 上移动,椭圆 C 以 A,B 为焦点且经过点 P,则 椭圆 C 的离心率的最大值为( )

26 2 26 2 13 4 13 A. 13 B. 13 C. 13 D. 13 [解析] y1 设 点 A 关 于 直 线 l 的 对 称 点 为 A1(x1 , y1) , 则 有

?x +2=-1, ?y x -2 ? 2 = 2 +3,
1 1 1

解得 x1=-3,y1=1,

易知|PA|+|PB|的最小值等于|A1B|= 26,因此椭圆 |AB| 4 2 26 C 的离心率 e= = 的最大值为 13 . |PA|+|PB| |PA|+|PB| [答案] B 2.(2017· 上海虹口一模)一个底面半径为 2 的圆柱被与其底面所 成角是 60° 的平面所截,截面得一个椭圆,则该椭圆的焦距等于 ________.

[解析] ∵底面半径为 2 的圆柱被与底面成 60° 的平面所截,其 2 截面是一个椭圆,∴这个椭圆的短半轴长为 2,长半轴长为cos60° = 4.∵a2=b2+c2,∴c= 42-22=2 3,∴椭圆的焦距为 4 3. [答案] 4 3


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