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2015-2016学年高中数学 第三章 三角恒等变换本章小结 新人教A版必修4

【金版学案】 2015-2016 学年高中数学 第三章 三角恒等变换本章小 结 新人教 A 版必修 4

?专题归纳 对于三角函数求值主要有三种类型, 即“给角求值”、 “给值求值”、 “给值求角”. 三 种形式的题目本质上都是“给值求值” ,只不过往往求出的值是特殊角的值,在求出角之前 还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨论角的范围. ?例题分析 12 ? π 3π ? ? π? ?π ? 3 ?5 ? 例 1 已知 α ∈? , ?,β ∈?0, ?,且 cos? -α ?= ,sin? π +β ?=- , 4 4 4 4 4 13 ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 求 cos(α +β ).

?π ? 分析:由已知条件要求 cos(α +β ),应注意到角之间的关系,α +β =? +β ?- ?4 ? ?π -α ?,可应用两角差的余弦公式求得. ?4 ? ? ?
1

π? ?π 3π ? ? 3π 解析:由已知 α ∈? , ?得-α ∈?- ,- ?, 4 ? 4? ?4 ? 4 ∴ π ? π ? -α ∈?- ,0?. 4 ? 2 ?

又 cos?

?π -α ?=3,∴sin?π -α ?=-4. ? 5 ?4 ? 5 ?4 ? ? ?

? π? π ?π π ? 由 β ∈?0, ?得 +β ∈? , ?, 4? 4 ? ?4 2? ?5 ? ? ?π ?? 又 ∵sin? π +β ?=sin?π +? +β ?? ?4 ? ? ?4 ??
12 ?π ? ?π ? 12 =-sin? +β ?=- ,∴sin? +β ?= , 13 ?4 ? ?4 ? 13

?π ? 5 ?π ? ?π ? ∴cos? +β ?= .由? +β ?-? -α ?=α +β ,得 ?4 ? 13 ? 4 ? ?4 ?
cos(α +β

?π ? ?π ?? )=cos? ?? 4 +β ?-? 4 -α ?? ?? ? ? ??

?π ? ?π ? ?π ? ?π ? =cos? +β ?·cos? -α ?+sin? +β ?·sin? -α ? 4 4 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ?
= 5 3 12 ? 4? 33 × + ×?- ?=- . 13 5 13 ? 5? 65

点评: 三角变换是解决已知三角函数值求三角函数值这类题型的关键. 所谓变换是指函 数名称类型的变换及角的变换,两种变换相辅相成,互相利用. π π α 2α 例 2 已知 0<α < ,0<β < ,且 3sin β =sin(2α +β ),4tan =1-tan ,求 4 4 2 2 α +β 的值. 分析:本题主要考查三角函数式的恒等变形及已知三角函数值求角,因为 2α +β =α +(α +β ),β =(α +β )-α ,可先将条件式 3sin β =sin(2α +β )展开后求 α +β 的正切值. 解析:∵3sin β =sin(2α +β ), 即 3sin(α +β -α

)=sin(α

+β +α ),

整理得 2sin(α +β )cos α =4cos(α +β )sin α . 即 tan(α +β )=2tan α . α 2tan 2 α α 1 2 又∵4tan =1-tan ,∴tan α = = , 2 2 2 2α 1-tan 2 1 tan(α +β )=2tan α =2× =1. 2
2

π ? π? 又∵α +β ∈?0, ?,∴α +β = . 2? 4 ? 点评: 对于给值求角的问题,角的范围分析很重要,是防止出现增解的重要手段. ?跟踪训练 π? 7π ? 4 ? ? 1.已知 cos?α - ?+sin α = 3,则 sin?α + ?的值是(C) 6? 6 ? 5 ? ? 2 3 A.- 5 4 C.- 5 2 3 B. 5 4 D. 5

π? 4 ? 解析:∵cos?α - ?+sin α = 3. 6? 5 ? ∴ 3 3 4 cos α + sin α = 3, 2 2 5

3 ?1 ? 4 3? cos α + sin α ?= 3, 2 ?2 ? 5

?π ? 4 ?π 3sin? +α ?= 3,∴sin? +α ?6 ? 5 ?6

?=4, ? 5 ?

7 ? 4 ? ?π ? ∴sin?α + π ?=-sin? +α ?=- .故选 C. 6 ? 5 ? ?6 ?

?专题归纳 三角函数式的化简是对给定的三角函数式通过适当的三角变换,使之变为较简单的形 式.化简三角函数式的常用方法有:①直接应用公式;②切割化弦;③异角化同角;④特殊 值与特殊角的三角函数互化;⑤通分、约分;⑥配方去根号. 三角函数式的化简是三角变换中非常重要的一种题型, 是高考命题的热点, 它常与三角 函数的图象和性质联系出题, 题型灵活多变, 因而三角函数的化简也是需要掌握的基本知识 和基本技能. ?例题分析 2cos α -1 例 3 化简: ?π ? 2?π 2tan? -α ?sin ? +α ?4 ? ?4
2

? ? ?

.

分析:本题主要考查二倍角公式,同角三角函数的基本关系及角的变换,从角的特点及 π π π π 内在联系上探求. -α 与 +α 互余, 可先用诱导公式减少角的种类. 或 -α 与 + α 4 4 4 4 均化为 α 的三角函数.
3

解析:方法一 原式= 2cos α -1
2

?π sin? -α ?4 2· ?π cos? -α ?4
2

? ? ? ? 2?π ·sin ? +α ? ?4 ? ? ? ?



2cos α -1

?π sin? -α ?4 2· ?π cos? -α ?4
2

? ? ? ? 2?π ·cos ? -α ? ?4 ? ? ? ?

2cos α -1 cos 2α = = =1. π cos 2α ? ? sin? -2α ? ?2 ? 方法二 原式= cos 2α 1-tan α ? 2 2 ?2 2· ? sin α + cos α ? 1+tan α ? 2 2 ? cos 2α cos α -sin α ·(sin α +cos α cos α +sin α 2



)

= =

cos 2α (cos α -sin α )(cos α +sin α ) cos 2α cos 2α = =1. 2 2 cos α -sin α cos 2α

点评:(1)切弦共存时,两种方法均采用了切化弦这种技巧. (2 )cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α ,以上三个公式熟练地交替使 用,可使问题得以顺利解决. (3)一公式结构的三角函数式化简一般需要分子、分母出现可约式,再进行约分. cos 10° 例 4 化简(tan 10°- 3)· . sin 50° 分析:本题中含有正切、正弦、余弦,一般先切化弦,还要注意到特殊值,联想到表示 特殊角的三角函数. 解析:原式=? =
2 2 2 2

?sin 10°- 3?·cos 10° ? sin 50° ?cos 10° ?

sin 10°- 3cos 10° sin 50°

3 ?1 ? 2? sin 10°- cos 10°? 2 ?2 ? 2sin(10°-60°) = = sin 50° sin 50°

4



-2sin 50° =-2. sin 50°

?跟踪训练 2. 2sin 2α cos α · =(B) 1+cos 2α cos 2α B.tan 2α 1 D. 2
2 2

A.tan α C.1

2sin 2α cos α sin 2α 解析:原式= · = =tan 2α .故选 B. 2 2cos α cos 2α cos 2α

?专题归纳 三角函数等式的证明,包括 无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证 明.对于无条件三角函数等式的证明,要认真分析等式两边三角函数式的特点,找出差异, 化异角为同角,化异次为同次,化异名为同名,寻找证明的突破口.对于有条件三角函数等 式的证明,要认真观察条件式与欲证式的区别与联系,灵活使用条件等式,通过代入法,消 元法等方法进行证明. ?例题分析 sin 4x cos 2x cos x x 例 5 求证: · · =tan . 1+cos 4x 1+cos 2x 1+cos x 2 分析:本题主要考查二倍角公式及变形应用,因等式右端为 tan ,故可将在左边的角 2 4x,2x,x 化为 形式. 2 2sin 2xcos 2x cos 2x cos x 证明:∵左边= · 2 2 · 2cos 2x 2cos x 1+cos x = 2sin 2x·cos 2x·cos x sin 2x = 2 2 2x 2cos 2x·2cos x·2cos 2cos x·2cos 2 2
2x 2

x

x

2sin cos sin 2 2 2 x = = =tan =右边. x 2 2x 2cos cos 2 2 ∴等式成立. 点评:要熟练掌握下列二倍角公式的变形. sin 2α sin 2α sin α = ,cos α = , 2cos α 2sin α
5

x

x

x

1+cos 2α =2cos α ,1-cos 2α =2sin α , 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 cos α = ,sin α = . 2 2 例 6 已知 tan(α +β )=2tan β ,求证:3sin α = sin(α +2β ). 分析:观察条件与结论间的差异可知: (1)函数名称的差异是正弦与正切,可考虑切化弦法化异为同. (2)角的差异是 α +β , β ; α , α +2β .通过观察可得已知角与未知角之间关系如下: (α +β )-β =α ;(α +β )+β =α +2β ,由此可化异为同. 证明:由已知 tan(α +β )=2tan β 可得 sin(α +β ) 2sin β = , cos(α +β ) cos β ∴sin(α +β )·cos β =2cos(α +β )·sin β . 而 sin(α +2β )=sin[(α +β )+β ] =sin(α +β )·cos β +cos(α +β )·sin β =2cos(α +β )·sin β +cos(α +β )·sin β =3cos(α +β )·sin β , 又 sin α =sin[(α +β )-β ] =sin(α +β )·cos β -cos(α +β )·sin β =2cos(α +β )·sin β -cos(α +β )·sin β =cos(α +β )·sin β ,故 sin(α +2β )=3sin α . 点评:三角式的证明要注意观察函数的特点,角的特点,结构特点. ?跟踪训练 1-2sin xcos x 1-tan x 3.求证: = . 2 2 cos x-sin x 1+tan x sin 1- cos 证明:证法一 右边= sin 1+ cos
2

2

2

x x cos x-sin x = x cos x+sin x x

= = =

(cos x-sin x) (cos x-sin x)(cos x+sin x) cos x+sin x-2sin xcos x 2 2 cos x-sin x 1-2sin xcos x =左边.∴原命题成立. 2 2 cos x-sin x
2 2 2 2

sin x+cos x-2sin xcos x 证法二 左边= 2 2 cos -sin x
6

= =

(cos x-sin x) 2 2 cos x-sin x

2

cos x-sin x 1-tan x = =右边, cos x+sin x 1+tan x

∴原命题成立.

?例题分析 例 7 β ; ②由 C(α +β )推导两角和的正弦公式 S(α +β ):sin(α +β )=sin α cos β +cos α sin β . 1 → → 3 (2)已知△ABC 的面积 S= ,AB·AC=3,且 cos B= ,求 cos C. 2 5 解析:(1)①如右图,在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,并作出角 α 、β 与-β ,使角 α 的始边为 Ox,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于点 P2;角 β 的始边为 OP2,终边交⊙O 于点 P3; 角-β 的始边为 OP1,终边交⊙O 于点 P4. (1)①证明两角和的余弦公式 Cα +β :cos(α + β )=cos α cos β -sin α sin

则 P1(1,0),P2(cos α ,sin α ),

P3(cos(α +β ),sin(α +β )), P4(cos(-β ),sin(-β )),
由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式,得 [cos(α +β )-1] +sin (α +β )=[cos(-β )-cos α ] + [sin(-β )-sin α ] , 展示并整理得: 2- 2cos(α +β )=2-2(cos α cos β -sin α sin β ),
7
2 2 2 2

∴cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β . ②由①易得 cos?

?π -α ?=sin α ,sin?π -α ?=cos α , ? ?2 ? ?2 ? ? ?

?π ? sin(α +β )=cos? -(α +β )? ?2 ? ??π ? ? =cos?? -α ?+(-β )? ?? 2 ? ? ?π ? ?π ? =cos? -α ?cos(-β )-sin? -α ?sin(-β ) ?2 ? ?2 ?
=sin α cos β +cos α sin β . (2)由题意,设△ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c, 1 1 → → 则 S= bcsin A= ,AB·AC=bccos A=3>0, 2 2

? π? ∴A∈?0, ?,cos A=3sin A. 2? ?
又 sin A+cos A=1,∴sin A=
2 2

10 3 10 ,cos A= . 10 10

3 4 由题意,cos B= ,得 sin B= . 5 5 ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B= 10 . 10 10 . 10

故 cos C=cos[π -(A+B)]=-cos(A+B)=-

例 8 已知 a=( 3sin ω x,1),b=(cos ω x,0),其中ω >0,又函数 f(x)=b·(a π ? π? -b)+k 是以 为最小正周期的周期函数,当 x∈?0, ?时,函数 f(x)的最小值为-2. 4? 2 ? (1)求 f(x)的解析式; (2)写出函数 f(x)的单调递增区间. 分析: 本题主要考查平面向量的坐标运算、 二倍角公式及三角函数的性质, 先化简 f(x), 然后求解. 解析:(1)a-b=( 3sin ω x,1)-(cos ω x,0) =( 3sin ω x-cos ω x,1), ∴f(x)=(cos ω x,0)·( 3sin ω x-cos ω x,1)+k π? 1 ? =sin?2ω x- ?- +k. 6? 2 ? 2π π ∴T= = ,∴ω =2. 2ω 2
8

π ? π 5π ? ? π? ∵x∈?0, ?,则 4x- ∈?- , ?, 4? 6 ? 6 ? 6 ? 1 1 ∴f(x)的最小值为 f(0)=- - +k=k-1=-2. 2 2 π? 3 ? ∴k=-1,∴f(x)=sin?4x- ?- . 6? 2 ? π π? π ? (2)当 4x- ∈?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z), 2 2? 6 ? 即 x∈?

?kπ -π ,kπ +π ?(k∈Z)时,函数 f(x)为增函数. ? 6? ? 2 12 2 ?kπ -π ,kπ +π ?(k∈Z). 6? ? 2 12 2 ?

∴函数 f(x)的单调递增区间是?

点评:求函数 y=Asin(ω x+φ )+k(A>0,ω >0)的最值时,若 x?R,要考虑 ω x+φ 所 在的区间及单调性. ?跟踪训练 → 4.已知向量OA=(cos α ,sin α )(α ∈[-π ,0]),向量 m=(2,1),n=(0,- 5), → 且 m⊥(OA-n). → (1)求向量OA; (2)若 cos(β -π )= 2 ,0<β <π ,求 cos(2α -β ). 10

→ 解析:(1)∵OA=(cos α ,sin α ), → ∴OA-n=(cos α ,sin α + 5). → → ∵m⊥(OA-n),∴m·(OA-n)=0, 即 2cos α +(sin α + 5)=0.① 又 sin α +cos α =1,② 2 5 5 由①②联立方程解得,cos α =- ,sin α =- . 5 5 5? → ? 2 5 ∴OA=?- ,- ?. 5 ? ? 5 (2)∵cos(β -π )= 2 2 ,即 cos β =- ,0<β <π , 10 10
2 2

7 2 π 5 ? ? 2 5? ? ∴sin β = ,∴ <β <π .又∵sin 2α =2sin α cos α =2×?- ?×?- ?= 10 2 ? 5? ? 5 ? 4 , 5
9

4 3 2 cos 2α =2cos α -1=2× -1= , 5 5 ∴cos(2α -β )=cos 2α cos β +sin 2α sin β 3 ? 2 2? 4 7 2 25 2 = ×?- ?+ × = = . 5 ? 10 ? 5 10 50 2 5.已知向量 m=(sin A,cos A),n=(1,-2),且 m·n=0. (1)求 tan A 的值; (2)求函数 f(x)=cos 2x+tan Asin x(x∈R)的值域. 解析:(1)∵m·n=0,∴sin A-2cos A=0, sin A 2cos A 即 sin A=2cos A.∴tan A= = =2. cos A cos A (2)f(x)=cos 2x+2sin x =1-2sin x+2sin x 1?2 3 ? =-2?sin x- ? + , 2? 2 ? ∵sin x∈[-1,1], 1 3 ∴当 sin x= 时,取得最大值 ; 2 2 当 sin x=-1 时,取得最小值-3. 3? ? ∴f(x)的值域为?-3, ?. 2? ?
2

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