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(浙江专用)2019高考数学二轮复习专题四解析几何第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题学案

第3讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题 高考定位 圆锥曲线中的定点与定值、 最值与范围问题是高考必考的问题之一, 主要以解答 题形式考查,往往作为试卷的压轴题之一,一般以椭圆或抛物线为背景,试题难度较大,对 考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求. 真 题 感 悟 (2018?北京卷)已知抛物线 C:y =2px 经过点 P(1,2).过点 Q(0,1)的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A,B,且直线 PA 交 y 轴于 M,直线 PB 交 y 轴于 N. (1)求直线 l 的斜率的取值范围; 1 1 → → → → (2)设 O 为原点,QM=λ QO,QN=μ QO,求证: + 为定值. λ μ 解 (1)因为抛物线 y =2px 过点(1,2), 所以 2p=4,即 p=2. 故抛物线 C 的方程为 y =4x. 由题意知,直线 l 的斜率存在且不为 0. 设直线 l 的方程为 y=kx+1(k≠0). ? ?y =4x, 2 2 由? 得 k x +(2k-4)x+1=0. ?y=kx+1 ? 2 2 2 2 依题意 Δ =(2k-4) -4?k ?1>0, 解得 k<0 或 0<k<1. 又 PA,PB 与 y 轴相交,故直线 l 不过点(1,-2). 从而 k≠-3. 所以直线 l 斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1). (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2). 2k-4 1 由(1)知 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2. 2 2 k k 直线 PA 的方程为 y-2= y1-2 (x-1). x1-1 -y1+2 -kx1+1 令 x=0,得点 M 的纵坐标为 yM= +2= +2. x1-1 x1-1 同理得点 N 的纵坐标为 yN= -kx2+1 +2. x2-1 → → → → 由QM=λ QO,QN=μ QO得 λ =1-yM,μ =1-yN. 1 1 1 1 1 所以 + = + λ μ 1-yM 1-yN = = x1-1 x2-1 + (k-1)x1 (k-1)x2 1 k-1 2x1x2-(x1+x2) ? x1x2 2 k 1 = ? k-1 2 + 2k-4 k2 1 =2. k2 1 1 所以 + 为定值. λ μ 考 点 整 合 1.定点、定值问题 (1)定点问题:在解析几何中,有些含有参数的直线或曲线的方程,不论参数如何变化,其 都过某定点,这类问题称为定点问题. 若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方 程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m). (2)定值问题:在解析几何中,有些几何量,如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐 标或动直线中的参变量无关,这类问题统称为定值问题. 2.求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系.该问题主 要有以下三种情况: (1)距离型:若涉及焦点,则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解;若是 圆锥曲线上的点到直线的距离, 则可设出与已知直线平行的直线方程, 再代入圆锥曲线方程 中,用判别式等于零求得切点坐标,这个切点就是距离取得最值的点,若是在圆或椭圆上, 则可将点的坐标以参数形式设出,转化为三角函数的最值求解. (2)斜率、截距型:一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中,利用判别式列出对应的不 等式,解出参数的范围,如果给出的只是圆锥曲线的一部分,则需要结合图形具体分析,得 出相应的不等关系. (3)面积型:求面积型的最值,即求两个量的乘积的范围,可以考虑能否使用不等式求解, 或者消元转化为某个参数的函数关系,用函数方法求解. 热点一 定点与定值问题 [考法 1] 定点的探究与证明 x y 1 【例 1-1】 (2018?杭州调研)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 , 其左焦点到点 P(2, a b 2 2 2 2 1)的距离为 10. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左、右顶点),且以 AB 为直径 的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. c 1 (1)解 由 e= = ,得 a=2c, a 2 ∵a =b +c ,∴b =3c , 则椭圆方程变为 2+ 2=1. 4c 3 c 又由题意知 (2+c) +1 = 10,解得 c=1, 故 a =4,b =3,即得椭圆的标准方程为 + =1. 4 3 (2)证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x2 y2 x2 y2 y=kx+m, ? ? 2 2 联立?x y + =1, ? ?4 3 得(3+4k )x +8mkx+4(m -3)=0, 2 2 2 2 2 2 2 ? 8mk ? x +x =- , 3 + 4k 则? 4(m -3) ? ?x ?x = 3+4k . 1 2 2 2 1 2 2 2 2 Δ =64m k -16(3+4k )(m -3)>0, ① ∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m) 3(m -4k ) =k x1x2+mk(x1+x2)+m = . 2 3+4k ∵椭圆的右顶点为 A2(2,0),AA2⊥BA2, ∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0, ∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0, 3(m -4k ) 4(m -3) 16mk ∴ + + 2 2 2+4=0, 3+4k 3+4k 3+4k 2k 2 2 ∴7m +16mk+4k =0,解得 m1=-2k,m2=- . 7 由 Δ >0,得 3+4k -m >0,② 当 m1=-2k 时,l 的方程为 y=k(x-2), 直线过定点(2,0),与已知矛盾. 2k ? 2? 当

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