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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 平面向量的线性运算例题讲解素材 北师大版必修4

平面向量的线性运算
例1 一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 公里到达 B 点,然后又改变方向向西偏北

50 0 走了 200 公里到达 C 点,最后又改变方向,向东行驶了 100 公里到达 D 点。

(1)作出向量 AB , BC , CD ;

(2)求 AD 。

分析:解答本题应首先确立指向标,然后再根据行驶方向确定出有关向量,进而求解。 解析: (1)如图所示。

(2)由题意易知, AB 与 CD 方向相反,故 AB 与 CD 共线。 又 AB ? CD ,∴在四边形 ABCD 中, AB // CD 且 AB ? CD , ∴四边形 ABCD 为平行四边形。 故 AD ? BC ? 200 (公里) 。 评注:准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大 小确定向量的终点。

例2

化简: ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) 。

分析:该例为一基础题目,可有多种解法。 解法 1:原式 ? AB ? CD ? AC ? BD

1

? AB ? DC ? CA ? BD

? ( AB ? BD) ? (DC ? CA)
? AD ? DA
=0 评注:该解法是将向量减法转化为加法进行化简的。 解法 2:原式 ? AB ? CD ? AC ? BD = ( AB ? AC) + ( DC ? DB) = CB ? BC =0 评注:本解法是利用 AB ? AC ? CB , DC ? DB ? BC 进行化简的。 解法 3:设 O 为平面内任意一点,则有 原式 ? AB ? CD ? AC ? BD

? (OB ? OA) ? (OD ? OC) ? (OC ? OA) ? (OD ? OB)
? OB ? OA ? OD ? OC ? OC ? OA ? OD ? OB
=0 评注:本解法是利用 MN ? ON ? OM 关系进行化简的。

例3

对于下列各种情况,各向量的终点的集合分别是什么图形?

(1)把所有单位向量的起点平行移动到同一点 P ; (2)把平行于直线 l 的所有单位向量的起点平行移动到直线 l 的点 P ; (3)把平行于直线 l 的所有向量的起点平行移动到直线 l 的点 P 。 分析:数学中的向量是自由向量,可以重新选择起点进行平移,只要平移前后两个向量 相等即可。 解析: (1)是以 P 点为圆心,以 1 个单位长为半径的圆; (2)是直线 l 上与 P 的距离为 1 个单位长的两个点;

2

(3)是直线 l 。 评注:本题是有关向量的平移变换、单位向量,以及集合等知识的综合题。

例4

已知非零向量 e1 和 e2 不共线, 欲使 ke1 ? e2 和 e1 ? ke2 共线, 试确定实数 k 的值。

分析:若 ke1 ? e2 与 e1 ? ke2 共线,则一定存在 ? ,使 ke1 ? e2 = ? ( e1 ? ke2 ) 。 解析:∵ ke1 ? e2 与 e1 ? ke2 共线,∴存在实数 ? ,使 ke1 ? e2 = ? ( e1 ? ke2 ) ,则

(k ? ?)e1 ? (?k ?1)e2 。
由于 e1 和 e2 不共线,∴ ?

?k ?? ? 0 ,解得 k ? ?1 。 ?? k ? 1 ? 0

评注: 本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义,利用共线得到关于 k 的方程, 用待定系数法解决问题。

3


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