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高三数学模拟试题《统率》理


广东省各地 2014 届高三 11 月模拟数学理试题分类汇编 概率 一、选择题
1、 (广东省宝安中学等七校 2014 届高三第二次联考)如图 2 ,矩形长为 6 ,宽为 4 ,在矩形内随 机地撒 300 颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗,以此实验数据为依据可以估计出椭 . 圆的 面积约为( A. 16.32 C. 8.68 ) B. 15.32 D. 7.68

答案:A 图2 二、解答题 1、 (广东省百所高中 2014 届高三 11 月联考) 为贯彻“激情工作,快乐生物”的理念,某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛,比赛分 初赛和决赛两部分,为了增加节目的趣味性,初赛采用选手选—题答—题的方式进行,每位 选手最多有 5 次选答题的机会,选手累计答对 3 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛,答对 3 题者直接进入决赛,答错 3 题者则被淘汰,已知选手甲答题的正确率为 (1)求选手甲答题次数不超过 4 次可进入决赛的概率; (2)设选手甲在初赛中答题的个数 ? ,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望。 2 3 8 解:(1) 选手甲答 3 道题进入决赛的概率为( ) = ;(1 分) 3 27 1 2 8 2 2 2 选手甲答 4 道题进入决赛的概率为 C3( ) · · = .(3 分) 3 3 3 27 8 8 16 ∴选手甲答题次数不超过 4 次可进入决赛的概率 P= + = .(6 分) 27 27 27 2 3 1 3 1 (2)依题意,ξ 的可能取值为 3,4,5.则有 P(ξ =3)=( ) +( ) = , 3 3 3

2 。 3

P(ξ =4)=C2( )2· · +C2( )2· · = , 3 3 P(ξ =5)=C2( )2·( )2· +C2( )2·( )2· = ,(10 分) 4 4
2 3 1 3 2 3 2 3 1 3 1 8 3 27

2 3

1 3

2 3

1 3

2 1 10 3 3 27

因此,有 ξ 3 1 3 4 10 27 5 8 27

P

-1-

1 10 8 107 26 ∴Eξ =3× +4× +5× = =3 .(12 分) 3 27 27 27 27 2、 (广东省宝安中学等七校 2014 届高三第二次联考) 某班有甲、乙两个学习小组,两组的人数如下: 组别 性别 男 女 甲 乙

3 5

2

2

现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从甲、 乙两组中共抽取 3 名同学进行学业 检测. (Ⅰ)求从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率; (Ⅱ)记 X 为抽取的 3 名同学中男同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 【解析】(Ⅰ)依题意,甲、乙两组的学生人数之比为 所以,从甲组抽取的学生人数为 分 设“从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学”为事件 A , 则 P ( A) ? 分 (Ⅱ) X 的所有可能取值为 0,1, 2,3 ,且 ???5 分
1 3 1 5 1 2

? 3 ? 5? : ? 2 ? 2 ? ? 2 :1 ,????1 分

2 1 ? 3 ? 2 ;从乙组抽取的学生人数为 ? 3 ? 1 .????2 3 3

C1 ? C1 15 15 3 5 ,故从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率为 .???4 ? 2 C8 28 28

C ?C 5 , P( X ? 0) ? ? C ?C 28
2 5 2 8 1 2 1 4

2 C ? C ? C C5 ? C1 25 2 , P( X ? 1) ? ? 2 1 ? 2 C8 ? C1 C8 ? C4 56 4 2 C3 ? C1 3 2 .?????9 P( X ? 3) ? 2 1 ? C8 ? C4 56

2 C3 ? C1 C1 ? C1 ? C1 9 2 , P( X ? 2) ? 2 1 ? 3 2 5 1 2 ? C8 ? C 4 C8 ? C 4 28

分 所以, X 的分布列为:

1 2 25 9 P 56 28 5 25 9 3 5 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .???12 分 28 56 28 56 4

X

0 5 28

3 3 56

??????10 分

3、 (广州增城市 2014 届高三上学期调研) 在一个盒子里装有 6 枝圆珠笔,其中 3 枝一等品,2 枝二等品,1 枝三等品. (1)从盒子里任取 3 枝恰有 1 枝三等品的概率多大?; (2)从盒子里任取 3 枝,设 ? 为取出的 3 枝里一等品的枝数,求 ? 的分布列及数学期望. 解.(1) P ?

C52 3 C6

2分

-2-

5? 4 1 ? 2 ?1 ? 6? 5? 4 2 3 ? 2 ?1
(2) ? =0,1,2,3,

4分

5分

3 1 1 C3 C3 ? C32 C32 ? C3 1 9 9 P( ? =0) ? 3 ? ,P( ? =1) ? ,P( ? =0) ? , ? ? 3 3 C6 20 C6 20 C6 20

3 C3 1 P( ? =0) ? 3 ? (各 1 分) C6 20

9分

所以 ? 的分布列是

?
P

0

1

2

3

1 20

9 20

9 20
10 分

1 20

E( ? )=0×

1 9 9 1 3 +1× +2× +3× = 20 20 20 20 2

12 分

4、 (海珠区 2014 届高三上学期综合测试(二) ) 在一次联考后,某校对甲、乙两个理科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于 120 分为优秀,120 分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的 2 ? 2 列联表,且已知在甲、乙 两个理科班全部 110 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 优秀 甲班 乙班 合计 (Ⅰ)请完成上面的列联表; (Ⅱ)根据列联表的数据,能否有 99%的把握认为成绩与班级有关系? (Ⅲ)在甲、乙两个理科班优秀的学生中随机抽取两名学生,用 ? 表示抽得甲班的学生人 数,求 ? 的分布列. 解析:⑴ 优秀 甲班 乙班 非优秀 合计 10 30 110 非优秀

3 . 11
合计

10 20

50 30

60 50
-3-

合计

30

80

110
??????3 分

⑵假设成绩与班级无关,根据列联表中的数据,得到

K2 ?

2 110 ? 30 - 20 ? 50) (10 60 ? 50 ? 30 ? 80

??????4 分 ??????5 分 ??????6 分

K 2 ? 7.487

K2 ? 7.487 ? 6.635.

因此按 99% 的可靠性要求,能认为“成绩与班级有关系”. ??????7 分. ⑶ 由(1)知,甲、乙两个理科班优秀的学生人数分别为 10,20. 依题意得, ? 的可能取值为 0,1, 2 , ????? 8 分 ????? 9 分

P(? ? 0) ? P(? ? 1) ?

2 C20 38 , ? 2 C30 87 1 1 C20C10 40 , ? 2 C30 87

????? 10 分

2 C10 9 . P(? ? 2) ? 2 ? C30 87

????? 11 分

∴ ? 的分布列为:

?

0

1

2

38 87

40 87

9 87
????? 12 分

5、 (惠州市 2014 届高三上学期第二次调研) 若盒中装有同一型号的灯泡共 10 只,其中有 8 只合格品, 2 只次品。 (1) 某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡 3 次,每次取一只灯泡,求 2 次取到次品的概 率; (2) 某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡,每次从中取一灯泡,若是 正品则用它更换已坏灯泡,若是次品则将其报废(不再放回原盒中) ,求成功更换会议室的已 坏灯泡所用灯泡只数 X 的分布列和数学期望. 解:解:设一次取次品记为事件 A,由古典概型概率公式得: P(A) ?

2 1 ? ??2 分 10 5

有放回连续取 3 次,其中 2 次取得次品记为事件 B,由独立重复试验得:

-4-

12 2 1 2 4 ???4 分 P(B) C( ). ? ? 3 5 5 125
(2)依据知 X 的可能取值为 1.2.3???5 分 且 P(x ? 1 ? )

8 4 ? ???6 分 10 5

P(x ? 2) ?

2?8 8 ???7 ? 2 45 A10

P(x ? 3) ?

2 A2 1 ???8 分 ? 2 A10 45

则 X 的分布列如下表: X p 1 2 3

4 5

8 45

1 45
??10 分

EX ?

36 16 3 55 11 ? ? ? ? ???12 分 45 45 45 45 9

6、 (汕头市潮师高级中学 2014 届高三上学期期中) 高三某班从 6 名班干部中(其中男生 4 人,女生 2 人)选 3 人参加学校的义务劳动. (1)设所选 3 人中女生人数为 ? ,求 ? 的分布列及 E? ; (2)求男生甲或女生乙被选中的概率。

解: (1) ? 的所有可能取值为 0,1,2,依题意得:--------1 分
3 2 1 1 2 C4 1 C4 C2 3 C4 C2 1 P(? ? 0) ? 3 ? ; P(? ? 1) ? ? ; P(? ? 2) ? ? 3 3 C6 5 C6 5 C6 5

--------4 分

?? 的分布列为
--------6 分

1 3 1 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 5 5 5

----------------7 分
3 C4 4 1 ? ? 3 C6 20 5

(2)设“甲、乙都不被选中”为事件 C ,则 P (C ) ? sj.fjjy.org

--------10 分

? 所求概率为 P(C ) ? 1 ? P(C ) ? 1 ?

1 4 ? 5 5

-------------12 分

7、 (汕头市聿怀中学 2014 届高三上学期期中考试) 某校高三数学竞赛初赛后,对考生成绩进行统计(考生成绩均不低于 90 分,满分 150 分),将

-5-

成绩按如下方式分成六组,第一组[90,100),第二组[100,110),??,第六组[140,150].如 图所示为其频率分布直方图的一部分,第四组,第五组,第六组的人数依次成等差数列,且 第六组有 4 人. (Ⅰ)请补充完整频率分布直方图,并估计这组 数据的平均数 M;(计算时可以用组中值代替各组 数据的平均值) (Ⅱ)现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意 选 2 人,记他们的成绩分别为 x,y,若|x-y|≥10, 则称此 2 人为“黄金帮扶组”,试求选出的 2 人为“黄金帮扶组”的概率.

0.015 =12,而第六组有 4 人, ???8 分 0.005 2 所以第四组和第六组一共有 16 人,从中任选 2 人,一共有 C16=120(种)选法, ??10 (Ⅱ)依题意,知第四组人数为 4× 分 若满足|x-y|≥10,则一定是分别从两个小组中各选 1 人,因此有 C12C4=48(种)选法,?12 分 所以选出的 2 人为“黄金帮扶组”的概率 P = 48 2 = . 120 5 ???13 分
1 1

8、 (汕头四中 2014 届高三第二次月考) 某社团组织 50 名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动,活动内容是:1、到各社区宣传 慰问,倡导文明新风;2、到指定的医院、福利院做义工,帮助那些需要帮助的人.各位志

-6-

(1) 分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取 6 名,年龄大于 40 岁的应该抽取几名? (2) 上述抽取的 6 名志愿者中任取 2 名,求选到的志愿者年龄大于 40 岁的人数的数学期望. 解:(1)若在做义工的志愿者中随机抽取 6 名,则抽取比例为 ∴ 年龄大于 40 岁的应该抽取 8 ?

6 1 ? ?????2 分 24 4
?????????4 分

1 ? 2 人. 4

(2)在上述抽取的 6 名志愿者中任取 2 名,假设选到年龄大于 40 岁的人数为 ? , ∵ 6 名志愿者中有 2 人的年龄大于 40 岁,其余 4 人的年龄在 20 到 40 岁之间, ∴ ? 可能的取值为 0,1, 2 . 则 p (? ? 0) ? ?????????5 分

0 2 C2 C4 2 C1C1 8 C2 1 ? , p (? ? 1) ? 2 2 4 ? , p (? ? 2) ? 2 ? C62 5 C6 15 C62 15

???8 分

∴ ? 的分布列为

?
P

0
2 5
2 5 8 1 2 ? 2? ? 15 15 3

2

8 15

1 15
???10 分



? 的数学期望为 E? ? 0 ? ? 1 ?

???12 分

-7-


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