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高中数学不等式恒成立问题的解题方法研究


高中数学不等式恒成立同题的解题方法砑究
◆云南师范大学附属中学保教
不等式恒成立问题是中学数学的一类重要题型, 它散见于许多知识板块中,载体较多,而且不少情况 下题意较为隐含。正因为其涉及内容较广、表现形式 多样、思维层次较高,因而倍受高考命题者的青睐。概 括一下,不等式恒成立问题主要涉及到一次函数、二 次函数的性质、图像,导数、不等式等数学知识,渗透 着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法。解 答这类题目主要有四种方法:其一,利用一次函数单 调性;其二,利用二次函数单调性;其三,分离参数、转 化为求函数最值(或上、下界);其四,利用数形结合 法。下面简单地谈一谈恒成立问题的常见类型及其解 题策略。 一、一次函数型 iff.f(p)=(x-I)p+】【2_2斟1,贝lJf(p)在[-2,2]上恒大

于0,故有f(一2)>0且f(2)>0,epxqx+3>01;Ixz-I>
0,解得x<一1或x>3. 二、二次函数型 设二次函数“x)=ax%bx+c(a>O),其图象是开口

向上的抛物线,在区间[一兰,+∞)上“x)是增函数,在
区间(一∞,一导]上f(x)是减函数,所以通过数形结合得:

f(x)>o在R上恒成立等f:舅
“x)>O在区间[m,n]上恒成立甘
a>0 △≥O b

给定一次函数y《(x)=麟+b(a≠O),若一(x)在
m,n]内恒有f(x)>0,则根据函数的图像(直线)如图 1,图2.可得上述结论等价于

一一>n
2a

或 If(m)>0

瞄’>。或瞄≯可合并成{爰等≥
/。 .∥ ; }
O m


f(n)>0

另:(1)要注意所给区间是闭区间[m,1"1],还是开 区间(m,n)时它们所得不等式是否取等号不同,可通 过二次函数图象数形结合,确定是否该取等号; (2)对于以下情形:二次函数的二次项系数a<0; 恒成立不等式是f(x)<O;主元所属区间是[m,+∞);


y。

y。



’'、

‘了>、


n X







若主元所属区间是(一∞,n],同理可通过二次函数图 象数形结合得不等式组。

图1

图2

例2:已知函数“x)=妇卜4mx+m2.m且f(X)>0对xE (2,+∞)恒成立,求m的范围。 分析:f(x)>0对X e(2,+∞)恒成立骨△<0或
』一.

另:(1)若在[m,n]内恒有f(x)<0,同理通过一次 函数图像数形结合得结论。 (2)若区间是(m,n),要注意所得不等式等号的 取得。 例1:对于满足Ipl。<2的所有实数P,求使得不等式 xZ+px+l>p+2x恒成立的x的取值范围。

A≥o,一!竺≤2Rf(2)≥o的问题。


即解不等式(4m)2--4(m2-m)<0或不等式组

l(4m2)-4(m2—m)≥o

分析:在不等式中出现了两个字母:x及P,关键在
于该把哪个字母看成是—个变量即“主元”,另一个则 作为常数。显然可将p视作自变量,则上述问题可转化 为在 .-2,2]内关于P的一; 瞬:不等式eP(x-1)p- 的问题。

|-鱼≤2


解得m的取值范围为[掣,+∞)

l“2):22+8m+m2一m≥o



中教研究2010.9"10

1荜程矗对缸萱‘f审

万方数据

三、变量(参数)分离型 若在不等式中出现两个变量,其中一个变量的范 围已知,另一个变量的范围为所求。且容易通过恒等 变形将两个变量分别置于不等号的两边,则可将恒成 立问题转化成函数的最值(或上、下界)问题求解。

四、数形结合法求解不等式恒成立问题 若把不等式进行合理的变形后,能非常容易地画 出不等号两边函数的图像,则可以通过画图直接判断 得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方 便、快捷。
r———1

例3.设“;);lg!±兰!!:±:::±!翌二!!≥£


,aER,nE

例6.关于x的不等式V4x—x‘≥戤的解集为[o,4],
求实数a的取值范围,

N,且n≥2.如果当xE(一∞,1]时“x)有意义,求a的取 值范围。 分析:f(x)在区间(一∞,1]上有意义,这等价当


解:令f(x):、/夏了,g(;):锻,根据题意可知,当
且仅当x在区间[O,4]上取值时,“x)的图象恒在g(x) 图象的上方(或重合),如图3所示:
y。

E(一∞,1]时,不等式!±兰:±!:±:::±!望=!!:塑二
11

>0

(n≤2,n∈N)恒成立。 解:(略) 在该题中x是主元,a是参变量,n是常量,所以这是 一主一参、隐性恒成立问题。它的载体是函数的定义 域。在含参变量的函数中,涉及到定义域、值域、单调性 等问题时,常常要转化为不等式恒成立问题来处理。




n∥.

2 4



\^、
图3

因为函数“x)的图像是以点(2,O)为圆心,2为半 径的位于x铀上方的半圆(含与X铀的交点),易知“x) 的定义域恰好为[0,4],而函数g(x)则是经过坐标原 点,斜率为a的一条动直线,由图3可知,欲使得题意成 立,则动直线的斜率a应该小于或等于0,即实数a的取 值范围是(一∞,0】. 例7.当0

例4.已知函数“x)=(x3+ax涫,X
(O,1)上单调递减,求a的取值范围。



R若f(x)在区间

分析:函数“x)在区间(O,1)1-单减,即是不等式 f,(x)≤O在(O,1)上恒成立。 解:(略) 例5.已知f(x)---誓-21nx,当b>一1时,若“x)2bm一

E[0,÷]时,C0920+2rosin Z

0—2m-2<0

恒成立,求in的取值范围。

之在x,m∈(0,1]时恒成立,求b的取值范围。


解:z皱=sin 0,?.‘o≤0≤÷


.?.o≤1r≤1

分析:把x、m看成主元,b看成常量,不等式要恒 成立即是左边关于x的函数“x)的最小值不小于右边

由题意得:<L2mx+2m+l>1在区间[0,1]上恒成立 即:x2+l>2m(x-I)在区间[0,1]上恒成立 A令-f(x)_--x2+1(O≤x≤1),g(x)=2m(x-1)(O≤x≤1) 如图,“x)的图象是抛物线孤AB,其端点为A(O,1), B(1,2);g(x)的图象是过点c(1,0),斜率为2m的直线 在xE[0,1]部份。 ?.‘s(x)<“x)恒成立


关于m的函数g(m)=2bm一去的最大值。


解:(略) 导数是近年来高考的必考内容,解题时,对一些 不易用初等函数、复合函数、不等式求最值的问题。采 取导数法往往能使问题得到解决。 三个例题都采用了分离最值法,这是解决不等式 恒成立问题的一种常用方法,其解题原理是:如果能 把不等式中的参变量与主元分离开来,则可以通过求 解由主元构成的式子的最值(或上、下界)来解决问 题,即:

.‘.2m>KAC,1 ...m>一土





…。1B

《一
l\2
\l



llP:m范围是mE(一虿1,+∞)。
恒成立的问题向来是高考中的热点问题,因此我 们在学习的时候必须要重点把握和归纳总结,因为它 们 实 £’J‘盘X7T、’】—~Il 顷利。
J:,【7日”1【-wJ

t>“x)对XIEA恒成立僦>o(x),x∈A t<“x)对xeA恒成立馘<o(x),xEA等

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万方数据

高中数学不等式恒成立问题的解题方法研究
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 保敏 云南师范大学附属中学 课程教材教学研究(中教研究) KECHENG JIAOCAI JIAOXUE YANJIU(ZHONGJIAO YANJIU) 2010(9)

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