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【名师一号】(学习方略)2015-2016学年高中数学 2.2.1直线与平面平行的判定课件 新人教A版必修2

第二章

点、直线、平面之间的位置 关系

§2.2 直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1

直线与平面平行的判定

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

课前热身 1.定义:如果一条直线和一个平面________,那么就说这 条直线和这个平面平行.表示式:a与α没有公共点? __________.

2.判定定理:如果平面外的一条直线和这个平面内的一 条直线平行,那么这条直线和这个平面________.表示式: a?α ? ? b?α??________. a∥b? ?

自 1.没有公共点 我 校 2.平行 a∥α 对

a∥α

名师讲解 1.直线与平面平行的判定方法主要有 (1)利用定义:证直线与平面无公共点(需用反证法). (2)利用直线和平面平行的判定定理,即线线平行?线面 平行. (3)利用平面与平面平行,得到直线与平面平行.即 若α∥β,a?α,则a∥β.

2.“平行于同一平面的两直线平行”对吗 如图,显然正方体AC中下底面的三条棱a,b,c都平行于 上底面α,侧面上的直线d也平行于α,但a∥c,a∩b=A,a与d 异面.即平行于同一平面的两条直线相交、平行、异面的各种 关系都可能出现.

3.“如果平面外的一条直线与平面平行,那么它和平面 内的所有直线平行”对吗 不对.若平面外一直线和已知平面平行,则在这个平面内 可以找到无数条互相平行的直线与平面外的这条直线平行,但 不是平面内的所有直线与它平行.如上图所示,b∥α,但 b BC.

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

典例剖析



直线、平面的位置关系
对于不重合的两条直线m,n和平面α,下列命题 )

【例1】 中的真命题是(

A.如果m?α,n?α,m,n是异面直线,那么n∥α B.如果m?α,n∥α,m,n共面,那么m∥n C.如果m?α,n?α,m,n是异面直线,那么n与α相交 D.如果m∥α,n∥α,m,n共面,那么m∥n.

【解析】 如图所示,在长方体AC1中,设平面ABCD为 α,AB为m,CC1为n,易知n与α相交,∴A项错;若B1C1为n, 则有n∥α,∴C项错;记A1B1为m,B1C1为n,则m与n相交,∴ D项错. ∴排除A、C、D项,故 B项正确.

【答案】 B

规律技巧

此类题目属于位置关系的判定题,并且用符号

语言表示,是高考考查立体几何的主要形式.其解题策略是借 助长方体等作为模型,利用排除法求解.



直线和平面平行的判定
正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,G分别是BC,

【例2】

C1D1的中点,如图.求证:EG∥平面BB1D1D.

【分析】

要证明EG∥平面BB1D1D,根据线面平行的判

定定理,需要在平面BB1D1D内找到与EG平行的直线,要充分 借助于E,G为中点这一条件.

【证明】 取BD的中点F,连接EF,D1F.

∵E为BC的中点, 1 ∴EF为△BCD的中位线,则EF∥DC,且EF=2CD. ∵G为C1D1的中点,

1 ∴D1G∥CD且D1G=2CD. ∴EF∥D1G且EF=D1G. ∴四边形EFD1G为平行四边形. ∴D1F∥EG,而D1F?平面BDD1B1,EG?平面BDD1B1. ∴EG∥平面BDD1B1.

【例3】 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于 AB,在AE,BD上各有一点P,Q,且AP=DQ. 求证:PQ∥平面BCE. 【分析1】 证明线面平行,可用线面平行的判定定理.

【证明】 如图所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB 交BC于N,连接MN.

∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB, ∴AE=BD.

又∵AP=DQ,∴PE=QB. 又∵PM∥AB∥QN, PM PE QN BQ ∴ = , = . AB AE DC BD ∴PM綊QN,∴四边形PMNQ为平行四边形.

∴PQ∥MN. 又MN?平面BCE,PQ?平面BCE, ∴PQ∥平面BCE.

【分析2】

线面平行可以转化为线线平行,而线线平行

可通过“线段对应成比例”得到.连接AQ并延长交BC于K, AP AQ 连接EK,只需证出PE=QK即可.

【证明】 如图所示,由AD∥BC,AK∩BD=Q知,

△ADQ∽△KBQ, AQ DQ ∴ = . QK BQ

另一方面,由题设知AE=BD,且AP=DQ. AP DQ ∴PE=QB,∴ = . PE BQ AP AQ ∴ = ,∴PQ∥EK. PE QK 又PQ?平面BCE,EK?平面BCE. ∴PQ∥平面BCE.

规律技巧

利用直线和平面平行的判定定理来证明线面平

行,关键是找平面内与已知直线平行的直线,因此,通过作辅 助线,常利用平行四边形对边平行的性质,三角形中位线的性 质,平行线线段成比例定理、平行公理等.

随堂训练 1.下列图形中能正确表示语句“平面α∩β=l,a?α,b? β,a∥β”的是( )

答案

D

2.若P是平面α外一点,则下列命题正确的是( A.过P只能作一条直线与α相交 B.过P可作无数条直线与平面α垂直 C.过P只能作一条直线与平面α平行 D.过P可作无数条直线与平面α平行

)

解析 过点P只能作一条直线与平面α垂直,可以作无数条 直线与α相交,可以作无数条直线与α平行.因此,A、B、C均 错,D正确.

答案

D

3.如图所示,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的 1 对角线的交点,面CDE是等边三角形,EF綊 BC,求证:FO 2 ∥平面CDE.

证明 取CD的中点M,连接OM,EM,则

1 OM綊 BC, 2

1 又EF綊2BC.

∴OM綊EF.

∴四边形OMEF为平行四边形,∴FO∥ME. ∵FO?平面CDE,ME?平面CDE, ∴FO∥平面CDE.

4.如图,在三棱锥P—ABC中,点O,D分别是AC,PC的 中点.

求证:OD∥平面PAB.

证明 在△ACP中,∵O为AC的中点,D为PC的中点, ∴OD∥AP. ∵OD?平面PAB,AP?平面PAB, ∴OD∥平面PAB.

5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S,E,G分 别是B1D1,BC,SC的中点,求证:直线EG∥平面BDD1B1.

证明

如图所示,连接SB. ∵E,G分别是BC,SC的中点, ∴EG∥SB.

又∵SB?平面BDD1B1,EG?平面BDD1B1, ∴直线EG∥平面BDD1B1.


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