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湖北省天门市、仙桃市、潜江市2017_2018学年高一数学下学期期末联考试题

拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。

天门仙桃潜江 2017-2018 学年度第二学期期末联考试题 高一数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x x ? x ? 3? ? 0 , B ? x ? N x ? ?2 ,则 A ? B ? ( A. ? ?2,3? B. ? 0,3? ) C. 10001 D. 10010 C. ?1, 2? D. ?0,1, 2?

?

?

?

?



2.把 18 化成二进制数是( A. 1001 B. 1010

?? 1 ? x ?1 ?? ? , x ? 3 3.已知 f ? x ? ? ?? 2 ? 则 f ?18? 的值为( ? f x?6 ,x ? 3 ? ? ?
A.



1 2

B. 1

C. 0

D. 2 )

4.下列函数中,对于定义域内的任意 x 满足 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 的是( A. f ? x ? ? 2 C. f ? x ? ? x
?x

B. f ? x ? ? log2 ? x ?1? D. f ? x ? ? sin x

?3

5.已知向量 a ? ?1, ? ? , b ? ? ?2,3? ,若向量 a ? b 与 b 垂直,则 ? 的值为( A. ?4 B. ?

?

?

? ?

?



11 3

C. ?

3 2

D.

11 3


6.按如图的程序框图,输入 m ? 2018, n ? 18 ,则输出 m 为(

1

A. 18 C. 4

B. 6 D. 2 )

7.振兴、国梦、国强、国威 4 名同学站成一排照相,则振兴站在边上的概率为( A.

5 24

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

8.中国在超级计算机方面发展迅速,跻身国际先进水平国家, 预报天气的准确度也大大提高, 天气预报说今后的三天中,每一天下雨的概率都是 40% ,我们可以通过随机模拟的方法估 计概率.我们先产生 20 组随机数 907 431 966 257 191 393 925 027 271 556 932 488 812 730 458 113 569 537 683 989

在这组数中,用 0123 表示下雨,456789 表示不下雨,那么今后的三天中都下雨的概率近似 为( A. ) B.

1 20

1 10

C.

3 20

D.

2 5

9.中国古代的数学家们最早发现并应用勾股定理, 而最先对勾股定理进行证明的是三国时期 的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图” ,用数形结合的方法,给出了勾股定理的详细 证明。在这幅“勾股圆方图”中, 4 个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成一 个大的正方形。若直角三角形的较小锐角 a 的正切值为 镖,则飞镖落在小正方形内(阴影部分)的概率是(

1 ,现向该正方形区域内投掷-枚飞 2



2

A.

1 25

B.

1 4

C.

1 5

D. 1 ?

3 2
, 若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? m 有两个零点, 则实数 m 的取

10.已知函数 f ? x ? ? ? 值范围为( A. ? ?1, 2? )

?3x ?1 ? 1, x ? 0 ?ln x, x ? 0

B. ? ?1, 2?

C. ? ?2,1?

D. ? ??, 2?

11.函数 f ? x ? ? 3sin ? ? x ?

? ?

??

? 则其图象向右平移 个单位长 ? ?? ? 0 ? 的最小正周期是 ? , 6 6?
) B. ?

度后得到的函数的单调递减区间是( A. ? ?

? ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 3 ? 6 ?
?? 3? ?

5? ?? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 6 ?3 ?

C. ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 4 ?4 ?
2 2

D. ? ?

? ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 4 ? 4 ?
2

12.设 a, b ? R, a ? b ? k( k 为常数) ,且 A. 1 B. 4 C. 7

1 1 ? 2 的最小值为 1 ,则 k 的值为( a ?1 b ?1
D. 9



第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.函数 f ? x ? ?

1 ? x2 ? 7

的定义域为



14.第十三届全国人民代表大会于 2018 年 3 月在北京召开,某市有 9 位代表参加了会议如 图的茎叶图 记录了九位代表的年龄,则这九位代表的平均年龄为 .

3

15.运行如图所示的程序,若输入的是 ?2018 ,则输出的值是



16.已知 P 是菱形 ABCD 内的一点(包括边界) ,且 AB ? 2, ?BAD ? 大值为 .

?
3

,则 AP ? AB 的最

??? ? ??? ?

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 b cos A ? a cos B ? 2 ,且

sin B ? sin C .
(1)求 c 的值; (2)求 ?ABC 面积的最大值,并判断此时三角形的形状. 18. 网购已经成为一种时尚,商家为了鼓励消费, 购买时在店铺领取优惠券,买后给予好评返 还现金等促销手段.经统计,近五年某店铺用于促销的费用 x (万元)与当年度该店铺的销售 收人 y (万元)的数据如下表: 年份 促销费用 x 销售收入 y 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年

1

1.5

2
42

2.5

3

18

28

50

62

? ?a ? ? bx ?; (1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方 y
(2)2018 年度该店铺预测销售收人至少达到 106 万元,则该店铺至少准备投入多少万元的 促销费?

4

?? 参考公式: b

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx

2

? ? ? y ? bx ,a

参考数据:

?x y
i ?1 i

5

i

? 455, ? xi 2 ? 22.5
i ?1

5

19.共享单车是城市交通的一道亮丽的风景,给人们短距离出行带来了很大的方便.某校”单 车社团” 对 A 市年龄在 ?20,70? 岁骑过共享单车的人群随机抽取 1000 人调查,骑行者的年龄 情况如下图显示。

(1) 已知 ?40,50? 年龄段的骑行人数是 ?50,60? , ?60,70? 两个年龄段的人数之和, 请估计骑 过共享单车人群的年齡的中位数; (2)从 ?50,60 ?, ?60,70 ? 两个年龄段骑过共享单车的人中按 2% 的比例用分层抽样的方法 抽取 M 人,从中任选 2 人,求两人都在 ?50,60? )的概率. 20. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? 2 ?1? n ? N *? .
n

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? log 2 an ,求数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ? 2bn ? 2 ?

21.“绿水青山就是金山银山” 。习近平主席十分重视生态环境保护某地有荒坡 2700 万亩, 若从 2010 年初开始进行绿化造林,第一年绿化 100 万亩,以后每一年比上一年多绿化 50 万 亩. (1)到哪一年可以使所有荒坡全部绿化成功? (2)若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为 0.1 万立方米,每年树木木材量的自然生长 率为 20% , 那么当整个荒坡全部绿化完成的那一年年底,共有木材多少万 立方米?(结果保
5

留整数, 1.29 ? 5.16,1.210 ? 6.19 ) 22.已知函数 f ? x ? ? x sin ? ? cos? ,其中 ? ??0, 2? ? . (1)若 f ? 2? ? 0 ,求 sin 2? 的值; (2)若 a ? R ,求 af ?1? ? sin 2? 的最大值 h ? a ? .

试卷答案 一、选择题 1-5:CDDCB 二、填空题 13. 6-10:DDACA 11、12:BC

?x ?

7 ? x ? 7 或 ? 7, 7

? ?

?

14. 50

15. 2018

16. 6

三、解答题 17.解: (1)由 b cos A ? a cos B ? 2 ,得 b ? 化简,得 c ? 2 . (2)由(1) c ? 2 ,又 sin B ? sin C ∴b ? c ? 2 所以, ?ABC 面积 S ? ∵ sin A ? 1 , 所以,三角形面积取最大值为 2 ,此时三角形为等腰直角三角形. 18.解: (1)由题意, x ? 2, y ? 40 .

c 2 ? b2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 ? a? ? 2, 2cb 2ac

1 1 b ? c sin A ? ? 2 ? 2sin A ? 2sin A , 2 2

?? b

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx

2

?

455 ? 5 ? 2 ? 40 ? 22 , 22.5 ? 5 ? 22

? ? 40 ? 22 ? 2 ? ?4 . ? ? y ? bx a
6

? ? 22 x ? 4 ; ∴ y 关于 x 的回归方程 y
(2)当 y ? 106 ,即 22 x ? 4 ? 106 , ∴ x ? 5, 则该店铺至少准备 5 万元的促销费. 19.解: (1)根据频率直方图中结论:所有频率之和为 1 , 则有: ? a ? b ? 0.015 ? 0.010 ? 0.015? ?10 ? 1 , 即有: a ? b ? 0.060 , 由 ?40,50? 年龄段的骑行人数是 ?50,60? , ?60,70? 两个年龄段的人数之和, 有: b ? 0.015 ? 0.010 ? 0.025 所以 a ? 0.035, b ? 0.025 , ∵ 0.015 ?10 ? 0.035 ?10 ? 0.5 , ∴估计骑过共享单车的人群的年龄的中位数是 40 . (2) ?50,60? , ?60,70? 两个年龄段骑过共享单车的人数分别为 150 人, 100 人, 按 2% 的比例用分层抽样的方法共抽取 5 人,其中在 ?50,60? 内有 3 人, ?60,70? 内有 2 人. 记 ?50,60? 内的 3 人分别为 A, B, C ,

?60,70? 内 2 人为1, 2 .
则任选 2 人共有: ? AB? , ? AC ? , ? A1? , ? A2? , ? BC ? , ? B1? , ? B2? , ?C1? , ?C2? , ?12 ? ,共 10 种 情况. 而两人都在 ?50,60? 内有 3 种情况, 所以所求的概率为 p ?

3 . 10
n n?1

20.解: (1)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2 ? 2 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ?1 ? 1 ,也适合. ∴ an ? 2
n ?1

? 2n?1 ,

(2)由(1)知 bn ? log2 an ? log2 2

n?1

? n ?1 ,

7

1 1 1 1 , ? ? ? bn? 2bn? 2 ? n ? 1?? n ? 2 ? n ? 1 n ? 2
∴ Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ? 2 3 3 4 4 5 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2n ? 4

21.解: (1)设从 2010 年开始,各年绿化造林的万亩数依次构成数列 ?an ? , 由题意数列 ?an ? 为等差数列, 其中 a1 ? 100, d ? 50 . 设第 n 年可以使所有荒坡全部绿化成功,由

Sn ? 100n ?

n ? n ? 1? ? 50 ? 2700 ,可记得 n ? 9 , 2

所以到 2018 年年底可以使所有荒坡全部绿化成功. (2)由(1) an ? 100 ? ? n ?1? ? 50 ? 50 ? n ?1? ,到 2018 年年底共 9 年, 设到 2018 年年底木材总量为 S 万立方米,则

S ? ?100 ?1.29 ? 150 ?1.28 ? 200 ?1.27 ? ... ? 500 ?1.2 ? ? 0.1 ? 5 ? ? 2 ? 1.29 ? 3 ?1.28 ? 4 ? 1.27 ? ... ? 10 ? 1.2 ?
记 Tn ? 2 ?1.29 ? 3?1.28 ? 4 ?1.27 ? ... ? 10 ?1.2 ①

1.2Tn ? 2 ?1.210 ? 3?1.29 ? 4 ?1.28 ? ... ? 10 ?1.22 ②
②-①,得

0.2Tn ? 2 ?1.210 ? (1.29 ?1.28 ? ... ?1.22 ) ?10 ?1.2
? 2 ?1.2 ?
10

1.22 ? ?1.28 ?1? 1.2 ? 1

? 12 ? 7 ?1.210 ? 19.2

10 ∴ T ? 5 ? 7 ? 1.2 ? 19.2

?

? ?

10 ∴ S ? 5 ? 5 7 ?1.2 ? 19.2 ? 603

?

故到 2018 年底,共有木材 603 万立方米. 22.解: (1)由 f ? 2? ? 0 ,得 2sin ? ? cos ? ? 0 , ∴ tan ? ?

1 2
8

∴ sin 2? ?

?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

2sin ? cos ? sin 2 ? ? cos 2 ?

1 2 ? 2 ?1? 1? ? ? ?2? 2?
? 4 5

(2) af ?1? ? sin 2? ? a ?sin ? ? cos? ? ? 2sin ? cos? . 设 t ? sin ? ? cos ? ?

?? ? 2 sin ? ? ? ? ? ? ? 2, 2 ? ?, 4? ? ?
2

则 2sin ? cos ? ? 1 ? t . ∴ af ?1? ? sin 2? ? a ?sin ? ? cos? ? ? 2sin ? cos?

? ?t 2 ? at ? 1
记 g ? t ? ? ?t 2 ? at ? 1 ? ? ? t ? (1)当

? ?

a ? a2 ? ? ?1. 2? 4

2

a ? ? 2 ,即 a ? ?2 2 时, 2

g ? t ?max ? g ? 2 ? ? 2a ? 1;
(2)当 ? 2 ?

?

?

a ? 2 ,即 ?2 2 ? a ? 2 2 时, 2
2

?a? a g ? t ?max ? g ? ? ? ? 1 ; ?2? 4
(3)当

a ? 2 ,即 a ? 2 2 时, 2

g ? t ?max ? g

? 2? ?

2a ? 1 .

?? 2a ? 1, a ? ?2 2 ? 2 ?a 综上, h ? a ? ? ? ? 1, ?2 2 ? a ? 2 2 ?4 ? 2a ? 1, a ? 2 2 ?

9


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