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高中数学第一单元常用逻辑用语1.3.1 推出与充分条件、必要条件教学案新人教B版选修1_1

1.3.1 学习目标 推出与充分条件、必要条件 1.结合具体实例,理解充分条件、必要条件及充要条件的意义.2.能准确判断各 类命题中的充分性、必要性、充要性. 知识点一 命题的结构 思考 1 你能把“内错角相等”写成“如果…,则…”的形式吗? 思考 2 “内错角相等”是真命题吗? 梳理 命题的形式“如果 p,则 q”,其中命题的条件是 p,结论是 q. 知识点二 充分条件与必要条件的概念 给出下列命题: (1)如果 x>a +b ,则 x>2ab; (2)如果 ab=0,则 a=0. 思考 1 你能判断这两个命题的真假吗? 2 2 思考 2 命题(1)中条件和结论有什么关系?命题(2)中呢? 梳理 一般地,“如果 p,则 q”为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q.这时,我们就说, 由 p 可推出 q, 记作________, 并且说 p 是 q 的________________, q 是 p 的________________. 知识点三 充要条件的概念 思考 1 命题“若整数 a 是 6 的倍数, 则整数 a 是 2 和 3 的倍数”中条件和结论有什么关系? 它的逆命题成立吗? 1 思考 2 若设 p:整数 a 是 6 的倍数,q:整数 a 是 2 和 3 的倍数,则 p 是 q 的什么条件?q 是 p 的什么条件? 梳理 一般地,如果既有 p? q,又有 q? p,就记作________.此时,我们说,p 是 q 的 ________________________,简称________________. 知识点四 充要条件的判断 1.命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类 (1)充分且必要条件(充要条件),即 p? q 且 q? p; (2)充分不必要条件,即 p? q 且 q? / p; (3)必要不充分条件,即 p? / q 且 q? p; (4)既不充分也不必要条件,即 p? / q 且 q? / p. 2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 若 A? B,则 p 是 q 的充分条件,若 A B,则 p 是 q 的充分不 必要条件 若 B? A,则 p 是 q 的必要条件,若 B A,则 p 是 q 的必要不 充分条件 若 A=B,则 p,q 互为充要条件 若 A?B 且 B?A,则 p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条 件 其中 p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}. 类型一 判断充分条件与必要条件 2 命题角度 1 定义法判断充分条件与必要条件 例 1 指出下列各组命题中 p 是 q 的什么条件? (1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0; (2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等; (3)在△ABC 中,p:∠A>∠B,q:BC>AC; (4)在△ABC 中,p:sin A>sin B,q:tan A>tan B. 反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法: ①确定谁是条件,谁是结论; ②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件; ③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件. (2)命题判断法: ①如果命题:“如果 p,则 q”为真命题,那么 p 是 q 的充分条件,同时 q 是 p 的必要条件; ②如果命题:“如果 p,则 q”为假命题,那么 p 不是 q 的充分条件,同时 q 也不是 p 的必要 条件. 跟踪训练 1 下列各题中,p 是 q 的什么条件?(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充 分也不必要条件) (1)p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是矩形; (2)p:x=1 或 x=2,q:x-1= x-1; (3)p:m>0,q:x +x-m=0 有实根. 2 命题角度 2 用集合观点判断充分条件、必要条件 例 2 (1)“|x|<2”是“x -x-6<0”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 2 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) (2)设集合 M={x||x-1|<2},N={x|x(x-3)<0},那么“a∈M”是“a∈N”的( A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3 反思与感悟 设集合 A={x|x 满足 p}, B={x|x 满足 q}, 则 p? q 可得 A? B; q? p 可得 B? A; p?q 可得 A=B, 若 p 是 q 的充分不必要条件, 则 A B.若 B A, 则 p 是 q 的必要不充分条件. 1 跟踪训练 2 (1)“x>1”是“log (x+2)<0”的( 2 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (2)x> 2 的 一 个 必 要 不 充 分 条 件 是 __________ ; x + y>0 的 一 个 充 分 不 必 要 条 件 是 ________________. ) 类型二 充分条件、必要条件的应用 命题角度 1 由四种条件求参数的范围 例 3 已知 p: 2x -3x-2≥0, q: x -2(a-1)x+a(a-2)≥0, 若 p 是 q 的充分不必要条件. 求 实数 a 的取值范围. 2 2 反思与感悟 在涉及到求参数的取值范围与充分、必要条件有关的问题时,常常借助集合的 观点来考虑.注意推出的方向及推出与子集的关系. 跟踪训练 3 ?x -x-6≤0, ? 设 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a>0,q:实数 x 满足? 2 ?x +2x-8>0, ? 2 2 2 若 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围为________. 命题角度 2 充要条件的探求与证明 例 4 求关于 x 的一元二次不等式 ax -ax+1-a>0 对于一切实数 x 都成立的充要条

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