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2019-2020人教A版高中数学选修2-3课件《2.3.1离散型随机变量的均值》优质课件_图文

高中数学课件
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高二数学选修2-3
2.3.1离散型随机变 量的均值

一、复习回顾

1、离散型随机变量的分布列

X

x1

x2 ··· xi

···

P

p1

p2 ··· pi

···

2、离散型随机变量分布列的性质:
(1)pi≥0,i=1,2,…; (2)p1+p2+…+pi+…=1.

复习引入
对于离散型随机变量,可以由它的概率分布列确定与 该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中,有时 我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如, 要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平,很重 要的是看平均分;要了解某班同学数学成绩是否“两 极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个 方面的特征,最常用的有期望与方差.

二、互动探索

1、某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1,

1,2,2,2,3,3,4;则所得的平均环数是

多少?

X ? 1?1?1?1?2?2?2?3?3?4 ? 2 10

把环数看成随机变量的概率分布列:权数

X

1

2

3

4

P

4

3

2

1

10

10

10

10

加权平均

X ? 1? 4 ? 2? 3 ? 3? 2 ? 4? 1 ? 2 10 10 10 10

2、某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg, 36元/kg的3种糖果按3:2:1的比例混合销售, 如何对混合糖果定价才合理?

把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列:

X 18 24 36

P

3

2

1

6

6

6

X ? 18? 1 ? 24? 1 ? 36? 1 ? 23(元 / kg)

2

3

6

一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:
X x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xi pi ? ? ? xn pn
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离 散型随机变量取值的平均水平。

X x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn
EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xi pi ? ? ? xn pn
思考:
设Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是 随机变量. (1)Y的分布列是什么? (2)EY=?

X x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn

X x1
Y ax1 ? b
P p1

x2
ax2 ? b
p2

··· xi ··· axi ? b
··· pi

··· xn ···axn ? b
··· pn

EY ? (ax1 ? b) p1 ? (ax2 ? b) p2 ? ?? (axn ? b) pn
? a( x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xn pn ) ? b( p1 ? p2 ? ? ? pn )

? aEX ? b

一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xi pi ? ? ? xn pn
二、数学期望的性质
E(aX ? b) ? aEX ? b

三、基础训练

1、随机变量ξ的分布列是

ξ

1

3

5

P

0.5

0.3

0.2

(1)则Eξ=. 2.4 (2)若η=2ξ+1,则Eη=. 5.8

2、随机变量ξ的分布列是

ξ

4

7

P

0.3

a

9

10

b

0.2

Eξ=7.5,则a=b=0. .1

0.4

四、例题讲解

例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,则他罚球1次的得分X的均值是多少?

小结: 一般地,如果随机变量X服从两点分布,

X

1

0

P

p

1-p

则 EX ? 1? p ? 0? (1 ? p) ? p

例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,他连续罚球3次; (1)求他得到的分数X的分布列; (2)求X的期望。

解:(1)X~B(3,0.7)

X0

1

2

3

P

0.33

C

1 3

0.7

?

0.3

2

C

2 3

0.7

2

?

0.3

0.73

(2)

EX

?

0? 0.33

?

1

?

C

1 3

0.7

?

0.32

?

2

?

C

2 3

0.7

2

? 0.3 ?

3? 0.73

EX ? 2.1 ? 3? 0.7

小结: 一般地,如果随机变量X服从二项分布,
即X~B(n,p),则 EX ? np

基础训练:

一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄

球,从中有放回地取5次,则取到红球次数

的数学期望是.

3

五、巩固应用
1.一次英语单元测验由20个选择题构成,每 个选择题有4个选项,其中有且只有一个选 项是正确答案,每题选择正确答案得5分, 不作出选择或选错不得分,满分100分,学 生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在 测验中对每题都从4个选项中随机地选择一 个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的 成绩的期望。

2.决策问题: 根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25, 有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上有一台大型 设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时 要损失10000元。为保护设备,有以下种方案:
方案1:运走设备,搬运费为3800元。
方案2:建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能
挡住小洪水。
方案3:不采取措施,希望不发生洪水。
试比较哪一种方案好。

3.某商场的促销决策:
统计资料表明,每年国庆节商场内促销活动可 获利2万元;商场外促销活动如不遇下雨可获 利10万元;如遇下雨则损失4万元。9月30 日气象预报国庆节下雨的概率为40%,商场 应选择哪种促销方式?

4.(07全国)某商场经销某商品,根据以往资料统
计,顾客采用的分起付款期数的? 分布列为:
?1 2 3 4 5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200 元,分2期或3期付款,其利润为250元,分4期或5
期付款,其利润为300元,表? 示经销一件该商品的利
润。
(1)求事件A:”购买该商品的3位顾客中,至少有 一位采用1期付款”的概率P(A);
(2)求的?分布列及期望E。 ?

练习: 1、若保险公司的赔偿金为a(a>1000)元,为使保险 公司收益的期望值不低于a的百分之七,则保险公司应 将最大赔偿金定为多少元?
? 1000 1000-a
P 0.97 0.03
E=?1000-0.03a≥0.07a
得a≤10000 故最大定为10000元。

2、射手用手枪进行射击,击中目标就停止,否则继续射 击,他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击 次数的期望。(保留三个有效数字)

?1

2

3

4

5

p

0.7

0.3× 0.32× 0.33× 0.7 0.7 0.7

0.34

E?=1.43

六、课堂小结
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xi pi ? ? ? xn pn
二、数学期望的性质
E(aX ? b) ? aEX ? b

三、如果随机变量X服从两点分布,

X

1

0

P

p

1-p

则 EX ? p

四、如果随机变量X服从二项分布,即
X~B(n,p),则 EX ? np

证明:若ξ~B(n,p),则Eξ=np

证明:

? P(ξ

?

k)

?

C

k n

pk

q

n?k

(k

? 0,1,2,? ? ?, n)

? Eξ

?

0

?

C

0 n

p

0

q

n

?

1? C1n p1q n?1

?

????

kC

k n

p

k

q

n

?k

?????

nC

n n

p

n

q

0

?

np(C

0 n

?1p

0

q

n

?1

?

C1n?1p1q n?2

?

????

C p q k ?1 k ?1 (n ?1)?(k ?1) n ?1

?

?

?

?

?

C

n n

p ?1
?1

n

?1q

0

)

? np( p ? q)n?1 ? np.

所以 若ξ~B(n,p),则Eξ=np.


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