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高三数学总复习曲线和方程课件

高三数学总复习

9.5 曲线与方程
松口中学 李利辉 制作

第五节曲线与方程
基础梳理
1. 曲线的方程与方程的曲线 若二元方程f(x,y)=0是曲线C的方程,或曲线C是方程f(x,y)=0的曲线, 则必须满足以下两个条件: (1)曲线C上点的坐标都是这个方程的解 ; (2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线C上的点 . 2. 求曲线方程的五个步骤: (1)建立适当的坐标系; (2)设曲线上任意一点M的坐标为(x,y); (3)列出符合条件P(M)的方程f(x,y)=0; (4)化方程f(x,y)=0为最简形式; (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.

典例分析
题型一 直接法求曲线方程 【例1】已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为坐标平面上的 动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且Q 求动 P ? Q FF ? P ? F Q 点P的轨迹方程C. 分析 设P点坐标为(x,y),再表示出Q点, , 的坐标,直接代入满足的条件求 P点轨迹方程. QP Q F FP FQ , ,

解 设动点P(x,y),则Q(-1,y). P ? Q FF ? P ? F Q 由 Q ,得( x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化简 y2 ? 4x 得C: 学后反思 当动点所满足的条件本身就是一些几何量的 等量关系或这些几何条件简单明了易于表达时,只要 将这种关系“翻译”成含x、y的等式就能得到曲线的 轨迹方程,这种求轨迹方程的方法称之为直接法.

举一反三
1. 已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4,求点P

的轨迹方程.
解析: 设P(x,y),则 化简,得
2 1 ?x ? 3? 4 ?x? ? ?y 2

(1)当x≤3时,方程变为

2 2 ,? 1 1 3 ? x? 4 . ?x? ? ?x? ? ?y

2

?y2 ?x? 1
2

y2 ? 4x
2 2

(2)当x>3时,方程变为 ?x? , x? 1 3 ? 4 ? ?y ?
2 故所求的点 P 的轨迹方程是 y ? ? 1 2 4 ?x? ?

?x?1 ? ?y2 ?7?x 化简 ,得

,0≤x≤3,

,3<x≤4. ? ?4 x 2 y ?? ? ??12 ? x ? 4 ?

题型二 利用定义或待定系数法求曲线方程 【例2】已知圆 C 1 : 程.
?y2 ?1 : ?x?3? 和圆
2

C

2

?x?3?

2

?y2 ?9

动圆M同时与圆 .求动圆圆心M的轨迹方 C 1 及圆 C 相外切 2

r 1 半径 分析 设圆 C 半径 ,圆 半径R,则由两圆外切 C 2 ,动圆r M 1 2
性得 ∴ ,M C 1 ? R? r 1 (定值 )> 0, M C M C r r 2? 1? 2? 1
M C 2 ? R?r 2

故可考虑用双曲线定义求轨迹.

解 设动圆M与圆C 1及圆 C分别外切于点 A和点B, 2 根据两圆外切的充要条件,得
C B C M B ,1? M C A C M A M 2? 2? 1?

∵MA=MB, ∴ M C ? A CM ?CB ? C 1 1 2 2 即 M C ? M C ? B C ? A C ? 3 ? 1 ? 2 2 1 2 1 这表明动点M到两定点C 1 、 C 的距离的差是常数 2. 2 根据双曲线的定义,动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到 C 2 的距离大,到 C 的距离小), 1 其中a=1,c=3,则 b 2 ? .设点 8 2 M的坐标为(x,y), y 则其轨迹方程为 x 2 ? (x≤1). ?1

8

学后反思 解决本题的关键是找到动点M满足的条件,对于 两圆相切问题,自然考虑圆心距与半径的关系.当判断出动 点的轨迹是双曲线的一支,且可求出a,b时,则直接写出其 标准方程,这种求曲线方程的方法称为定义法.

举一反三
2.如图,已知线段AB=4,动圆O′与线段AB切于点C, 且AC-BC= 2 2 .过点A、B分别作圆O′的切线,两切线相交 于P,且P、O′均在AB同侧.建立适当坐标系,当O′位置变 化时,求动点P的轨迹E的方程.

解析: 以线段AB的中点为原点,AB所在直线为x轴,建立 平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0).设P(x,y), 由已知,得PA-PB=AC-BC= 2 2 <4. 根据双曲线的定义,动点P的轨迹为双曲线的右支且 a=2,c=2,则 b 2 ? 2
2 2 x y 所以轨迹E的方程为 ? (x>2). ?1 2 2

题型三 用相关点法求轨迹方程 【例3】 已知长为 1 ? 的线段 AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑 2 动,P是AB上一点,且 A P ? 求点P的轨迹方程.
2 PB 2

分析 由A、B两点分别在x轴、y轴上,且 A P ? ,得 PP B点的坐
标可以用A、B两点的坐标表示出来,而|AB|= ,故可求得
1? 2 A、B坐标满足的关系式,再把P点的坐标代入所求的关系式

2 2

即可得到P点的轨迹方程.
解 设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),因为
AP ? 2 PB 2

又A ,x P ? x ? ,y ? ? P B ?? , 0? y ? xy ? 0 2 所以 x ? x 0 ? ? , 2 y? ? y0 ? y ? 2 2 即 x ? (1 ? , 2 ) x 0 y 1? 2)y 0 ?( 2 2 2 2 因为AB= ,即 x y ( 1 ?2 ) 0 ? 0 ? 所以 ? ?
2 ?? 2 2 ? ? 1 ? x ? ( 1 ? 2 ) y ? ( 1 ? 2 ) ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ?? ? ? 2

2 化简得 x ? y 2,故点 ? 1 P的轨迹方程为

2

x2 ? y2 ? 1 2

学后反思 对涉及较多点之间的关系问题,可先设出它们各 自的坐标,并充分利用题设建立它们之间的相关关系;再对

它们进行转化和化简,最后求出所求动点坐标所满足的方程.
这种根据已知动点的轨迹方程,求另外一点的轨迹方程的方 法称为代入法或相关点法.

举一反三 3. 点P是圆 上的动点, ? 4 ? 1 4 O是坐标原点,求线段 ?x ?? ?y ??
2 2

OP的中点Q的轨迹.

解析: 设 P? x0 , ,Q(x,y), 则 y0 ?
∴ x0 ?, 2 x ∵ ∴
y0 ? 2 y

,

x ?

x0 2

y0 y ? 2

y0 ? ? x0 ,是圆上的动点,
2 x ? 4 2 y ? 1 4 ? ?? ? ??
2 2

2 2 ∴ ? x ? 4 ? y ? 1 ? 4 ? ? ? 0 0

1? ? 即 ?x?2? ?? y ? ? ?1 2? ?
2

2

题型四 用参数法求轨迹方程

2 y 【例4】(14分)设椭圆方程为 x 2 ? ,过点 ? 1 M(0,1)的直 4

线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,l上的动点P满足
1 当 lO 绕点 O P? O A ? B M旋转时,求动点P的轨迹方程. 2

?

?

分析 设出直线l的方程,和A、B两点的坐标,并将直线l方程
与椭圆方程联立,求出
1 P坐 , x 2 ,由y 1 ? y 2 可表示出点 x1 ? O P? ?O A ?O B ? 2

标,再用消参法求轨迹方程.

解 直线l过点M(0,1),当l的斜率存在时,设其斜率为k,则l 的方程为y=kx+1……………………………………….1′

设 A? x1,、 y1 ?
程组 ? x1 , y1 ?

,由题设可得点 A、B的坐标 B ? x2, y2 ?



是方

? y ? kx ? 1 ? ? 2 y2 x ? ?1 的解.? ② ? 4 2 2 将①代入②并化简,得 ( ,……………4′ 4 ? k ) x? 2 k x ?? 30

? x,① 2 , y2 ?

则 ? x ? x ? ? 2k 2 ? ? 1 4? k2 ………………………………… 8′ ? ?y ? y ? 8 1 2 ? 4? k2 ?

于是

设点P的坐标为(x,y),则

x ? x ? 1 ? k 4 ? ? ? ? 1 2yy 1 2 O P ? O A ? O B ? , ? , 2 ………10′ ? 2 ? ? ? 2 4 ? k 4 ? k ? ? ?2 2 ?

?

?

2 2 消去参数k,得 4 (y≠0) ③……………….12′ x ?y ?y?0

? x ? ? ? 4 ? ?y ? ? 4 ?

?k ? k2 4 ? k2

当直线l的斜率不存在时,可得A、B的中点坐标为原点(0, 0),也满足方程③,所以点P的轨迹方程为
2 2 …………………………………..14’ 4 x ?y ?y?0

学后反思 本题运用了参数法求轨迹.当动点P的坐标x、y之间 的直接关系不易建立时,可适当地选取中间变量t,并用t表示

动点的坐标x、y,从而得到动点轨迹的参数方程

? ? x ? f ?t? ? ? ? y ? g ?t?

消去参数t,便可得到动点P的轨迹方程.其中应注意方程的等

价性和参数t与动点P(x,y)关系的密切性.

举一反三
4. 过抛物线 y 2 ? 的顶点 4 x O引两条互相垂直的直线分别与抛物线 相交于A、B两点,求线段AB的中点P的轨迹方程. 解析: 由题意知,两直线的斜率都存在.设直线OA的斜率为 1 k,则OA:y=kx,OB: y ? ? x k 由 y ? kx ? ? 4 4? ? 2得 A ? 2, ? ?y ? 4x ?k k ? 1 同理由 ? y ? ? x ? k ? 2 B 4 k ,? 4 k? 得 ? ?y2 ? 4x ? 设P(x,y),则 ? 1 ?① 2 ?
?x ? 2? k2 ? k ? ? ? ? ? ?y ? 2?1 ? k? ? ? ? ? ? ②? k

8 由②^2-2×①,得 y2 ?2x ?? 即

y 2 ? 2x ? 8

2 故线段AB的中点P的轨迹方程为y ? 2x ? 8

易错警示
【例】 ?4 x、B两点,求以OA、 过点P(0,-2)的直线l交抛物线 y 2 于 A OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M的轨迹方程. 错解 如右图,设M(x,y), A? x1,,y1 ? B ,直线 l的方 ? x2, y 2? 程为y+2=kx,即y=kx-2. 由 ? y ? kx ? 2 ? 2 4 x y,得 消去 ?y ?
22 k x ? 4 k ? 1 x ?? 40 ? ?

4?k ?1 ? ? x ? ∴ x , 1 2 k2

x1 x 2 ?

∴ ∵四边形OAMB为平行四边形, ∴ ? 4 ? k ? 1?
x ? x1 ? x 2 ? ? ? k2 ? ?y ? y ? y ? 4 1 2 ? k ?

4 y ? y ? k x ? x ? 4 ? ? ? 1 2 1 2 k

4 k2

消去k,得 ?y? 2 1 ? ?4 ?x? ? 2 ∴点M的轨迹方程为 ?y? 2 1 ? ?4 ?x? ?
2

错解分析 直线l与抛物线交于不同的两点A、B,则l的斜率一 定存在且受有两个交点的限制,故应由此确定k的取值范围, 错解中忽视了k的取值范围,导致错误.
B? x2 , y 正解 设M(x,y), A? x1 , , y1 ? ,直线 l的方程为 2? y+2=kx,即y=kx-2(k≠0). 由 ? y ? kx ? 2 22 ? 2 消去y,得 k x ? 4 k ? 1 x ?? 40 ? ? ?y ? 4x

4?k ?1 ? x ? x ? ∴ 1 2 , k2

x1 x 2 ?

4 k2

4 y ? y ? k x ? x ? 4 ? ∴ 1 2 ? 1 2? k

又四边形OAMB为平行四边形, ∴ ? 4 ? k ? 1?

x ? x1 ? x 2 ? ? ? k2 2 ? ??? ? 4 ? k ? 1? ? ? 16 k 2 ? 16 ? 2 k ? 1 ? ? 0 ? ? 4 ?y ? y ? y ? 1 2 1 ? k?? k ? 2 2 消去k,得 ?y? 4? 2 ? ?4 ?x y? ?1
k

? ? 4x 又l与抛物线 y ?交于不同两点 A、B,
2
2

? y ? 2?

? 4 x ?1

2 ? ? 4 k ? 1 ? 1 6 k ? 1 6 210 k ? ? ? ? ∴ ? ? ? ? ? ? ? 2

1 解得 k ? ?且k≠0,又 2

y ? -8或y>0. ,∴y<
2

4 k

2 1 综上,M点的轨迹方程为?y? (y<-8 ? ?4 ?x? ?或y>0).

考点演练
10. 已知点Q是曲线 y ? 上的动点,点 A的坐标为(1,0),求线 x2

段QA的中点P的轨迹方程.
解析: 设P(x,y),Q(x0,y0),则由中点坐标公式,得
x0 ? 1 ? x ? ?? 解得 2 ? ? y ? y0 ?? 2

? x0 ? 2 x ? 1 ? ? y0 ? 2 y

∵点Q在曲线 y ? 上,∴ x2 ∴
2 ,化简得 2y ??2x ?1 ?

y 0 ? x0 2
1? ? y ? 2? x ? ? 2? ?
2

11. 若直线y=kx+b交抛物线x 2 ? ? 于 y A、B两点,已知 |AB|= 4 ,线段 AB的中点纵坐标等于-5,求k,b的值. 5 解析: 由 得
? y ? kx ? b ? 2 ?x ? ?y

2 x ? k x ? b ? 0 设 A x ,,y B ? x2, y2 ? ? 1 1 ? ,则
2 2

? x1 ? x 2 ? ? k ? ? x1 x 2 ? b
2

2 A B ?? x ? x y ? y 1 ? k x ? x ?? ? ? ?? ? ? ? 1 2 1 2 1 2 2 2 ?? 1 ? k k ? 4 b ? ? ?



1 ? k? k? 4 b 8 0 ? ? ?? .①
2 2

2 x ? x k ? k x ??? bk 1 2?? b? ? b 又 y 中 中 2 2



k2 ? ?b ? ?5 ,即 2

2 b ? 1 0 ? 0 .k ②?
2

由②,得 2 代入①,得 b?k2,? 1 0

4 2 k ? 1 9 k ? 6 0 ? 0



k2或 ? 4

k 2 ? 15

∴ ?k=±2, ? b=-3 或 k= ? 1 5 ? b= 5 .经检验均符合要求. 2 12. 如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边 所在直线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD边所在直 线上. (1)求AD边所在直线的方程; (2)求矩形ABCD外接圆的方程.

解析: (1)∵AB边所在直线的方程为x-3y-6=0, 且AD与AB垂直,∴直线AD的斜率为-3.

又∵点T(-1,1)在直线AD上,∴AD边所在直线的方程为
y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0. (2)由 ?x-3y-6=0, ? 3x+y+2=0, 得点A的坐标为(0,-2). ? ∵M为矩形ABCD外接圆的圆心,且
2 2 AM= ? 0 ? 2 2, 2 ?2 ?? ?0 ??

∴矩形ABCD外接圆的方程为 ?x?2? ?y2 ?8
2


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