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稷山县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

稷山县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知球的半径和圆柱体的底面半径都为 1 且体积相同,则圆柱的高为( A.1 B. C.2 D.4 ) )

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 在等差数列{an}中,a1+a2+a3=﹣24,a10+a11+a12=78,则此数列前 12 项和等于( A.96 B.108 C.204 D.216 )

3. 直角梯形 OABC 中, AB A OC , AB ? 1, OC ? BC ? 2 ,直线 l : x ? t 截该梯形所得位于左边图 形面积为,则函数 S ? f ? t ? 的图像大致为(

4. 如图, ABCD ? A1 B1C1 D1 为正方体,下面结论:① BD // 平面 CB1 D1 ;② AC1 ? BD ;③ AC1 ? 平 面 CB1 D1 .其中正确结论的个数是( )

A.

B.

C.

D. , ),则它的直角坐标为( C.( , , ) ) D.( , , ) )

5. 已知点 M 的球坐标为(1, A.(1, 6. ( A.120 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 查,属于中等难度. + , ) B.( ,

, )

)2n(n∈N*)展开式中只有第 6 项系数最大,则其常数项为( B.210
2 2

C.252

D.45 )

7. “ a ? b ? 3 ”是“圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 5a ? 0 关于直线 y ? x ? 2b 成轴对称图形”的( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识,有一定的综合性,突出化归能力的考

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8. AD, BE 分别是 ?ABC 的中线,若 AD ? BE ? 1 ,且 AD 与 BE 的夹角为 120 ,则 AB ? AC =(
?

????

??? ?

??? ? ????



(A)

1 3

( B )

4 9

(C)

2 3


(D)

8 9

9. 若 f(x)=x2﹣2x﹣4lnx,则 f′(x)>0 的解集为( A.(0,+∞) 下: 性别 是否需要志愿者 需要 不需要 由K ?
2

B.(﹣1,0)∪(2,+∞)

C.(2,+∞)

D.(﹣1,0)

10.为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如

男 40 160

女 30 270

n(ad ? bc) 2 500 ? (40 ? 270 ? 30 ?160) 2 2 ? 9.967 算得 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 200 ? 300 ? 70 ? 430

附表:

P( K 2 ? k ) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828 参照附表,则下列结论正确的是(
) ①有 99% 以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”; ②有 99% 以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”; ③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好; ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好; A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ ≤0},则 N∩M( )

11.若集合 M={y|y=2x,x≤1},N={x|

A.(1﹣1,] B.(0,1] C.[﹣1,1] D.(﹣1,2]   12.计算 log25log53log32 的值为( ) A.1   B.2 C.4 D.8

二、填空题
13. B, C 的对边分别为 a, b, c, 在△ABC 中, 角 A, 已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. 若 C=   , 则 =  .

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14.已知函数 f(x)=

,若 f(f(0))=4a,则实数 a=  .

15.用“<”或“>”号填空:30.8      30.7.   16.将一张坐标纸折叠一次,使点 ? 0, 2 ? 与点 ? 4, 0 ? 重合,且点 ? 7,3? 与点 ? m, n ? 重合,则 m ? n 的 值是 . ﹣m 在 x=1 处取得极值,则实数 m 的值是  . 

17.若函数 f(x)=

18.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中① BM 与 ED 平行;② CN 与 BE 是异面直线; ③ CN 与 BM 成 60? 角;④ DM 与 BN 是异面直线. 以上四个命题中,正确命题的序号是 (写出所有你认为正确的命题).

三、解答题

19.(本小题满分 12 分)已知 A ? 2,1? , B ? 0, 2 ? 且过点 P ?1, ?1? 的直线与线段 AB 有公共点, 求直 线的斜率的取值范围.

20.已知集合 A={x|2≤x≤6},集合 B={x|x≥3}. (1)求 CR(A∩B); (2)若 C={x|x≤a},且 A ? C,求实数 a 的取值范围.

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21.(本小题满分 13 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,直线 l : x ? my ? 1 经过点 F1 与椭圆 C 交于点 a 2 b2 2 . M ,点 M 在 x 轴的上方.当 m ? 0 时, | MF1 |? 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; S ?MF1F2 (Ⅱ)若点 N 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的一点, MF1 / / NF2 ,且 ? 3 ,求直线 l 的方程. S ?NF1F2
椭圆 C :

22.(本小题满分 12 分) 两个人在进行一项掷骰子放球游戏中,规定:若掷出 1 点,甲盒中放一球;若掷出 2 点或 3 点,乙盒中 放一球;若掷出 4 点或 5 点或 6 点,丙盒中放一球,前后共掷 3 次,设 x, y, z 分别表示甲,乙,丙 3 个 盒中的球数. (1)求 x ? 0 , y ? 1 , z ? 2 的概率; (2)记 ? ? x ? y ,求随机变量 ? 的概率分布列和数学期望. 【命题意图】 本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识, 意在考查学生的统计思想和基本的运算能力.

23.已知函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)的图象经过点(2, ).

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(1)求 a 的值; (2)比较 f(2)与 f(b2+2)的大小; (3)求函数 f(x)=a (x≥0)的值域.

24.(本小题满分 10 分)选修 4?4:坐标系与参数方程. =1+3cos α 在直角坐标系中,曲线 C1: x (α 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 y=2+3sin α

{

)

标系,C2 的极坐标方程为 ρ=

. π sin(θ+ ) 4 (1)求 C1,C2 的普通方程; (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ=3π(ρ∈R),设 C3 与 C1 交于点 M,N,P 是 C2 上一点,求△PMN 的面 4 积.

2

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稷山县高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:设圆柱的高为 h,则 V 圆柱=π×12×h=h,V 球= ∴h= . = ,

故选:B.   2. 【答案】B 【解析】解:∵在等差数列{an}中,a1+a2+a3=﹣24,a10+a11+a12=78, ∴3a2=﹣24,3a11=78,解得 a2=﹣8,a11=26, ∴此数列前 12 项和 =6×18=108, 故选 B. 【点评】本题考查了等差数列的前 n 项和公式,以及等差数列的性质,属于基础题.   3. 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意得,当 0 ? t ? 1 时, f ? t ? ? =

1 ? t ? 2t ? t 2 ,当 1 ? t ? 2 时, 2 ?t 2 , 0 ? t ? 1 1 f ? t ? ? 1? 2 ? ? (t ? 1) ? 2 ? 2t ? 1 ,所以 f ? t ? ? ? ,结合不同段上函数的性质,可知选项 C 符 2 ?2t ? 1,1 ? t ? 2

合,故选 C. 考点:分段函数的解析式与图象. 4. 【答案】 D 【解析】

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考 点:1.线线,线面,面面平行关系;2.线线,线面,面面垂直关系. 【方法点睛】本题考查了立体几何中的命题,属于中档题型,多项选择题是容易出错的一个题,当考察线面平 行时, 需证明平面外的线与平面内的线平行, 则线面平行, 一般可构造平行四边形, 或是构造三角形的中位线, 可证明线线平行,再或是证明面面平行,则线面平行,一般需在选取一点,使直线与直线外一点构成平面证明 面面平行,要证明线线垂直,可转化为证明线面垂直,需做辅助线,转化为线面垂直. 5. 【答案】B 【解析】解:设点 M 的直角坐标为(x,y,z), ∵点 M 的球坐标为(1, ∴x=sin cos = ,y=sin , sin ), = ,z=cos =

∴M 的直角坐标为( , 故选:B.

, ).

【点评】假设 P(x,y,z)为空间内一点,则点 P 也可用这样三个有次序的数 r,φ,θ 来确定,其中 r 为原 点 O 与点 P 间的距离,θ 为有向线段 OP 与 z 轴正向的夹角,φ 为从正 z 轴来看自 x 轴按逆时针方向转到 OM 所转过的角,这里 M 为点 P 在 xOy 面上的投影.这样的三个数 r,φ,θ 叫做点 P 的球面坐标,显然,这里 r, φ,θ 的变化范围为 r∈[0,+∞),φ∈[0,2π],θ∈[0,π],   6. 【答案】   B 【解析】 【专题】二项式定理. 【分析】由已知得到展开式的通项,得到第 6 项系数,根据二项展开式的系数性质得到 n,可求常数项. 【解答】解:由已知( + )2n(n∈N*)展开式中只有第 6 项系数为 最大,

所以展开式有 11 项,所以 2n=10,即 n=5,

第 7 页,共 14 页

又展开式的通项为 令 5﹣ =0 解得 k=6, =210;

=



所以展开式的常数项为 故选:B

【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项;解得本题的关键是求出 n,利用通项求特征项. 7. 【答案】 A









8. 【答案】C

? 2 ???? 2 ??? ? ? ???? ? ??? ? ???? 1 ??? AB ? AD ? BE AD ? ( AB ? AC ), ? ? ? ? 3 3 2 【解析】由 ? , ??? ? 1 ??? ? ???? 解得 ? ???? 4 ???? 2 ??? ? ? BE ? (?2 AB ? AC ), ? AC ? AD ? BE ? ? ? 2 3 3 ? ??? ? ???? 2 ???? 2 ??? ? 4 ???? 2 ??? ? 2 AB ? AC ? ( AD ? BE ) ? ( AD ? BE ) ? . 3 3 3 3 3

9. 【答案】C 【解析】解:由题,f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2x﹣2﹣ 令 2x﹣2﹣ >0,整理得 x2﹣x﹣2>0,解得 x>2 或 x<﹣1, ,

结合函数的定义域知,f′(x)>0 的解集为(2,+∞). 故选:C.   10.【答案】D 【解析】解析:本题考查独立性检验与统计抽样调查方法.

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由于 9.967 ? 6.635 ,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关,②正确;该地区老年 人是否需要帮助与性别有关, 并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显 差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法 比采用简单随机抽样方法更好,④正确,选 D. 11.【答案】B 【解析】解:由 M 中 y=2x,x≤1,得到 0<y≤2,即 M=(0,2], 由 N 中不等式变形得:(x﹣1)(x+1)≤0,且 x+1≠0, 解得:﹣1<x≤1,即 N=(﹣1,1], 则 M∩N=(0,1], 故选:B. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.   12.【答案】A 【解析】解:log25log53log32= 故选:A. 【点评】本题考查对数的运算法则的应用,考查计算能力.   =1.

二、填空题
13.【答案】 =   . 【解析】解:在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, ∵已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1, ∴sinAsinB+sinBsinC=2sin2B. 再由正弦定理可得 ab+bc=2b2,即 a+c=2b,故 a,b,c 成等差数列. C= ,由 a,b,c 成等差数列可得 c=2b﹣a,

由余弦定理可得 (2b﹣a)2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab. 化简可得 5ab=3b2,∴ 故答案为: . 【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质,二倍角公式、余弦定理的应用,属于中档题.   14.【答案】 2 . = .

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【解析】解:∵f(0)=2, ∴f(f(0))=f(2)=4+2a=4a, 所以 a=2 故答案为:2.   15.【答案】 > 

【解析】解:∵y=3x 是增函数, 又 0.8>0.7, ∴30.8>30.7. 故答案为:> 【点评】本题考查对数函数、指数函数的性质和应用,是基础题.   16.【答案】 【解析】

34 5

考 点:点关于直线对称;直线的点斜式方程. 17.【答案】 ﹣2 【解析】解:函数 f(x)= 由函数 f(x)= 即有 f′(1)=0, 即 m+2=0,解得 m=﹣2, 即有 f′(x)=﹣2x2+2x=﹣2(x﹣1)x, 可得 x=1 处附近导数左正右负,为极大值点. ﹣m 的导数为 f′(x)=mx2+2x,

﹣m 在 x=1 处取得极值,

第 10 页,共 14 页

故答案为:﹣2. 【点评】本题考查导数的运用:求极值,主要考查由极值点求参数的方法,属于基础题.   18.【答案】③④ 【解析】 试题分析:把展开图复原成正方体,如图,由正方体的性质,可知:① BM 与 ED 是异面直线,所以是错误 的 ; ② DN 与 BE 是平行直线, 所以是错误的 ; ③从图中连接 AN , AC , 由于几何体是正方体, 所以三角形 ANC 为等边三角形,所以 AN , AC 所成的角为 60? ,所以是正确的;④ DM 与 BN 是异面直线,所以是正确的.

考点:空间中直线与直线的位置关系.

三、解答题
19.【答案】 k ? ?3 或 k ? 2 . 【解析】 试题分析:根据两点的斜率公式,求得 k PA ? 2 , k PB ? ?3 ,结合图形,即可求解直线的斜率的取值范围.

?1 ? 1 ?1 ? 2 ? 2 , k PB ? ? ?3 1? 2 1? 0 所以,由图可知,过点 P ?1, ?1? 的直线与线段 AB 有公共点,
试题解析:由已知, k PA ? 所以直线的斜率的取值范围是: k ? ?3 或 k ? 2 .

考点:直线的斜率公式.

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20.【答案】 【解析】解:(1)由题意:集合 A={x|2≤x≤6},集合 B={x|x≥3}. 那么:A∩B={x|6≥x≥3}. ∴CR(A∩B)={x|x<3 或 x>6}. (2)C={x|x≤a}, ∵A ? C, ∴a≥6 ∴故得实数 a 的取值范围是[6,+∞). 【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.   21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由直线 l : x ? my ? 1 经过点 F1 得 c ? 1 , 当 m ? 0 时,直线 l 与 x 轴垂直, | MF1 |?

b2 2 ? , a 2

?c ? 1 ? x2 ? ?a ? 2 ? y 2 ? 1 . (4 分) 由 ? b2 解得 ,∴椭圆 的方程为 C ? 2 2 ? ?b ? 1 ? ? 2 ?a S ?MF1F2 | MF1 | y1 (Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , y1 ? 0, y2 ? 0 ,由 MF1 / / NF2 知 ? ? ?3. S ?NF1F2 | NF2 | y2

? x ? my ? 1 m ? 2(m 2 ? 1) ? 2 2 x 联立方程 ? x 2 ,消去 得 ,解得 ( m ? 2) y ? 2 my ? 1 ? 0 y ? 2 m2 ? 2 ? ? y ?1 ?2
∴ y1 ? 由

m ? 2(m 2 ? 1) ?m ? 2(m 2 ? 1) ,同样可求得 , (11 分) y ? 2 m2 ? 2 m2 ? 2

m ? 2(m 2 ? 1) ?m ? 2(m 2 ? 1) y1 ? 3 得 y1 ? 3 y2 ,∴ ,解得 m ? 1 , ? 3 ? y2 m2 ? 2 m2 ? 2

直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 . (13 分) 22.【答案】 【解析】(1)由 x ? 0 , y ? 1 , z ? 2 知,甲、乙、丙 3 个盒中的球数分别为 0,1,2,

1 ?1? 1 此时的概率 P ? C ? ? ? ? ? . 3 ?2? 4
1 3

2

(4 分)

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23.【答案】 【解析】解:(1)f(x)=ax(a>0 且 a≠1)的图象经过点(2, ), ∴a2= , ∴a= (2)∵f(x)=( )x 在 R 上单调递减, 又 2<b2+2, ∴f(2)≥f(b2+2),

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(3)∵x≥0,x2﹣2x≥﹣1, ∴ ≤( )﹣1=3

∴0<f(x)≤(0,3]   24.【答案】 =1+3cos α 【解析】解:(1)由 C1: x (α 为参数) y=2+3sin α 得(x-1)2+(y-2)2=9(cos2α+sin2α)=9. 即 C1 的普通方程为(x-1)2+(y-2)2=9, 由 C2:ρ= 得 π sin(θ+ ) 4 ρ(sin θ+cos θ)=2, 即 x+y-2=0, 即 C2 的普通方程为 x+y-2=0. (2)由 C1:(x-1)2+(y-2)2=9 得 x2+y2-2x-4y-4=0, 其极坐标方程为 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ-4=0, 将 θ=3π代入上式得 4 ρ2- 2ρ-4=0, ρ1+ρ2= 2,ρ1ρ2=-4, ∴|MN|=|ρ1-ρ2|= (ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=3 2. C3:θ=3π(ρ∈R)的直角坐标方程为 x+y=0, 4 ∴C2 与 C3 是两平行直线,其距离 d= 2 = 2. 2 1 1 ∴△PMN 的面积为 S= |MN|×d= ×3 2× 2=3. 2 2 即△PMN 的面积为 3. 2

{

)

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