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湖南省长沙市一中2010-2011学年高二上学期期末考试数学(理)试题

湖南长沙市一中 2010 年下期高二期末考试 理 科 数 学 满 分:150 分 时 间:115 分钟 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,请将正确选项填在答卷上) 2 1.“ ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 0 ” 的否定是( A ) A. ?x ? R, x2 ? 1 ? 0 2 C. ?x0 ? R, x0 ?1 ? 0 B. ?x ? R, x2 ? 1 ? 0 D. ?x0 ? R, x2 ? 1 ? 0 2. 设 f ( x) ? x ,则 f / (3) ? 为( D ) B. A. 3 3 3 2 C. ? 3 3 D. 3 6 3. 定积分 ? ? 2 0 sin 2 xdx 的值为( B ) B.1 C. ? A. ? 1 1 2 D. 1 2 4.如图,由曲线 y ? e x ? 2 ,直线 x ? 0, x ? 2 和 x 轴围成的封闭图形的面积是 ( C ) A. C. ? ?e 2 0 x ? 2 ? dx B. D. ? ?e 2 0 x ? 2 ? dx x [来源:学科网] ? 2 0 e x ? 2 dx ? ln 2 0 ?e ? 2? dx ? ? 2 ln 2 ?e x ? ? 2dx 5. 函数 y ? f ? x ? 在定义域 ? ? 导函数为 y ? f A. ? ? ,1? / ? 3 ? 其图象如图所示, 记 y ? f ? x? ,3 ? 内可导, ? 2 ? ( A ) ? x ? ,则不等式 f / ? x ? ? 0 的解集为 ? 1 ? ? 3 ? 3 1 , ] 2 2 ? 2,3? ?1, 2 ? B. ? ?1, ? 2 ? ? 1? ? ? ? ? 4 8? , ? ? 3 3? ? ?1 4? ?2 , 3? ? ? ?8 ? ? ? 3 ,3 ? ? C.[? D.? ? , ?1? ? 3 ? 2 6. 如图,已知点 C ? ?2, 2 ? ,过点 C 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 、 CB , l1 , l2 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A、 B ,设点 M 是线段 AB 的中点,则点 M 的轨迹方程为( A ) 第 1 页 共 7 页 A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 7. 设 a ? R ,若函数 y ? e x ? 3ax ( x ? R )有小于零的极值点,则( B ) A . ?3 ? a ? 0 B. ? 1 ?a?0 3 x C . a ? ?3 D. a ? ? 1 3 【解析】 y / ? e x ? 3a ,令 y / ? 0 有 e ? ?3a ?a ?0 ??3a ? 1 , x ? l n? ? 3 a? ? 0 ? a?? 1 3 ln1 ? 1 ? 3 ? ? 故 a ?? ? ,0? 8.已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x , g ( x) ? ax 2 ? 4 x ,若 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上 为减函数,则 a 的取值范围是( C ) A. ( ??, 0] B. (??, ?1] C. (??, ?2] D. [?2, ??) 二、 填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,请将正确选项填在答卷上) 9. 已知椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 64 ? 0 上一点 P 到椭圆的一个焦点的距离等于 4,那么点 P 到另 一个焦点的距离等于 12 . 10. 抛物线 x2 ? 2 py ? p ? 0? 上一点 M 到焦点的距离是 a ? a ? ? ? p? ? ,则点 M 的纵坐标是 2? a? p 2 x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围是 ? ??, ?2? 11. 已知方程 m ? 2 m ?1 ? ?1, ??? 12.在平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA 1 ? 底面ABCD , AB ? 4, AD ? 3, AA 1 ? 5, ?BAD ? 60? ,则 AC1 的长为 62 . 13.若点 P(2, 0) 到双曲线 x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线的距离为 2 ,则双曲线的离心率为 a 2 b2 2 14. “正三角形中,其内切圆与外接圆的半径比为 1 : 2 ” ,类比到空间,请你写出一个正确的 结论 .正四面体的内切球与外接球的半径比为 1 : 3 . 15. 已知函数 f ? x ? ? ax ? bx 的图象在点 ? ?1, 2? 处的切线恰好与 x ? 3 y ? 0 垂直,则 3 2 第 2 页 共 7 页 (Ⅰ ) a , b 的值分别为 1,3 ; (Ⅱ )若 f ? x ? 在 ?m, m ?1? 上单调递增,则 m 的取值范 三、 解答题(本大题共 6 小题,第 16、17、18 题各 12 分,第 19、20、21 题各 13 分, 共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 如图,设 A? 2,4? 是抛物线 C : y ? x2 上的一点. ( Ⅰ) 求 该 抛 物 线 在 点 A 处 的 切 线 l 的 方 程 ; (Ⅱ )求曲线 C、直线 l 和 x 轴所围成的图形的面积. 解: (Ⅰ ) y ? x2 x?2 ? y / ? 2x ?4 即 y ? 4 x ? 4 为所求. ??????????6 分 ? 直线 的斜率 k ? y / ? l : y ? 4 ? 4 ? x ? 2? (Ⅱ )面积 S ? 4 2 ?1 2 ?4 2 2 ?y ? 3 ? 1 ? y dy ?

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