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【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 大题规范天天练 第一周 函数与导数


星期四

(函数与导数)

2016 年____月____日 函数与导数知识(命题意图:考查含参数的函数单调性的求解以及不等式恒成立条件下的参 数范围的求取.考查考生的分类讨论思想以及转化与化归思想的应用.) 已知函数 f(x)=(a+1)ln x+ax +1. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)设 a<-1,如果对任意 x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求 a 的取值范 围. 解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=
2 a+1 2ax +a+1 +2ax= . x x 2

当 a≥0 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当 a≤-1 时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当-1<a<0 时,令 f′(x)=0,解得 x= 即 x∈?0, 故 f(x)在?0, -

a+ 1 . 2a a+1 ? ,+∞?时,f′(x)<0. 2a ?

? ?



a+1? ? ?时,f′(x)>0;x∈? 2a ? ?


- -

? ?

a+1? ? ?上单调递增,在? 2a ? ?

a+1 ? ,+∞?上单调递减. 2a ?

(2)法一 不妨设 x1≤x2,而 a<-1,由(1)知 f(x)在 (0,+∞)上单调递减,从而对任意 x1、x2∈(0,+∞),恒有 |f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|?f(x1)-f(x2)≥4(x2-x1)?f(x1)+4x1≥f(x2)+4x2. 令 g(x)=f(x)+4x,则 g′(x)=

a+1 +2ax+4,则 f(x1)+4x1≥f(x2)+4x2 等价于 g(x)在 x a+1 +2ax+4≤0, x
2

(0,+∞)上单调递减,即 g′(x)=
2 2

-4x-1 (2x-1) -4x -2 (2x-1) 从而 a≤ 2 = = -2, 2 2 2x +1 2x +1 2x +1 故 a 的取值范围为(-∞,-2]. 法二 a≤?

?-42x-1? .设 φ (x)=-4x-1, ? 2 2x +1 ? 2x +1 ?min
2

-4(2x +1)-(-4x-1)·4x 则 φ ′(x)= 2 2 (2x +1) = 8x +4x-4 8x +4x-4 4(2x-1)(x+1) . 2 2= 2 2= 2 2 (2x +1) (2x +1) (2x +1)
2 2

1

? 1? ?1 ? 当 x∈?0, ?时,φ ′(x)<0,φ (x)为减函数,x∈? ,+∞?时,φ ′(x)>0,φ (x)为增 ? 2? ?2 ? ?1? 函数,∴φ (x)min=φ ? ?=-2,∴a 的取值范围为(-∞,-2]. ?2?

2


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