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选修系列2选修22第一章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用300

选修系列2选修22第一章导数及其应用1.4导数在实际 生活中的应用 测试题 2019.9

1,下列推理正确的是

A. 把 a(b ? c) 与 loga (x ? y) 类比,则有: loga (x ? y) ? loga x ? loga y .

B. 把 a(b ? c) 与 sin(x ? y) 类比,则有: sin(x ? y) ? sin x ? sin y .

C. 把 (ab)n 与 (a ? b)n 类比,则有: (x ? y)n ? xn ? yn .

D. 把 (a ? b) ? c 与 (xy)z 类比,则有: (xy)z ? x( yz) . 2,把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,结论还正确的是

A. 如果一条直线与两条平行线中的一条相交,则比与另一条相交 .

B. 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,则比与另一条垂直.

C. 如果两条直线同时与第三条直线相交,则这两条直线相交.

D. 如果两条直线同时与第三条直线垂直,则这两条直线平行.

f (x) ? ln
3,求

1? x2
1? x2 的单调递增区间。

4,某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法:达到100人的团体,

每人收费1000元。如果团体的人数超过100人,那么每超过1人,每人平

均收费降低5元,但团体人数不能超过180人,如何组团可使旅行社的收

费最多? (不到100人不组团)

5,已知函数 f (x) ? x3 ? bx2 ? ax ? d 的图象过点P(0,2),且在点M (?1, f (?1)) 处

的切线方程为 6x ? y ? 7 ? 0 .

(Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的解析式;(Ⅱ)求函数 y ? f (x)的单调区间. 6,已知函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x ? ?1处取得极值.

(Ⅰ)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f (x) 的极大值还是极小值;

(Ⅱ)过点 A(0, 16) 作曲线 y ? f (x)的切线,求此切线方程.

7,已知向量 a ? (x2, x ?1),b ? (1? x,t),若函数f (x) ? a ?b 在区间(-1,1)上是 增函数,求t的取值范围.

f (x) ? ax3 ? 3 (a ? 2)x2 ? 6x ? 3

8,已知函数

2

(1)当 a ? 2 时,求函数 f (x) 极小值;(2)试讨论曲线 y ? f (x)与 x 轴公 共点的个数。 9, 已 知 x ?1 是 函 数 f (x) ? mx3 ? 3(m ?1)x2 ? nx ?1 的 一 个 极 值 点 , 其 中

m,n ? R,m ? 0 ,

(I)求 m 与 n 的关系式;

(II)求 f (x) 的单调区间;

(III)当 x???1,1? 时,函数 y ? f (x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大
于3 m ,求 m 的取值范围. 10,设函数 f (x) ? 2x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ?1 及 x ? 2 时取得极值.
(Ⅰ)求a、b的值;

(Ⅱ)若对于任意的 x ?[0,3] ,都有 f (x) ? c2 成立,求c的取值范围.

测试题答案

1, D 2, B 3, 解:由函数的定义域可知,
1? x2 ? 0 即 ?1? x ?1

f (x) ? ln 1? x2 ? 1 [ln(1? x2) ? ln(1? x2)]



1? x2 2

所以

f

?(x)

?

1 2

2x

( 1

?

x

2

?2x ?1? x2

)

?

x 1? x2

x ? 1? x2

令 f ?(x) ? 0 ,得 x ? ?1或 0 ? x ?1

综上所述, f (x) 的单调递增区间为(0,1) 4, 解:设参加旅游的人数为x,旅游团收费为y

则依题意有

f (x) =1000x-5(x-100)x (100≤x≤180)

令 f ?(x) ?1500 ?10x ? 0得x=150

又 f (100) ? 100000 , f (150) ? 112500 , f (180) ? 108000

所以当参加人数为150人时,旅游团的收费最高,可达112500元。 5, 解:(Ⅰ)由 f (x) 的图象经过P(0,2),知d=2,所以 f (x) ? x3 ? bx2 ? cx ? 2, f ?(x) ? 3x2 ? 2bx ? c. 由在 M (?1, f (?1)) 处的切线方程是 6x ? y ? 7 ? 0 ,知
? 6 ? f (?1) ? 7 ? 0,即f (?1) ? 1, f ?(?1) ? 6.

?

?3 ? 2b ? ???1? b ?

c c

? ?

6, 2?

1.即???b2b??cc??0,3,解得b

?

c

?

?3.

故所求的解析式是

f (x) ? x3 ? 3x2 ? 3x ? 2.(2)

f ?(x) ? 3x2 ? 6x ? 3. 令3x2 ? 6x ? 3 ? 0,即x2 ? 2x ?1 ? 0.解得

x1 ? 1 ? 2, x2 ? 1 ? 2. 当 x ? 1 ? 2,或x ? 1 ? 2时, f ?(x) ? 0; 当

1 ? 2 ? x ? 1 ? 2时, f ?(x) ? 0. 故 f (x) ? x3 ? 3x2 ? 3x ? 2在(??,1 ? 2) 内是增函数,

在 (1 ? 2,1 ? 2) 内是减函数,在 (1 ? 2,??) 内是增函数. 6, (Ⅰ)解: f ?(x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3 ,依题意, f ?(1) ? f ?(?1) ? 0 ,即

?3a ? 2b ? 3 ? 0,
??3a ? 2b ? 3 ? 0. 解得 a ? 1, b ? 0 .

∴ f (x) ? x3 ? 3x, f ?(x) ? 3x2 ? 3 ? 3(x ? 1)( x ?1) .

令 f ?(x) ? 0 ,得 x ? ?1, x ? 1. 若 x ? (??, ?1) ? (1, ? ?) ,则 f ?(x) ? 0 ,

故 f (x) 在 (??, ?1) 上是增函数, 在 (1, ? ?) 上是增函数.

若 x ? (?1, 1) ,则 f ?(x) ? 0 ,故 f (x) 在 (?1, 1) 上是减函数.

所以, f (?1) ? 2 是极大值; f (1) ? ?2 是极小值.

(Ⅱ)解:曲线方程为 y ? x3 ? 3x ,点 A(0, 16) 不在曲线上.

设切点为 M (x0 ,

y0 )

,则点M的坐标满足

y0

?

x

3 0

? 3x0 .

因 f ?(x0 ) ? 3(x02 ?1) ,故切线的方程为 y ? y0 ? 3(x02 ?1)( x ? x0 )

注意到点A(0,16)在切线上,有16 ? (x03 ? 3x0 ) ? 3(x02 ?1)(0 ? x0 )

化简得 x03 ? ?8 ,解得 x0 ? ?2 .

所以,切点为 M (?2, ? 2),切线方程为 9x ? y ?16 ? 0 . 7, 解:依定义 f (x) ? x2 (1 ? x) ? t(x ?1) ? ?x3 ? x2 ? tx ? t,

f ?(x) ? ?3x2 ? 2x ? t. 若f (x)在(?1,1)上是增函数,则在(?1,1)上可设f ?(x) ? 0.
? f ?(x) 的图象是开口向下的抛物线,

?当且仅当f ?(1) ? t ?1 ? 0,且f ?(?1) ? t ? 5 ? 0时

f ?(x)在(?1,1)上满足f ?(x) ? 0,即f (x)在(?1,1)上是增函数 .

故t的取值范围是 t ? 5.

8,

f ' (x) ? 3ax2 ? 3(a ? 2)x ? 6 ? 3a(x ? 2)(x ?1),

解:(1)

a

f

(x)

极小值为

f

(1)

?

?

a 2

(2)①若 a ? 0 ,则 f (x) ? ?3(x ?1)2 ,? f (x) 的图像与 x 轴只有一个交点;

②若 a ? 0 ,

?

f

(x)

极大值为

f

(1)

?

?

a 2

?

0



f

(x)

的极小值为

f

(2) a

?

0,

? f (x) 的图像与 x 轴有三个交点;

③若 0 ? a ? 2 , f (x) 的图像与 x 轴只有一个交点;

④若 a ? 2 ,则 f ' (x) ? 6(x ?1)2 ? 0 ,? f (x) 的图像与 x 轴只有一个交点;

⑤若

a

? 2 ,由(1)知

f (x) 的极大值为

f ( 2) ? ?4(1

a

a

?

3)2 4

?

3 4

? 0 ,?

f (x) 的

图像与 x 轴只有一个交点;

综上知,若 a ? 0, f (x) 的图像与 x 轴只有一个交点;若 a ? 0 , f (x) 的图像 与 x 轴有三个交点。 9, 解(I) f ?(x) ? 3mx2 ? 6(m ?1)x ? n 因为 x ?1 是函数 f (x) 的一个极值点,
所以 f ?(1) ? 0 ,即 3m ? 6(m ?1) ? n ? 0 ,所以 n ? 3m ? 6

(II)由(I)知,

f

?(x)

? 3mx2

?

6(m

?1)

x

?

3m

?

6

=

3m(

x

?1)

? ??

x

?

???1?

2 ?? m ????



m

?

0

时,有

1

?

1?

2 m

,当

x 变化时,

f (x) 与

f ?(x) 的变化如下表:

x
f ?(x) f (x)

? ??

??,1

?

2 m

? ??

?0
调调递减

1? 2 m
0 极小值

???1

?

2 m

,1???

?0
单调递增

1
0 极大值

故有上表知,当 m ? 0时,

f

(x)



? ??

??,1 ?

2?
m ?? 单调递减,

?1, ???
?0
单调递减



(1 ?

2 m

,1)

单调递增,在

(1,

??)

上单调递减.

(III)由已知得 f ?(x) ? 3m ,即 mx2 ? 2(m ?1)x ? 2 ? 0



m

?

0

所以

x2

?

2 m

(m

?1)

x

?

2 m

?

0



x2

?

2 m

(m

?1)x

?

2 m

?

0,

x

???1,1?



g(x) ? x2 ? 2(1? 1 )x ? 2



m m ,其函数开口向上,由题意知①式恒成立,

所以

?g(?1) ??g(1) ?

? 0

0

?

??1? ? ???1

2 ?

? 0

2 m

?

2 m

?

0

解之得

?4 ?m
3 又m?0

所以

?

4 3

?

m

?

0



m

的取值范围为

? ??

?

4 3

,

0

? ??

10, 解:(Ⅰ) f ?(x) ? 6x2 ? 6ax ? 3b ,

因为函数 f (x) 在 x ?1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 .

?6 ? 6a ? 3b ? 0,
即 ??24 ?12a ? 3b ? 0.

解得 a ? ?3 , b ? 4 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, f (x) ? 2x3 ? 9x2 ?12x ? 8c ,

f ?(x) ? 6x2 ?18x ?12 ? 6(x ?1)(x ? 2) . 当 x ?(0,1) 时, f ?(x) ? 0 ; 当 x ?(1,2) 时, f ?(x) ? 0 ; 当 x ? (2,3) 时, f ?(x) ? 0 .

所以,当 x ?1 时,f (x) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c ,f (3) ? 9 ? 8c .

则当 x??0,3? 时, f (x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c .

因为对于任意的 x??0,3? ,有 f (x) ? c2 恒成立,

所以 9 ? 8c ? c2 ,

解得 c ? ?1或 c ? 9 , 因此 c 的取值范围为 (??,?1) (9,? ?) .


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