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课时作业22 两角和与差的正弦、余弦和正切公式


课时作业 22

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
时间:45 分钟 分值:100 分

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.化简 cos15° cos45° -cos75° sin45° 的值为( 1 A.2 1 C.-2 3 B. 2 3 D.- 2 )

解析:cos15° cos45° - cos75° sin45° = cos15° cos45° - sin15° sin45° 1 =cos(15° +45° )=cos60° =2.故选 A. 答案:A
?π ? 3 2.已知 α∈?2,π?,sinα=5,则 tan2α=( ? ?

)

24 A. 7 24 C.-25
? ?

24 B.25 24 D.- 7

?π ? 3 4 3 解析: ∵α∈?2,π?, sinα=5, ∴cosα=-5, ∴tanα=-4.∴tan2α

2tanα 24 ? ? = =- 2 = 7. ? 3?2 1-tan α 1-?-4?
? ?

? 3? 2×?-4?

答案:D 3 5 3. 已知 cosα=5, cos(α+β)=-13, α, β 都是锐角, 则 cosβ=( 63 A.-65 33 B.-65 )

33 C.65

63 D.65

5 解析:∵α,β 是锐角,∴0<α+β<π,又 cos(α+β)=-13<0,∴ π 12 4 < α + β <π ,∴ sin( α + β ) = , sin α = 2 13 5.又 cosβ=cos(α+β-α)=cos(α 5 3 12 4 33 +β)cosα+sin(α+β)sinα=-13×5+13×5=65. 答案:C 5 10 4.已知 α、β 都是锐角,若 sinα= 5 ,sinβ= 10 ,则 α+β 等于 ( ) π A.4 π 3π C.4和 4 3π B. 4 π 3π D.-4和- 4

2 5 解析:由 α、β 都为锐角,所以 cosα= 1-sin2α= 5 ,cosβ= 3 10 2 1-sin2β= 10 .所以 cos(α+β)=cosα· cosβ-sinα· sinβ= 2 ,所以 α π +β=4.故选 A. 答案:A 5.在△ABC 中,若 tanAtanB=tanA+tanB+1,则 cosC 的值是 ( ) 2 A.- 2 1 C.2 2 B. 2 1 D.-2 tanA+tanB =-1, 1-tanA· tanB

解析:由 tanA· tanB=tanA+tanB+1,可得

3π π 即 tan(A+B)=-1,∵A+B∈(0,π),∴A+B= 4 ,则 C=4,cosC 2 =2. 答案:B π? ? 2 6.已知 sin2α=3,则 cos2?α+4?=(
? ?

)

1 A.6 1 C.2

1 B.3 2 D.3

π? ? ?2α+ ? 1 + cos 2? 1-sin2α π? ? ? 解析: 由半角公式可得,cos2?α+4?= = = 2 2
? ?

2 1-3 1 = 2 6,故选 A. 答案:A 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) π tanx 7.已知 tan(x+4)=2,则tan2x的值为________. tanx+1 π 1 tanx tanx 解析: 由 tan(x+4)=2 得 =2, ∴tanx=3, ∴tan2x= 2tanx 1-tanx 1-tan2x 1-tan2x 1 1 4 = 2 =2(1-9)=9. 4 答案:9 π? ? 1 8. 若 α∈?0,2?, 且 sin2α+cos2α=4, 则 tanα 的值等于________.
? ?

1 解析:由 sin2α+cos2α=4得 sin2α+1-2sin2α=1-sin2α=cos2α

π? ? 1 1 π π =4.∵α∈?0,2?,∴cosα=2,∴α=3,∴tanα=tan3= 3. ? ? 答案: 3 9.已知角 α、β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合, 1 α、β∈(0,π),角 β 的终边与单位圆交点的横坐标是-3,角 α+β 的 4 终边与单位圆交点的纵坐标是5,则 cosα=________. 1 π 2 2 解析:依题设得,cosβ=-3,∵0<β<π,∴2<β<π,sinβ= 3 , 4 π 3 又∵sin(α+β)=5>0,0<α<π,∴2<α+ β<π,cos(α+β)=-5.∴cosα= 3 ? 1? 4 2 2 cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=-5×?-3?+5× 3
? ?

3+8 2 = 15 . 3+8 2 答案: 15 三、解答题(共 55 分,解答应写出必要的文字说明、演算步骤或 证明过程) π? π? ? ? 1 10.(15 分)已知 α∈?0,2?,tanα=2,求 tan2α 和 sin?2α+3?
? ? ? ?

的值. 1 2×2 1 2tanα 4 sinα 1 解: ∵tanα=2, ∴tan2α= = , 且 即 cosα 2 = 1 3 cosα=2, 1-tan α 1-4 π? ? 5 =2sinα, 又 sin2α+cos2α=1, ∴5sin2α=1, 而 α∈?0,2?, ∴sinα= 5 , ? ? 2 5 cosα= 5 .

5 2 5 4 4 ∴sin2α= 2sinαcosα=2× 5 × 5 =5, cos2α= cos2α-sin2α= 5 π? ? 1 3 π π 4 1 3 3 - 5 = 5 , ∴ sin ?2α+3? = sin2αcos 3 + cos2αsin 3 = 5 × 2 + 5 × 2 = ? ? 4+3 3 10 . π α 1 2 11.(20 分)已知 0<α<2<β<π,tan2=2,cos(β-α)= 10 . (1)求 sinα 的值; (2)求 β 的值. α 1 解 : (1) ∵ tan 2 = 2 , ∴ tanα = α 2tan2 4 = 3,由 ?1?2 1-?2? ? ? 1 2×2

1-tan22

α=

? sinα =4, ?cosα 3 ?sin2α+cos2α=1,
4 ? 4 ? 解得 sinα=5,?sinα=-5舍去?.
? ?

(2)由(1)知 cosα= 1-sin2α= 2 -α∈(0,π),而 cos(β-α)= 10 , ∴sin(β-α)= 1-cos2?β-α?=

?4? 3 π 1-?5?2=5, 又 0<α<2<β<π, ∴β ? ?

1-?

? 2?2 7 2 ? = 10 ,于是 sinβ= ? 10 ?

4 2 3 7 2 sin[α + (β - α)] = sinαcos(β - α) + cosαsin(β - α) = 5 × 10 + 5 × 10 = 2 2.
?π ? 3π 又 β∈?2,π?,∴β= 4 . ? ?

——创新应用—— 12.(20 分)如下图,以 Ox 为始边作角 α 与 β(0<β<α<π),它们的 3 4 终边分别与单位圆相交于点 P、Q,已知点 P 的坐标为(-5,5).

sin2α+cos2α+1 (1)求 的值; 1+tanα →· → =0,求 sin(α+β). (2)若OP OQ 3 4 解:(1)由三角函数定义得 cosα=-5,sinα=5,则原式 2sinαcosα+2cos2α 2cosα?sinα+cosα? = = sinα sinα+cosα 1+cosα cosα 3 18 =2cos2α=2×(-5)2=25. →· → =0,∴α-β=π,∴β=α-π, (2)∵OP OQ 2 2 π 3 ∴sinβ=sin(α-2)=-cosα=5, π 4 cosβ=cos(α-2)=sinα=5. ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ 4 4 3 3 7 =5×5+(-5)×5=25.



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