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高三复习——指数函数和对数函数


高三复习——指数函数和对数函数
一.基础知识 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n ∈ N *. 负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。 ?a (a ? 0) 当 n 是奇数时, n a n ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? ?? a (a ? 0) 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
m

a a 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 r r r ?s (a ? 0, r, s ? R) ; (1) a · a ? a
r s rs (2) (a ) ? a r r s

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) a

?

m n

?

1
m n

?

1
n m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

(a ? 0, r, s ? R) ;

(a ? 0, r, s ? R) . (3) (ab) ? a a (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
6 6 5 5 4 4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递 增 非奇非偶函数 函数图象都过 定点(0,1)

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递 减 非奇非偶函数 函数图象都过 定点(0,1)

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ; (2)若 x ? 0 ,则 f ( x) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; 二、对数函数 (一)对数
1

1.对数的概念:一般地,如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 .a 为底 ..N 的对 数,记作: x ? loga N ( a — 底数, N — 真数, loga N — 对数式) 说明:○ 1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 2 ○ 3 ○ 1 ○ 2 ○

a x ? N ? loga N ? x ;
注意对数的书写格式.

loga N

两个重要对数: 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ?为底的对数的对数 ln N .

指数式与对数式的互化 幂值 真数

ab = N ? log a N = b

底数 指数 (二)对数的运算性质 对数

M ? 0 ,N ? 0 , 如果 a ? 0 , 且 a ? 1, 那么: 1 loga (M ·N ) ? loga M + loga N ; ○

2 ○ 3 ○

log a

M ? loga M - loga N ; N

loga M n ? n loga M

(n ? R) .

注意:换底公式 logc b ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) . loga b ? logc a 利用换底公式推导下面的结论 1 n (1) log a b n ? log a b ; (2) loga b ? . m logb a (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中 x 是自 变量,函数的定义域是(0,+∞) .
m

注意:○ 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:
y ? 2 log2 x , y ? log 5 x 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
5

2 ○

对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . 0<a<1

2、对数函数的性质: a>1

2

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都 过定点(1, 0) 1、指数函数与对数函数
1、 log2

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定 点(1,0)

2 的值为(

) B. 2 ) B. C. ?

A. ? 2 2、 log 2 9 ? log3 4 ? ( A.

1 2

D.

1 2

1 4

1 2
)

C. ?

D. ?

3、设 a ? lg e, b ? (lg e)2 , c ? lg e, 则 ( A. a ? b ? c B. a ? c ? b

C. c ? a ? b

D. c ? b ? a )

x 4、若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的反函数,其图像经过点 ( a , a) ,则 f ( x) ? (

A. log2 x

B. log 1 x
2

C.

1 2x

D. x

2

5、函数 y ? 2 x?1 ( x ? R) 的反函数是( A.

) B. y ? log2 ( x ? 1)(x ? 1) D. y ? log2 ( x ? 1)(x ? ?1) ) C. b ? a ? c ) C. b ? c ? a D .b ? a ? c D. b ? c ? a

y ? 1 ? log2 x( x ? 0)

C. y ? ?1 ? log2 x( x ? 0)

6、设 a ? log3 ? , b ? log2 3, c ? log3 2 ,则( A. a ? b ? c B. a ? c ? b

7、设 a ? log1 2, b ? log 1 3, c ? ( )
3 2

1 2

0.3

,则(

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

8、若 log2 a<0, ( ) >1,则 ( A.a>1,b>0

1 2

b

) C. 0<a<1, b>0 D. 0<a<1, b<0
3

B.a>1,b<0

9、已知集合 A ? x log 2 x ? 2 , B ? (??, a ) ,若 A ? B 则实数 a 的取值范围是 (c, ??) ,其中 c = 10、设 2a ? 5b ? m ,且

?

?

1 1 ? ? 2 ,则 m ? ( a b

)A. 10 )

B.10

C.20

D.100

11、函数 y ? 1 ? ln(x ? 1)(x ? 1) 的反函数是( A.y= e
x ?1

-1(x>0)
x x ?1

B. y= e

x ?1

+1(x>0)

C. y= e .

x ?1

-1(x ? R)

D.y= e

x ?1

+1 (x ? R)

12、方程 4 ? 2

? 3 ? 0 的解是_________
1

? 1 13、计算 (lg ? lg 25) ? 100 2 _______ 4



14、函数 f ( x) ? log5 (2 x ? 1) 的单调增区间是__________

。 .

2 2 15、已知函数 f ( x) ? lg x ,若 f (ab) ? 1 , f (a ) ? f (b ) ? _________
2 3 2

5 5 5 ,则 a,b,c 的大小关系是 16、设 a ? ( ) ,b ? ( ) ,c ? ( )

3 5

2 5

2 5

A.a>c>b

B.a>b>c )

C.c>a>b

D.b>c>a

17、 2 log5 10 ? log5 0.25 ? ( A.0 B.1

C. 2 ) C. a ? b ? c )

D.4

2 18、设 a ? log5 4,b ? (log5 3) ,c ? log45 ,则(

A. a ? c ? b

B. b ? c ? a

D. b ? a ? c

19、函数 y ? ( ) ? 1 的图象关于直线 y=x 对称的图象像大致是(
x

1 2

20、函数 y ? a ? a(a ? 0, a ? 1) 的图象可能是(
x



4

x 21、若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a 的反函数,且 f (2) ? 1 ,则 f ( x) ? ( ( a ? 0,且a ? 1 )



A. log2 x 22、为了得到函数 y ? lg

B.

1 2x

C. log1 x
2

D.2

x ?2

x?3 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上所有的点( 10



A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 23、函数 y ? log 2 A. 关于原点对称

2? x 的图像( 2? x

) C.关于 y 轴对称
x

B.关于直线 y ? ? x 对称

D.关于直线 y ? x 对称 )

24、已知函数 f ( x) 满足:x≥4,则 f ( x) = ( ) ;当 x<4 时 f ( x) = f ( x ? 1) ,则 f (2 ? log2 3) =( A.

1 2

1 24

B.

1 12

C.

1 8

D.

3 8


25、若函数 f ( x) = ?log ( ? x ), x ? 0 ,若 f (a) ? f (?a) ,则实数 a 的取值范围是( 1

?log 2 x, x ? 0, ? ? ?
2

A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) 26、已知函数 f ( x) ? ?

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) ,则 f ( f ( )) ? (

?log3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

1 9

)A.4

B.

1 4
) D. (a 2 ,2b)

C.-4

D-

1 4

27、若点 ( a, b) 在 y ? lg x 图像上, a ? 1 ,则下列点也在此图像上的是(

( , b) A.

1 a

B. (10a,1 ? b)

C. (

10 , b ? 1) a

28、设函数

?21? x , x ? 1 f ( x) ? ? ?1 ? log 2 x, x ? 1

,则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是 ( C. [1,??) [1,+ ? ]
x

) D. [0,??)

A. [?1,2]
2

B. [0,2]

29、设函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 3, g ( x) ? 3 ? 2, 集 M ? {x ? R | f ( g ( x)) ? 0}, N ? {x ? R | g ( x) ? 2}, 则 M ( )A. (1, ??) B.(0,1) C.(-1,1) D. (??,1)

N为

30、函数 y ? log 2 x ?

4 ( x ? [2,4]) 的最大值是______ log 2 x
,

.

31、 若实数 , , 满足

,则 的最大是

.
5

32、已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) , g ( x) ? 2x ? 2 .若 ?x ? R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 , 则 m 的取值范围是________ 33、已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) . (1)若 0 ? f (1 ? 2 x) ? f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围; (2)若 g ( x) 是以 2 为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时,有 g ( x) ? f ( x) ,求函数 .

y ? g ( x) ( x ? [1, 2]) 的反函数.

2、函数的零点部分

? 4x ? 4, x ? 1 1、函数 f ? x ? ? ? 2 的图象和函数 g ?x ? ? log2 x 的图象的交点个数是( ? x ? 4 x ? 3, x ? 1
A.4 B.3 C.2 ) D.(1,2) D.1 2、函数 f ( x ) ? log2 x ? 2 x ? 1 的零点必落在区间(
1 1? A. ? ? , ? ?8 4? 1 1? B. ? ? , ? ?4 2? 1 ? C. ? ? ,1? ?2 ?



3、数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4x ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则 f ? x ? 可以是( A. f ? x ? ? 4x ?1 C. f ? x ? ? ex ?1
1 4.若 x0 是方程 ( ) x ? x 3 的解,则 x0 属于区间( 2
?2 ? ?1 2? ?1 1? A. ? ,1? . B. ? , ? . C. ? , ? ?3 ? ?2 3? ?3 2?
1



B. f ? x ? ? ( x ?1)2
1 D. f ( x ) ? ln (x ? ) 2



? 1? D. ? 0, ? ? 3?

5.若 x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间( A. (0,1). B. (1,1.25). C. (1.25,1.75)

) D. (1.75,2)

6.函数 f ?x? ? 2 x ? 3x 的零点所在的一个区间是(



6

A. ?? 2,?1?

B. ?? 1,0?

C. ?0,1?

D. ?1,2? )

7.函数 f ?x? ? e x ? x ? 2 的零点所在的一个区间是( A. ?? 2,?1? B. ?? 1,0? C. ?0,1? D. ?1,2?

8.设函数 f ( x) ? 4 sin(2 x ? 1) ? x, 则在下列区间中函数 f ( x) 不存在零点的是( A. ?? 4,?2? B. ?? 2,0? C. ?0,2? D. ?2,4?



9、浙江文)已知 x0 是函数 f ? x ? ? 2 x ? A. f ?x1 ? ? 0 , f ?x2 ? ? 0 C. f ?x1 ? ? 0 , f ?x2 ? ? 0

1 的一个零点,若 x1 ? ?1, x0 ? , x2 ? ?x0 ,??? ,则( 1? x



B. f ?x1 ? ? 0 , f ?x2 ? ? 0 D. f ?x1 ? ? 0 , f ?x2 ? ? 0

?4 x ? 4, x ≤1, 10.函数 f ( x) ? ? 2 的图象和函数 g ( x) ? log2 x 的图象的交点个数是( x ? 4 x ? 3 , x ? 1 ?
A.4 B.3 C.2 D.1



11.若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4x ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,则 f ? x ? 可以是( A. f ? x ? ? 4 x ? 1 B. f ? x ? ? ( x ?1)2 C. f ? x ? ? ex ?1
1? ? D. f ?x ? ? ln? x ? ? 2? ?



? ?m 1 ? x 2 , x ? (?1,1] 12.已知以 T ? 4 为周期的函数 f ( x) ? ? ,其中 m ? 0 。若方程 3 f ( x) ? x 恰有 5 个实 1 ? x ? 2 , x ? (1,3] ? ?

数解,则 m 的取值范围为( A. (
15 8 , ) 3 3


4 8 C. ( , ) 3 3 4 D. ( , 7) 3

B. (

15 , 7) 3

? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0 13.函数 f ?x ? ? ? 的零点个数为( ?? 2 ? ln x, x ? 0
A .0 B.1 C. 2 D.3



, b ? ? ,1 ?aa 14.对实数 a 和 b ,定义运算“ ? ” : a ?b ? ? 1 . ?b, a ? b ?

设函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2 ? ? ? x ? x 2 ? , x ? R. 若函数

y ? f ( x) ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是

3? ? A. ? ??, ?2? ? ? ?1, ? 2? ?

3? ? B. ? ??, ?2? ? ? ?1, ? ? 4? ?
7

1? ?1 ? ? C. ? ?1, ? ? ? , ?? ? 4? ?4 ? ?
15、函数 f(x)= x —cosx 在[0,+∞)内 ( (A)没有零点

3 ? ?1 ? ? D. ? ?1, ? ? ? ? , ?? ? 4 ? ?4 ? ?


(B)有且仅有一个零点

(C)有且仅有两个零点 (D)有无穷多个零点 16.设 m,k 为整数,方程 mx 2 ? kx ? 2 ? 0 在区间(0,1)内有两个不同的根,则 m+k 的最小值为 (A)-8 (B)8 (C)12 (D) 13

17、若函数 f ( x) ? a x ? x ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )有两个零点,则实数 a 的取值范围 是
{a | a ? 1} .

18、方程 9 x ? 6 ? 3x ? 7 ? 0 的解是

lo3 g7

..

19、已知函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 在 [?2,2] 的图象如下所示:给出下列四个命题: ① 方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有 6 个根 ② 方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根 ③ 方程 f [ f ( x)] ? 0 有且仅有 5 个根 ④ 方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根 其中正确的命题是 . (将所有正确的命题序号填在横线上).

20 、已知定 义在 R 上的奇 函数 f ( x) ,满 足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) , 且在区 间 [0,2] 上是增 函数 , 若 方 程
f ( x ) ? m( m ? 0) 在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1, x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.

?2 x?2 ? , 21. 已知函数 f ( x) ? ? x 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根, 则数 k 的取值范围是____ ?( x ? 1)3 , x ? 2 ?
22.方程 2? x ? x 2 ? 3 的实数解的个数为 .
1 的图像交点的横坐标.若方程 x

23.方程 x2 ? 2 x ? 1 ? 0 的解可视为函数 y ? x ? 2 的图像与函数 y ?

? 4? 2, ,k )均在直线 y ? x 的同 x 4 ? ax ? 4 ? 0 的各个实根 x1,x2, ,xk (k ≤ 4) 所对应的点 ? xi, ?( i ? 1, ? xi ?
侧,则实数 a 的取值范围是 .
8

24.若函数 f ?x ? ? a x ? x ? a ?a ? 0.a ? 1?有两个零点,则实数 a 的取值范围是



25 . 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) , 满 足 f ( x ? 4) ? ? f ( x ) , 且 在 区 间 [0,2] 上 是 增 函 数 , 若 方 程

f ?x? ? m?m ? 0? 在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1, x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.
26.直线 y =1 与曲线 y ? x 2 ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围是 。

27.已知函数 f ?x? ? x 3 ? x 。 (1)求曲线 y ? f ?x ? 在点 M ?t , f ?t ?? 处的切线方程; (2)设 a ? 0 ,如果过点 ?a, b ? 可作曲线 y ? f ?x ? 的三条切线,证明: ? a ? b ? f ?a ?。

28.已知 x ? 3 是函数 f ( x) ? a ln(1 ? x) ? x2 ?10x 的一个极值点. (Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若直线 y ? b 与函数 y ? f ( x) 的图像有 3 个交点,求 b 的取值范围.

9

9 29.设函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 6 x ? a 2

(1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围

1 30.设函数 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中 m ? 0 3

(Ⅰ)当 m ? 1时, 曲线 y ? f ( x)在点( 处的切线斜率; 1,f( 1 )) (Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ)已知函数 f ( x) 有三个互不相同的零点 0 , x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 。若对任意的 x ? [ x1 , x2 ] ,
f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。

10


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