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2019-2020学年度最新新版高中数学人教A版选修2-2课件:第一章导数及其应用1.1.3-PPT课件_图文

1.1.3 导数的几何意义 -1- 1.了解导函数的概念;理解导数的几何意义. 2.会求导函数. 3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程. 名师点拨如图,函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率的几何意 义是割线PQ的斜率,当点Q沿曲线y=f(x)趋近于点P时(即Δx趋近于 0),割线PQ绕点P转动,它的最终位置为曲线在点P处的切线位置— —直线PT. 【做一做1-1】 若f'(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线 ( ) A.不存在 B.与x轴平行或重合 C.与x轴垂直 D.与x轴斜交 解析:由导数的几何意义知,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率 为0,故选B. 答案:B 【做一做2-1】 函数在某一点处的导数是( ) A.在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比 B.一个函数 C.一个常数,不是变数 D.函数在这一点与它附近一点之间的平均变化率 解析:根据函数在一点处的导数的定义,可知选C. 答案:C 【做一做2-2】 若曲线f(x)的导函数为f'(x)=2x+3,则f'(3)等于 ( ) A.0 B.2 C.3 D.9 答案:D 2.“用割线的极限位置来定义切线”和“与曲线只有一个公共点的 直线是切线”的区别是什么? 剖析:在初中我们学习过圆的切线:当直线和圆有唯一公共点时, 我们称直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做 切点,圆是一种特殊的曲线.如果将圆的切线推广为一般曲线的切 线:当直线和曲线有唯一公共点时,直线叫做曲线过该点的切线,这 种推广是不妥当的. 观察图中的曲线C,直线l1虽然与曲线C有唯一的公共点M,但我们 不能说直线l1与曲线C相切;而直线l2尽管与曲线C有不止一个公共 点,我们还是说直线l2是曲线C在点N处的切线.因此,对于一般的曲 线,必须重新寻求曲线切线的定义. 区别 f'(x0)是具体的值,是数 值 f'(x)是 f(x)在某区间 I f'(x) 上每一点都存在导数 而定义的一个新函数 f'(x0) 联系 在 x=x0 处的导数 f'(x0)是导函数 f'(x)在 x=x0 处的函数值,因此求函数在某一点处的导 数,一般先求导函数,再计算导函数在这点 处的函数值 题型一 题型二 题型三 题型四 求曲线的切线方程 【例 1】 1 3 4 已知曲线 C:y= x + . 3 3 (1)求在曲线C上横坐标为2的点处的切线方程. (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点? 分析解答第(1)小题,可先求出切点坐标及斜率,然后利用直线的 点斜式方程求切线方程;解答第(2)小题,可把第(1)小题中求得的直 线方程与已知的曲线方程组成方程组,求方程组的解. 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)将 x=2 代入曲线 C 的方程,得 y=4, ∴切点的坐标为(2,4). ∴y'|x=2= lim y Δ x →0 x = Δx 1 = lim 4 + 2· Δx + (Δx)2 = 4. Δ x →0 3 x →0 1 (2 + Δx)3 + 4 - 1 × 23 - 4 3 3 3 3 ∴k=y'|x=2=4. ∴曲线 C 在点(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1.解决这类题,先求出函数y=f(x)在已知点处的导数即曲线在 该点处切线的斜率,再由直线的点斜式方程便可求出切线方程. 2.导数的几何意义中所说的点应在曲线上,否则函数在该点处的 导数不是斜率. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 已知曲线C:f(x)=2x2+1,求过点P(0,0)且与曲线C 相切的切线l的方程. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 求切点坐标 【例2】 已知抛物线y=f(x)=3x2+7,求: (1)在抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°? (2)在抛物线上哪一点处的切线平行于直线6x-y-2=0? (3)在抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x+12y-3=0? 分析:设点的坐标→求出在该点处的导数→ 利用条件建立方程→求出点的坐标 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 (2)因为切线平行于直线6x-y-2=0, 所以切线的斜率为6,即f'(x0)=6x0=6,得x0=1. 所以该点的坐标为(1,10). (3)因为切线与直线x+12y-3=0垂直, 所以切线的斜率为12,即f'(x0)=6x0=12,得x0=2. 所以该点的坐标为(2,19). 题型一 题型二 题型三 题型四 反思解答此类题目,所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键,由 这些信息可知函数在所求点处的导数,进而可求得此点的横坐标. 具体的解题步骤为: (1)先设切点坐标为(x0,y0); (2)求导函数f'(x); (3)求切线的斜率; (4)由斜率与导数间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0; (5)切点(x0,y0)在曲线f(x)上,将(x0,y0)代入曲线方程求得切点坐标. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练2】 求曲线y=f(x)=x3在哪一点处的切线, (1)平行于直线y=3x-5? (2)垂直于直线x+6y+5=0? (3)倾斜角为45°? 分析:本题主要考查导数的几何意义和两条直线平行、垂直的条 件.解题的关键是设出切点的坐标,求出切线的斜率. 解:因为 f(x)=x3, 所以 f'(x)= lim f(x+x)-f(x) x Δ x →0 设 P(x0,y0)是满足条件的点. (1)因为切线与直线 y=3x-5 平行, 2 所以 3x0 = 3, x0 = ±1, 即P(1,1)或(-1,-1)是满足

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