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高二下学期数学选修2-1复习综合测试题(答案详解)


2-1 复习题
一、选择题答案: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1.设命题甲:平面内有两定点 F1 , F2 和动点 P,使 | PF1 | ? | PF2 | 是定值;命题乙: 点 P 的轨迹是椭圆,则甲是乙的 ( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条 2 2 2.一动圆与圆 O:x +y =1 外切,又与圆 L:x2+y2-6x+8=0 内切,那么动圆圆心轨迹 是 ( ) A.双曲线的一支 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 3.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,O 为坐标原点,则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

OA ? OB 的值是
A.3 4.椭圆



) C.12 D.-12

B.-3

1 1 x2 y2 ? (a>b>0) 上两点 A、 B 与中心 O 的连线互相垂直, 则 ? 2 =1 2 2 OA OB 2 a b
( ) B.

的值为 A.
2

1 a ? b2

1 a b2
2

a 2b 2 C. 2 a ? b2
5.椭圆

a2 ? b2 D. 2 2 ab

3 ? x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率 e= ,以右焦点为中心将椭圆逆时针旋转 后所得到 2 5 2 a b 16 ,则原椭圆的方程为 3

椭圆的一条准线为 y= A
x2 y2 + =1 25 16

(

) D
x2 y2 + =1 16 25

B

x2 y2 + =1 16 9

C

x2 y2 + =1 25 9

6.若动圆的圆心在抛物线 x 2 =12y 上, 且直线 y+3=0 相切,则此动圆恒过定点 ( ) A. (0,2) B.(0, ? 3) C.(0,3) D.(0,6)

7.如图,∠ACB=90°,平面 ABC 外有一点 P,PC=4cm,点 P 到角的两边 AC、 BC 的距离都等于 2 3 cm,那么 PC 与平面 ABC 所成角的大

小为(

) 。 B.45°
x
2

A.30°

C.60°
? y
2

D.75° 为双曲线右支上

8.设 F1、F2 分别为双曲线 任一点。若 A.(0,2)
PF 1
2

a2

b2

? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点,P

PF2

的最小值为 8a,则该双贡线离心率 e 的取值范围是. B.(1,3) C.[2,3] D.[3,+∞]

9、如图,已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点恰好是 椭圆
x2 y2 ? ? 1 的右焦点, 且两条曲线的连线过 F , a2 b2

则该椭圆的离心率为 (A) 2 ? 1 (B) 2( 2 ? 1) (C)
5 ?1 2 (D) 2 2

10.设 O 点是△ABC 的外心,点 P 满足 OP ? OA ? OB ? OC ,则点 P 一定是△ ABC 的( ) A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上) ? ? ? ? ? ? ? ? 11.已知向量 a 、 b 的夹角为 ,| a |=2,| b |=1,且 a ⊥ ( a ? m b ) ,那 3 么实数 m = . 2 2 12. 已 知 圆 x +y - 6x - 7=0 与 抛 物 线 y2=2px ( p>0 ) 的 准 线 相 切 , 则 p=___________________.. 13. 在二面角 ? ? a ? ? 的棱 a 上有一点 A, 在面 ? 内引射线 AB 且 AB 与 a 成 45° 角,AB 与平面 ? 成 30°的角,则二面角 ? ? a ? ? 为_______________.
x2 y2 14.已知 F1 、 F2 为双曲线 2 ? 2 ? 1 的焦点,M 为双曲线上一点,MF1 垂直于 x a b ? 轴,且 ?F1MF2 ? 30 ,则该双曲线的离心率为 ________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 15. (本小题满分 12 分)如图,OA 是双曲线的实半轴,OB 是虚半轴,F 1 为焦点,且∠BAO=30°,S△ABF= (6 ? 3 3) ,求该双曲线的方程. 2

16. ( 本 小 题 满 分 12 分 设 点 O 、 A 、 B 、 C 为 同 一 平 面 内 四 点 ,

? ? ? ? ? ? ? ? ? OA ? a, OB ? b , OC ? c , 且 a ?b ? c ? 0 , a ?b
判断 ?ABC 的形状.

? ? ? ? ? b ? c ? c ? a ? ?1 ,

17. (本小题满分 12 分) 如图, 在直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中, AB⊥BC, AB=1, BC= 2 , AA1=2, E 是侧棱 BB1 的中点. (1)求二面角 A1—AE—D1 的大小; (2)直线 AE 与平面 AC1D1 所成的角; (3)求异面直线 A1E 与 AC1 所成的角.

18 . 已知直三棱柱 ABC — A1 B1C1 ,直线 A1C 与平面 ABC 成 45 °角,且

AB ? BC ? 2 ,∠ABC=90°,E 为 AB 的中点。
(I)求证:BC⊥ A1 E ; (II)求证:BC1∥平面 A1EC; (III)求二面角 A—A1C—E 的正切值。

19. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ( x, 3 y),b ? (1,0), 且 (a ? 3b) ? (a ? 3b) . (1)求点 Q ( x, y ) 的轨迹 C 的方程; (2) 设曲线 C 与直线 y ? kx ? m 相交于不同的两点 M、 N,又点 A(0,-1) , 当 | AM |?| AN | 时,求实数 m 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分)已知双曲线

x2 y2 =1(a>0,b>0)的右准线 l2 与 ? a2 b2

一条渐近线 l 交于点 P,F 是双曲线的右焦点. (1)求证:PF⊥l; (2)若|PF|=3,且双曲线的离心率 e=

5 ,求该双曲线方程; 4

(3)延长 FP 交双曲线左准线 l1 和左支分别为点 M、N,若 M 为 PN 的中 点,求双曲线的离心率.

2-1 复习题答案
一、选择题答案: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 D 5 A 6 C 7 B 8 B 9 A 10 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上) 11.已知向量 a 、 b 的夹角为
? ? ? ? ? ? ? ? ,| a |=2,| b |=1,且 a ⊥ ( a ? m b ) ,那么实数 m 3

4 = . 2 2 12.已知圆 x +y -6x-7=0 与抛物线 y2=2px(p>0)的准线相切,则 p=___2 ___.
13.在二面角 ? ? a ? ? 的棱 a 上有一点 A,在面 ? 内引射线 AB 且 AB 与 a 成 45°角,AB 与平面 ? 成 30°的角,则二面角 ? ? a ? ? 为_____ 45 __________
?

14.已知 F1 、 F2 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦点,M 为双曲线上一点,MF1 垂直于 x 轴,且 a2 b2 ?F1MF2 ? 30? ,则该双曲线的离心率为 2 ? 3 ___
三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.如图,OA 是双曲线的实半轴, OB 是虚半轴,F 为焦点,且∠BAO=30°,S△ABF=

1 (6 ? 3 3) ,求该双曲线的方程. 2
16.设点 O、 A、 B、 C 为同一平面内四点,OA ? a, 且 OB ? b , OC ? c ,

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 0 , a ? b ? b ? c ? c ? a ? ?1 , 判断 ?ABC 的形状.
? a ? (a ? b ? c ) ? 0,? a 解:? a ? b ? c ? 0, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? c ? 0,

?2 ?2 ? ? ? ? ?2 又 ? a ? b ? a ? c ? ?1,? a ? 2 .同理 b ? c ? 2 ,
又 AB ? b ? a ,? AB ? b 理

?

?

2

?2

?2 ? ? ? a ? 2a ? b ? 6 , ? AB ? 6 , 同

BC ? AC ? 6 ,? ?ABC 为等边三角形.
17. (本小题满分 12 分) 如图,在直四棱柱 ABCD — A1B1C1D1 中, AB ⊥ BC , AB=1 , BC= 2 ,AA1=2,E 是侧棱 BB1 的中点.

(1)求二面角 A1—AE—D1 的大小; (2)直线 AE 与平面 AC1D1 所成的角; (3)求异面直线 A1E 与 AC1 所成的角. 17.解: (1)? A1 D1 ⊥面 ABB1A1,∴D1A1⊥AE. 又∵AE=A1E= 2, A1 A ? 2,? A1 A2 ? AE 2 ? A1 E 2 ,? A1 E ? AE. ∴AE⊥面 A1ED1,∴D1E⊥AE,∴∠A1ED1 即为二面角 A1—AE—D1 的平面角. 在 Rt△A1ED1 中,∠D1A1E=

? ? ,A1D=A1E,故二面角 A1—AE—D1 的平面角为 …… 2 4

4分 (2)由已知得面 ABC1D2⊥面 BC1,过 E 和 EF⊥BC 于 F,连接 AF,则 EF⊥面 ABC1D1, ∴∠EAF 即为直线 AE 与平面 ABC1D1 所成的角. 在 R t△AEF 中, ∠AFE=

? , AE= 2 , EF= 1 ? 2 2 ? 1 2 2 6 3

? sin ?EAF ?

EF 6, ? AE 6

直线 AE 与平面 ABC1D1 所成的角为 arcsin

6 . ………………8 分 6

(3)延长 B1B 到 M 使 BM=BE,连 AM,则 AM//A1E ∴∠MAC1 即为异面直线 A1E 与 AC1 所成的角或其补角. 在 △AMC1 中, AC1= 7 , AM= 2 , MC1= 11 ? cos?MAC1 ? 7 ? 2 ? 11 ? ? 14 . 14 2? 7 ? 2 直线 A1E 与 AC1 所成的角为 arccos

14 ………………12 分 14

18.已知直三棱柱 ABC— A1 B1C1 ,直线 A1C 与平面 ABC 成 45°角,且 AB ? BC ? ∠ABC=90°,E 为 AB 的中点。 (I)求证:BC⊥ A1 E ; (II)求证:BC1∥平面 A1EC; (III)求二面角 A—A1C—E 的正切值。 18.本小题满分 12 分) 解: (I)在直三棱柱 ABC— A1 B1C1 中,AA1⊥面 ABC ∴AA1⊥BC 又∵∠ABC=90° ∴BC⊥面 ABB1A1 又 A1 E ? 面 ABB1A1 ∴BC⊥A1E 3 分 (II)连接 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 的中点

2,

又∵E 为 AB 的中点 ∴EF∥BC1 5 分 又 EF ? 面 A1CE ∴BC1∥面 A1CE 6 分 (III)∵面 ACA1⊥面 ABC,作 EO⊥AC,则 EO⊥面 ACA1, 作 OG⊥A1C,则∠OGE 为二面角 A—A1C—E 的平面角 8 分 又∵直线 A1C 与面 ABC 成 45°角 ∴∠A1CA=45° 又 AB ? BC ? ∴ OG ?

2 ,E 为 AB 的中点
11 分

∴ OE ?

1 1 3 ,AO ? ,CO ? 2 2 2

3 2 4

1 OE 2 ∴ tan ∠OGE ? ? 2 ? OG 3 3 2 4
∴二面角 A—A1C—E 的正切值为 19. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ( x, 3 y),b ? (1,0), 且 (a ? 3b) ? (a ? 3b) . (1)求点 Q ( x, y ) 的轨迹 C 的方程; (2)设曲线 C 与直线 y ? kx ? m 相交于不同的两点 M、N,又点 A(0,-1) ,当

2 3

12 分

| AM |?| AN | 时,求实数 m 的取值范围.
19.解: (Ⅰ)? (a ? 3b) ? (a ? 3b)

? (a ? 3 b) ? (a ? 3 b) ? a ? 3b ? x ? 3 y ? 3 ? 0
2 2

2

2

x2 ? y2 ? 1 得 3

? Q 点的轨迹 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ……………………6 分 3

? y ? kx ? m ? (Ⅱ)由 ? x 2 得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6mkx? 3(m 2 ? 1) ? 0 2 ? ? y ? 1. ?3
由于直线与椭圆有两个交点,? ? ? 0,即m 2 ? 3k 2 ? 1 (1)当 k ? 0 ,设 P 为弦 MN 的中点, ①

? xp ?

xM ? x N m 3m k ?? 2 从而 y p ? kx p ? m ? 2 3k 2 ?1 3k ? 1

? k Ap ?

yp ?1 xp

??

m ? 3k 2 ? 1 3mk

又|AM|=|AN|,? AP ? MN ,

则?

m ? 3k 2 ? 1 1 ?? 3m k k

即 2m ? 3k ? 1
2


2

2 把②代入①得 2m ? m ,解得 0 ? m ? 2 ;由②得 k ?

2m ? 1 1 ? 0 ,解得 m ? , 3 2

故所求 m 的取值范围是(

1 ,2). ……………………10 分 2

(2)当 k ? 0 时,|AM|=|AN|,? AP ? MN , m 2 ? 3k 2 ? 1, 解得 ? 1 ? m ? 1. 故所求 m 的取值范围是(-1,1). 当 k ? 0 时,m 的取值范围是 ( ,2) ,当 k ? 0 时,m 的取值范围是(-1,1).…… 12 分

1 2

x2 y2 20.(本小题满分 12 分)已知双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的右准线 l2 与一条渐近 a b
线 l 交于点 P,F 是双曲线的右焦点. (1)求证:PF⊥l; (2)若|PF|=3,且双曲线的离心率 e=

5 ,求该双曲线方程; 4

(3)延长 FP 交双曲线左准线 l1 和左支分别为点 M、N,若 M 为 PN 的中点,求双曲 线的离心率.

b a2 20.(1)右准线为 x= ,由对称性不妨设渐近线 l 为 y= x, c a

则 P(

a ab ,又 F(c,0) ,∴ k PF , ) c c

2

ab ?0 a c ? 2 ?? , a b ?c c

2分

又∵ k l

?

a b b ,∴kPF·kl=- ? =-1, a b a

∴PF⊥l. 4分 (2)∵|PF|的长即 F(c,0)到 l:bx-ay=0 的距离, ∴

| bc | a2 ? b2

=3,即 b=3,

6分

又e ?

c 5 a 2 ? b 2 25 ? ,∴ ? ,∴a=4, a 4 a2 16
8分

x2 y2 故双曲线方程为 =1. ? 16 9
(3)PF 的方程为:y=-

a (x-c) , b

a ? y ? ? ( x ? c), ? a 2 a(a 2 ? c 2 ) ? b 由? 得 M (? , ), 2 c bc a ?x ? ? , ? c ?
∵M 是 PN 的中点

9分

3a 2 a(3a 2 ? c 2 ) ∴ N (? , ), c bc 9a 2 a 2 3a 2 ? c 2 2 ∴ 2 ? 2 ( ) ? 1, c c b2

10 分

∵N 在双曲线上,



9 1 e2 ? 3 2 ? 2 ( 2 ) ? 1 , 令 t=e2,则 t2-10t+25=0,∴t=5,即 e= 5 . 2 e e e ?1

12 分


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