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山西省四校(康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中)2013届第一次联考数学理

2013 届高三年级第一次四校联考
数学(理)试题
命题: 康杰中学 忻州一中 临汾一中 长治二中 (满分 150 分,考试时间 120 分)
一、选择题(5×12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将
正确选项用 2B 铅笔涂黑机读卡上对应题目的答案标号)
1.设全集U ? R ,集合 A ? {x | 2x ? x2 ? 0},集合B ? {y | y ? ex ?1} ,则 A B ?

A.{x |1 ? x ? 2} B.{x | x ? 2} C.{x | x ? 1} D.{x |1 ? x ? 2}

2. 设 a ? R ,则 a ?1 是 1 ? 1 的 a

A. 充分但不必要条件

B. 必要但不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

3.已知数列{an} 的前 n 项和 Sn ? 3n ?1, 则其通项公式 an ?

A. 3? 2n?1

B. 2 ? 3n?1

C. 2 n

4. 已知 sin ? ? 3 , cos ? ? ? 4 ,则? 是第( )象限角:
25 2 5

A. 第一象限

B .第二象限

C.第三象限

D. 3n
D. 第四象限

5.

已知数列

{an

}

为等比数列,

a 4

?a 7

? 2, a a 56

? ?8 ,则 a1

? a10

?

A. -7

B. -5

C. 5

D. 7

?2x ? y ? 2 ? 0 6. 设变量 x, y 满足约束条件 ??x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 2y ? 3x 的最大值为
??x ?1 ? 0

A. -3

B. 2

C. 4

D. 5

7.在 ? ABC,已知 AB ? AC ? AB ? CB ? 1,则| AB |的值为:( )

A.1

B. 2

C. 3

D. 2

8.如果函数

f (x) ?

2x ? a a?2x ?1

(a ? 0) 是奇函数,则函数

y?

f (x) 的值域是

A. [?1, 1]

B. (?1,1]

C. (?1,1)

D. (??, ?1) ? (1, ??)

9.已知 f (x) ? ln(a x ? b)(a ? 0,且a ? 1) 的定义域为 (-?,1] ,值域为[0,??) ,

则 a ? b 的取值范围是

A. (??,1]

B. [1,??)

C.{1}

D. (0,1]

10. 已知圆 O 的半径为 3,直径 AB 上一点 D 使 AB ? 3AD ,E、F 为另一直径的两个端点, 则 DE ? DF ?

A. ?3

B. ?4

C. ?8

D. ?6

11. 定义在R上的偶函数 f (x)满足f (x) ? f (x ? 2), 当 x ?[3,4) 时, f (x) ? (log 3 2)x ? 2, 则 f (sin1)与f (cos1) 的大小关系为

A. f (sin1) ? f (cos1) C. f (sin1) ? f (cos1)

B. f (sin1) ? f (cos1)
D. 不确定

12. 函数 f (x) ? 1 x2 ? 2cosx ? 2 的导函数 f ?(x) 的图象大致是 4

二、



空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上)

13. 函数 f ( x) ? 1 x3 ? 2x2 ? 3x ? 1的单调递增区间为_____________________. 3

14. 若不等式 | ax ? 2 |? 6 的解集为(-1,2),则实数 a 的值为

.

15. 若直角坐标平面内 M、N 两点满足:

①点 M、N 都在函数 f(x)的图像上;

②点 M、N 关于原点对称,则称这两点 M、N 是函数 f(x)的一对“靓点”。

已知函数

则函数 f(x)有

对“靓点”。

16. 已知 ?ABC中,角 A、B、C 所对边分别为 a,b,c ,若1? tan A ? 2c ,则 a2 的最小值 tan B b bc



.

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答 写在答卷纸的相应位置上)

17. (本小题满分 10 分)

已知函数 f (x) ?

log

2

(

x

?1)

的定义域为

A,函数

g

(

x)

?

(

1 2

)

x

(?1 ? x ? 0) 的值域为 B.

(I)求 A? B ;

(II)若 C ? {x | a ? x ? 2a ?1},且 C ? B ,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)已知{an} 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12 . (I)求数列{an} 的通项公式; (II){an} 的前 n 项和为 S n ,若 a1, ak , Sk?2 成等比数列,求正整数 k 的值
19. (本题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? (sin x ? cosx)sin 2x sin x
(1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间.
20.(本小题满分 12 分)
?A B C中, a,b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 m ? (3,2sin A),n ? (sin A,1? cos A),

满足 m // n ,且 7 (c ? b) ? a
(1)求角 A 的大小;
(2)求 cos(C ? ? ) 的值 6

21.(本小题满分 12 分)某公司生产陶瓷,根据历年的情况可知,生产陶瓷每天的固定成本

为 14000 元,每生产一件产品,成本增加 210 元.已知该产品的日销售量 f (x) 与产量 x 之

间的关系为

f

(

x)

?

? ? ?

1 625

x2

,

0

?

x

?

400

,

每件产品的售价 g(x) 与产品 x 之间的关系为

??256, x ? 400

g(x)

?

??? ?

5 8

x

?

750, 0

?

x

?

400

??400, x ? 400

(I)写出该陶瓷厂的日销售利润 g(x) 与产量 x 之间的关系式;

(II)若要使得日销售利润最大,每天该生产多少件产品,并求出最大利润.

22.(本题满分 12 分). 已知函数 f (x) ? 2 ? a ln x ? 2(a ? 0). x
(1)若曲线 y ? f (x) 在点 P(1, f (1)) 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直,求函数 y ? f (x) 的
单调区间;
(2)若对 ?x ?(0, ??) 都有 f (x) ? 2(a ?1) 成立,试求实数 a 的取值范围; (3)记 g(x) ? f (x) ? x ? b(b ? R) ,当 a=1 时,函数 g(x) 在区间[e?1, e] 上有两个零点,
求实数 b 的取值范围。

四校一联理科数学参考答案

一、选择题:DABDA, CBDCC, AC

二、13. (??,1),(3, ??) ;14. -4;15.一对 ;16. 1
三、解答题:

17. 解:(Ⅰ)由题意得: A ? {x | x ? 2}

……………………………2 分

B ? {y | 1 ? y ? 2}

……………………………………………………4 分

A ? B ? {2}

……………………………………………………………5 分

(II)由(1)知: B ? {y | 1 ? y ? 2},又 C ? B

(1)当 2a ?1? a 时,a<1, C ? ? ,满足题意

…………………6 分

(2)当

2a

?1

?

a



a

?

1

时,要使

C

?

B

,则

?a ?1 ??2a ?1

?

2

…………8 分

解得1 ? a ? 3 2
综上, a ? (??, 3] 2

………………………………………………………9 分 ………………………………………………10 分

18.解:(I)设数列 {an } 的公差为

d,由题意得

?2a1 ??2a1

? ?

2d 4d

?8 ? 12



解得: a1 ? 2, d ? 2

…………………………………………………3 分

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n

…………………5 分

(II)由(I)可得:

Sn

?

(a1

? an )n 2

?

(2 ? 2n)n 2

?

n(1?

n)

……8 分



a1

,

ak

,

Sk

?

2

成等比数列,所以

a

2 k

?

a1Sk ?2

从而 (2k)2 ? 2(k ? 2)(k ? 3) ,即 k2 ? 5k ? 6 ? 0

………………………10 分

解得: k ? 6或k ? ?1(舍去),因此 k ? 6 .

…………………12 分

19.解:(1)由 sinx≠0 得 x≠kπ(k∈Z), 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.

??3 分

f (x) ? (sin x ? cosx)sin 2x sin x
=2cosx(sinx-cosx) =sin2x-cos2x-1
= 2sin??2x-π4??-1,

……………………………… 6 分

所以 f(x)的最小正周期 T=22π=π.

………………………8 分

(2)函数 y=sinx 的单调递增区间为??2kπ-π2,2kπ+π2??(k∈Z).
由 2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2,x≠kπ(k∈Z), 得 kπ-π8≤x≤kπ+38π,x≠kπ(k∈Z).
所以 f(x)的单调递增区间为??kπ-π8,kπ??和??kπ,kπ+38π??(k∈Z).

………………12 分

20. 解(12 分)⑴? m // n ?3(1 ? c o sA) ? 2s in2 A

即 2cos2 A ? 3cos A ?1 ? 0

?cos A ? ? 1 或 -(1 舍去) ? A ? 2 ?

2

3

⑵? (7 c ? b) ? a ? 7(c2 ? b2 ? 2bc) ? a 2

………………5 分

而 a2 ? b2 ? c2 ? bc ?2c2 ? 5bc ? 2b2 ? 0 ?c ? 2b或c ? 1 b(? c ? b,舍去)
2 ?sin C ? 2sin B
与 7 (sin C ? sin B) ? sin A ? 3 联立 2

………………8 分

可得 sin C ? 21 , cosC ? 2 7

7

7

…………………………10 分

? cos(C ? ? ) ? 3 cosC ? 1 sin C ? 3 21

62

2

14

………12 分

21. 解:(I)总成本 c(x) ? 14000 ? 210x ,所以日销售利润

Q(x)

?

f

(x)g(x)

?

????

1 1000

?

x3

?

6 5

x2

? 210x ?14000, 0 ?

x?

400,

??210x ? 88400 x ? 400.

??

(II)①当 0 ? x ? 400 时, Q?(x) ? ? 3 x2 ? 12 x ? 210 . 1000 5

令 Q?(x) ? 0 ,解得 x ?100或x ? 700 (舍去).

……5 分

当 0 ? x ?100 时, Q?(x) ? 0 ,当100 ? x ? 400时, Q?(x) ? 0 .因为 Q(0) ? Q(400)

所以 x ? 400 时, Q(x) 取得最大值,且最大值为 30000; …………………8 分

② x ? 400 时, Q(x) ? ?210x ? 88400 ? 3000. ………………………………11 分

综上所述,若要使得日销售利润最大,每天该生产 400 件产品,其最大利润为 30000 元. ……………………………………………………………………………………12 分
22.解: (1) 直线 y ? x ? 2 的斜率为 1.

函数

f

(x) 的定义域为 (0, ??) ,

f

?( x)

?

?

2 x2

?

a x



所以

f

?(1)

?

2 ? 12

?

a 1

?

?1 ,解得 a

?1

所以

f

(x)

?

2 x

? ln

x?2,

f

?( x)

?

x?2 x2

由f ?(x) ? 0 ,得 x>2; 由f ?(x) ? 0 得 0<x<2

………2 分

所以 f(x)的单调递增区间是(2,+ ? ),单调递减区间(0,2)

(2)

f

?(x) = ?

2 x2

?

a x

=

ax ? x2

2

,?

a

?

0,

由f ?(x) ? 0 得 x ? 2 ,由f ?(x) ? 0 得 0 ? x ? 2

a

a

所以 f(x)的单调递增区间是( 2 ,+ ? ),单调递减区间(0, 2 )

a

a

当 x= 2 时, a

f

(x)

取极小值,也就是最小值

f

(x)min =

f

(2) a

?对 ?x ?(0, ??) 都有 f (x) ? 2(a ?1) 成立,∴ f ( 2 ) >2( (a ?1) a

2 ? a ln 2 ? 2 >2( (a ?1) ,………8 分

2 a

a

∴ a ln 2 ? a , ln 2 ? 1 , 0 ? a ? 2 .实数 a 的取值范围(0, 2 )

a

a

e

e

(3) 当 a =1 时, g(x) = 2 ? ln x ? x ? 2 ? b ,(x>0) x

g?(x) = x 2 ? x ? 2 ,由 g?(x) >0 得 x>1, 由 g?(x) <0 得 0<x<1. x2

………4 分 ………6 分 ………9 分

所以 g(x) 的单调递增区间是(1,+ ? ),单调递减区间(0, 1)

x=1 时 g(x) 取得极小值 g(1) . ………10 分

?g(e?1 ) ? 0

因为函数

g(x)

在区间 [e?1 ,

e]

上有两个零点,所以

? ?

g

(e)

?

0

……………11 分

? ?

g

(1)

?

0

解得1 ? b ≤ 2 ? e ?1. e

所以 b 的取值范围是 (1, 2 ? e ?1] . e

……………12 分


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