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2012年中考九年级数学第一轮复习

2012 年中考第一轮复习
第一章 数与式

课时 1.实数的有关概念
【考点链接】 一、有理数的意义 1.数轴的三要素为 、 和 . 数轴上的点与 构成一一对应. 2.实数 a 的相反数为________. 若 a , b 互为相反数,则 a ? b = . 3.非零实数 a 的倒数为______. 若 a , b 互为倒数,则 ab = . 4.绝对值 在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。即一个正数的绝 对值等于它 ;0 的绝对值是 ;负数的绝对值是它的 。 a ( a>0 ) 即│a│= 0 ( a=0 ) -a ( a<0 ) 5.科学记数法:把一个数表示成 的形式,其中 1≤ a <10 的数,n 是整数.

6.一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.这时,从 左边第一个不是 的数起,到 止,所有的数字都叫做这个数的有效数字. 二、实数的分类 1.按定义分类 正整数 整数 零 自然数 有理数 负整数 正分数 分数 有限小数或无限循环小数 实数 负分数 正无理数 无理数 负无理数 2.按正负分类 正整数 正有理数 正实数 实数 正分数 正无理数 零(既不是正数也不是负数) 负整数 负有理数 负实数 负分数 负无理数 无限不循环小数

1

【河北三年中考试题】 1.(2008 年,2 分) ? 8 的倒数是( A. 8 B. ? 8 C.
1 8
2

) D. ?
1 8

2. (2008 年,3 分)若 m, n 互为相反数,则 5 m ? 5 n ? 5 ? 3.(2009 年,3 分)若 m、n 互为倒数,则 m n ? ( n ? 1) 的值为 年发电量约为 12 000 000 千瓦.12 000 000 用科学记数法表示为 5. (2010 年,3 分) ? 5 的相反数是 .
D A 0

. . .
C B 图7

4. (2009 年,3 分)据中国科学院统计,到今年 5 月, 我国已经成为世界第四风力发电大国,

6. (2010 年,3 分)如图 7,矩形 ABCD 的顶点 A,B 在数轴上, CD = 6, A 对应的数为 ? 1 , 点 则点 B 所对应的数为 .

2

课时 2.

实数的运算与大小比较

【考点链接】 一、实数的运算 1.实数的运算种类有:加法、减法、乘法、除法、 化为 运算,除法、乘方都转化为 运算。 2. 数的乘方 3. a ?
0



六种,其中减法转

a

n

?

,其中 a 叫做 0 且a 是 )a
?p

,n 叫做
?

. 0)

(其中 a

(其中 a

4. 实数运算

先算 ,再算 ,最后算 ;如果有括号,先算 里面的,同一级运算按照从 到 的顺序依次进行. 二、实数的大小比较 1.数轴上两个点表示的数, 的点表示的数总比 的点表示的数大. 2. 正数 0, 负数 0, 正数 负数; 两个负数比较大小, 绝对值大的 对值小的. 3.实数大小比较的特殊方法 ⑴设 a、b 是任意两个数,若 a-b>0,则 a a b.
2 ;
a b



b;若 a-b=0,则 a

b,若 a-b<0,则

⑵平方法:如 3>2,则 3 ⑶商比较法: 已知 a>0、 b>0, 若 ⑷近似估算法 ⑸找中间值法

>1, a 则

b; 若

a b

=1, a 则

b; 若

a b

<1, a 则

b.

4.n 个非负数的和为 0,则这 n 个非负数同时为 0.
2 例如:若 a + b + c =0,则 a=b=c=0.

【河北三年中考试题】 1.(2009 年,3 分)比较大小:-6 2.(2009 年,2 分) ( ? 1) 等于(
3

-8. (填“<”“=”或“>” 、 ) ) D.3 D. ? 6

A.-1 B.1 C.-3 3.(2010 年,2 分)计算 3?( ? 2) 的结果是 A.5 B. ? 5 C.6

3

课时 3.整式及其运算
【考点链接】 1. 代数式:用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把 或表示 连接而成的式子叫做代数式. 2. 代数式的值:用 代替代数式里的字母,按照代数式里的运算关系,计算后所 得的 叫做代数式的值. 3. 整式 (1)单项式:由数与字母的 组成的代数式叫做单项式(单独一个数或 也是单项式).单项式中的 叫做这个单项式的系数;单项式中的所有字母的 叫做这个单项式的次数. (2) 多 项 式 : 几 个 单 项 式 的 叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫 做多项式的 ,其中次数最高的项的 叫做这个多项式的次数.不含字母 的项叫做 . (3) 整式: 与 统称整式. 4. 同类项:在一个多项式中,所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫 做同类项. 合并同类项的法则是 相加,所得的结果作为合并后的系数,字母和 字母的指数 。 m n m n m n n 5. 幂的运算性质: a ?a = ; (a ) = ; a ÷a =_____; (ab) = . 6. 乘法公式: (1) ( a ? b )( c ? d ) ?
2

; (2) (a+b)(a-b)=
2



(3) (a+b) = ;(4)(a-b) = . 7. 整式的除法 ⑴ 单项式除以单项式的法则:把 、 分别相除后,作为商的因式;对于 只在被除武里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式. ⑵ 多项式除以单项式的法则:先把这个多项式的每一项分别除以 ,再把 所得的商 .

【河北三年中考试题】 1.(2008 年,2 分) 计算 a ? 3 a 的结果是(
2 2


4

A. 3 a

2

B. 4 a

2

C. 3 a

4

D. 4 a

2.(2009 年,2 分)下列运算中,正确的是( A. 4 m ? m ? 3
2 3 6



B. ? ( m ? n ) ? m ? n

( C. m ) ? m D. m 2 ? m 2 ? m 3.(2010 年,2 分) 下列计算中,正确的是

A. 2 0 ? 0

2 B. a ? a ? a

C. 9 ? ? 3

D. ( a ) ? a
3 2

6

4

课时 4.因式分解
【考点链接】 1. 因式分解:就是把一个多项式化为几个整式的 的形式.分解因式要进行到每一个 因式都不能再分解为止. 2. 因式分解的方法:⑴ ,⑵ , ⑶ ,⑷ . 3. 提公因式法: ma ? mb ? mc ? __________ _________. 4. 公式法: ⑴ a ? b ?
2 2

⑵ a ? 2 ab ? b ?
2 2 2



⑶ a ? 2 ab ? b ?
2

. .

5. 十字相乘法: x ? ? p ? q ? x ? pq ?
2

6.因式分解的一般步骤:一“提” (取公因式) ,二“套” (公式) . 7.易错知识辨析 (1)注意因式分解与整式乘法的区别; (2)完全平方公式、平方差公式中字母,不仅表示一个数,还可以表示单项式、多项 式. 【河北三年中考试题】

5

课时 5.分式
【考点链接】 1. 分式:整式 A 除以整式 B,可以表示成 称 则 A 为分式.若 B A =0. B ,则 A 的形式,如果除式 B 中含有 B ,则 A 无意义;若 B ,那么 ,

A 有意义;若 B

2.分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式 的 .用式子表示为 . 3. 约分:把一个分式的分子和分母的 约去,这种变形称为分式的约分. 4.通分:根据分式的基本性质,把异分母的分式化为 的分式,这一过程称为分 式的通分. 5.约分的关键是确定分式的分子与分母的 ;通分的关键是确定 n 个分式的 。 6.分式的运算(用字母表示) ⑴ 加减法法则:① 同分母的分式相加减: . ② 异分母的分式相加减: . ⑵ 乘法法则: .乘方法则: . ⑶ 除法法则: .

【河北三年中考试题】 1.(2008 年,3 分)当 x ? 时,分式
? ?

3 x ?1
2

无意义.

2.(2008 年,7 分)已知 x ? ? 2 ,求 ? 1 ?

1 ? x ? 2x ?1 的值. ?? x? x

3.(2009 年,8 分)已知 a = 2, b ? ? 1 ,求 1 ?

a ?b
2 2

2

a ? ab

÷ 的值.
a

1

4.(2010 年,2 分)化简
2 2 A. a ? b

a

2

a?b

?

b

2

a?b

的结果是 C. a ? b D.1

B. a ? b

6

课时 6.二次根式
【考点链接】 一、平方根、算术平方根、立方根 1.若 x =a(a
2

0) ,则 x 叫做 a 的

,记作± a ;

叫做算数平方

根,记作 。 2.平方根有以下性质: ①正数有两个平方根,他们互为 ②0 的平方根是 0; ③负数没有平方根。
3



3.如果 x =a,那么 x 叫做 a 的立方根,记作 3 a 。 二、二次根式 1.二次根式的有关概念 ⑴ ⑵ 式子 a ( a ? 0 ) 叫做二次根式.注意被开方数 a 只能是 .并且根式.

简二次根式 被开方数所含因数是 ,因式是 最简二次根式. (3) 同类二次根式 化成最简二次根式后,被开方数 2.二次根式的性质 ⑴ ⑵
a

,不含能

的二次根式,叫做

几个二次根式,叫做同类二次根式.

0(a≥0) ;
2

? a?

?

( a ≥0)



a

2

?





ab ?

(a≥0, b≥0) ⑸ ;

a b

?

(a≥0,b>0).

3.二次根式的运算 (1) 二次根式的加减: ①先把各个二次根式化成 ②再把 不变. (2) 二次根式的乘除法 二次根式的运算结果一定要化成

; 分别合并,合并时,仅合并





【河北三年中考试题】 1.(2009 年,2 分)在实数范围内, x 有意义,则 x 的取值范围是( A.x ≥0 B.x ≤0 C.x >0 D.x <0 )

7

第二章

方程(组)与不等式(组)

课时 7.一次方程及方程组
【考点链接】 一、等式与方程的有关概念 1.等式及其性质 ⑴ 等式:用等号“=”来表示 ⑵ 性质:① 如果 a ? b ,那么 a ? c ? ② 如果 a ? b ,那么 ac ? 如果 a ? b ?c ? 0 ? ,那么
a c

关系的式子叫等式. ; ;
?

.

2. 方程、一元一次方程的概念 ⑴ 方程:含有未知数的 叫做方程;使方程左右两边值相等的 ,叫做方程 的解;求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同. ⑵ 一元一次方程:在整式方程中,只含有 个未知数,并且未知数的次数是 ,系 数不等于 0 的方程叫做一元一次方程;它的一般形式为 3. 解一元一次方程的步骤: ①去 ;②去 ;③移 ;④合并 ;⑤系数化为 1.

?a

? 0?.

二、二元一次方程(组)及解法 1.二元一次方程:含有 未知数(元)并且未知数的次数是 的整式方程.

2. 二元一次方程组:由 2 个或 2 个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组. 3.二元一次方程的解: 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程 的一个解,一个二元一次方程有 个解. 4.二元一次方程组的解: 使二元一次方程组的 ,叫做二元一次方程组的解. 5. 解二元一次方程的方法步骤: 二元一次方程组 消元 转化 消元是解二元一次方程组的基本思路,方法有 6.易错知识辨析: (1)解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化,要注意:①方程两边不能乘 以(或除以)含有未知数的整式,否则所得方程与原方程不同解;②去分母时,不要漏 乘没有分母的项;③解方程时一定要注意“移项”要变号. (2)二元一次方程有无数个解,它的解是一组未知数的值; (3)二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解,是一对确定的数值; (4)利用加减法消元时,一定注意要各项系数的符号. 消元和 消元法两种. 方程.

8

【河北三年中考试题】 1.(2008 年,3 分)图 8 所示的两架天平保持平衡,且每块 巧克力 巧克力的质量相等,每个果冻的质量也相等,则一块 巧克力的质量是 g. 果冻

50g 砝码

图8 2.(2009 年,3 分)如图 9,两根铁棒直立于桶底水平的木桶中,在桶中 加入水后,一根露出水面的长度是它的 ,另一根露
3 1

出水面的长度是它的 .两根铁棒长度之和为 55 cm,
5

1

此时木桶中水的深度是

cm. 图9

3.(2010 年,2 分)小悦买书需用 48 元钱,付款时恰好用了 1 元和 5 元的纸币共 12 张.设 所用的 1 元纸币为 x 张,根据题意,下面所列方程正确的是 A. x ? 5 (12 ? x ) ? 48 B. x ? 5 ( x ? 12 ) ? 48 C. x ? 12 ( x ? 5 ) ? 48 D. 5 x ? (12 ? x ) ? 48

9

课时 8.一元二次方程及其应用
【考点链接】 1.一元二次方程:在整式方程中,只含 个未知数,并且未知数的最高次数是 的方程 叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项, 叫做一次项, 叫做常数项; 叫做二次项的 系数, 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法: (1)直接开平方法:形如 x ? a ( a ? 0 ) 或 ( x ? b ) ? a ( a ? 0 ) 的一元二次方程,就可用
2 2

直接开平方的方法. (2)配方法:用配方法解一元二次方程 ax
2

? bx ? c ? o ? a ? 0 ? 的一般步骤是:①化二

次项系数为 1, 即方程两边同时除以二次项系数; ②移项, 使方程左边为二次项和一次项, 右边为常数项,③配方,即方程两边都加上一次项系数一半的平方,④化原方程为
( x ? m ) ? n 的形式,⑤如果是非负数,即 n ? 0 ,就可以用直接开平方求出方程的解.
2

如果 n<0,则原方程无解. (3)公式法:一元二次方程 a x ? b x ? c ? 0 ( a ? 0 ) 的求根公式是
2

x1, 2 ?

?b ?

b ? 4ac
2

(b ? 4 a c ? 0 ) .
2

2a

(4)因式分解法:因式分解法的一般步骤是:①将方程的右边化为 ;②将方程的 左边化成两个一次因式的乘积;③令每个因式都等于 0,得到两个一元一次方程,解这两 个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式: 关于 x 的一元二次方程 ax
2

2

? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 的根的判别式为
2

. 实数根, x 1 , 2 ? 即 . .

b (1) ? 4 ac >0 ? 一元二次方程 ax
2

? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 有两个

(2) b ? 4 ac =0 ? 一元二次方程有 (3) b ? 4 ac <0 ? 一元二次方程 ax
2

相等的实数根,即 x 1 ? x 2 ?
2

? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ?

实数根.

4. 一元二次方程根与系数的关系 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 a x ? b x ? c ? 0 ( a ? 0 ) 有 两 根 分 别 为 x1 , x 2 , 那 么
2

x1 ? x 2 ?

, x1 ? x 2 ?

.

5.列一元二次方程解应用题的一般步骤:审、找、设、列、解、答六步。

10

【河北三年中考试题】 1.(2008 年,2 分)某县为发展教育事业,加强了对教育经费的投入,2007 年投入 3 000 万 元,预计 2009 年投入 5 000 万元.设教育经费的年平均增长率为 x ,根据题意,下面所列 方程正确的是( ) A. 3 0 0 0 (1 ? x ) ? 5 0 0 0
2

B. 3 0 0 0 x ? 5 0 0 0
2

C. 3 0 0 0 (1 ? x% ) ? 5 0 0 0
2

D. 3 0 0 0 (1 ? x ) ? 3 0 0 0 (1 ? x ) ? 5 0 0 0
2

2.(2010 年,3 分)已知 x = 1 是一元二次方程 x 2 的值为 .

? mx ? n ? 0

的一个根,则

m

2

? 2mn ? n

2

11

课时 9.分式方程及其应用
【考点链接】 1.分式方程:分母中含有 2.解分式方程的一般步骤: (1)去分母,在方程的两边都乘以 (2)解这个整式方程; (3)验根,把整式方程的根代入 是原方程的增根,必须舍去. 3. 用换元法解分式方程的一般步骤: ① 设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式;② 解所得 到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;③ 把辅助未知数的值代入原设 中,求出原未知数的值;④ 检验作答. 4.分式方程的应用: 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似,不同的是要注意检验: (1)检验所求的解是否是所列 ; (2)检验所求的解是否 . ,看结果是不是零,使最简公分母为零的根 ,约去分母,化成整式方程; 的方程叫分式方程.

5.列分式方程解应用题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律) ①设个位数字为 c,十位数字为 b,百位数字为 a,则这个三位数是 ②日历中前后两日差 (2)体积变化问题。 (3)打折销售问题 ①利润= (4)行程问题。 (5)教育储蓄问题 ①利息= ③利息税= 6.易错知识辨析: (1) 去分母时,不要漏乘没有分母的项. (2) 解分式方程的重要步骤是检验。 【河北三年中考试题】 1.(2010 年,8 分)解方程:
1 x ?1 ? 2 x ?1



,上下两日差



-成本;

②利润率=

?100%.

; ;

②本息和=

=本金? (1+利润?期数) ;

④贷款利息=贷款数额?利率?期数。



12

课时 10.一元一次不等式(组)
【考点链接】 1.不等式的有关概念:用 的值叫做不等式的解;一个含有 个不等式的 连接起来的式子叫不等式;使不等式成立的 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一

的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.

2.不等式的基本性质: (1)若 a < b ,则 a + c (2)若 a > b , c >0 则 ac (3)若 a > b , c <0 则 ac 3.一元一次不等式:只含有
b?c;

bc (或 bc (或

a c a c

b c

) ;
b c

). 且系数 的不等

未知数,且未知数的次数是

式,称为一元一次不等式;一元一次不等式的一般形式为 一次不等式的一般步骤:去分母、 4.一元一次不等式组:几个 一般地,几个不等式的解集的 、移项、

或 a x ? b ;解一元 、系数化为 1.

合在一起就组成一个一元一次不等式组. ,叫做由它们组成的不等式组的解集.

5.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况: (已知 a ? b )
?x ? a ?x ? a 的解集是 x ? a ,即“小小取小” ? ; 的解集是 x ? b ,即“大大取大” ; ? ?x ? b ?x ? b ?x ? a 的解集是 a ? x ? b ,即“大小小大中间找” ; ? ?x ? b ?x ? a 的解集是空集,即“大大小小取不了”. ? ?x ? b

6.求不等式(组)的特殊解: 不等式(组)的解往往有无数多个,但其特殊解在某些范围内是有限的,如整数解,非 负整数解,求这些特殊解应先确定不等式(组)的解集,然后再找到相应答案. 7.易错知识辨析: (1)不等式的解集用数轴来表示时,注意“空心圆圈”和“实心点”的不同含义. (2)解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式 a x ? b (或 a x ? b ) a ? 0 )的形式的解集: ( 当 a ? 0 时, x ? 当 a ? 0 时, x ?
b a b a

(或 x ? (或 x ?

b a b a

) )

13

【河北三年中考试题】 1.(2008 年,2 分)把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上,如图 1 所示, 则这个不等式组可能是( )
?1

0 图1

4

A. ?

? x ? 4, ? x ≤ ?1

B. ?

? x ? 4, ? x ≥ ?1

C. ?

? x ? 4, ? x ? ?1

D. ?

? x ≤ 4, ? x ? ?1

2.(2010 年,2 分)把不等式 ? 2 x < 4 的解集表示在数轴上,正确的是( -2 0 A -2 C 0 0 2 B 0 D 2



14

第三章 课时 11.

函数及其图像

平面直角坐标系与函数的概念

【考点链接】 1. 坐标平面内的点与______________一一对应. 2. 根据点所在位置填表(图) 点的位置 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 3. x 轴上的点______坐标为 0,
y 轴上的点______坐标为 0.

横坐标符号

纵坐标符号

4.各象限角平分线上的点的坐标特征 ⑴第一、三象限角平分线上的点,横、纵坐标 。 ⑵第二、四象限角平分线上的点,横、纵坐标 。 5. P(x,y)关于 x 轴对称的点坐标为__________,关于 y 轴对称的点坐标为________, 关于原点对称的点坐标为___________. 以上特征可归纳为: ⑴关于 x 轴对称的两点:横坐标相同,纵坐标 ; ⑵关于 y 轴对称的两点:横坐标 ,纵坐标相同; ⑶关于原点对称的两点:横、纵坐标均 。 6. 描点法画函数图象的一般步骤是__________、__________、__________. 7. 函数的三种表示方法分别是__________、__________、__________. 8. 求函数自变量的取值范围时,首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义。 ⑴自变量以整式形式出现,它的取值范围是 ; ⑵自变量以分式形式出现,它的取值范围是 ; ⑶自变量以根式形式出现,它的取值范围是 ; 例如: y ?
y ? 1 x
x 有意义,则自变量 x 的取值范围是

. 。

有意义,则自变量 x 的取值范围是

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【河北三年中考试题】 1.(2008 年,2 分)如图 4,正方形 A B C D 的边长为 10,四个全等的小正方形的对称中心 分别在正方形 A B C D 的顶点上,且它们的各边与正方形 A B C D 各边平行或垂直.若小正方 形的边长为 x ,且 0 ? x ≤ 1 0 ,阴影部分的面积为 y ,则能反映 y 与 x 之间函数关系的大 致图象是( ) x D A

y 100 100

y 100

y 100

y

B 图4

C

O 10 A. )
y 4

x

O 10 B.

x

O 5 10 C.

x

O 10 D.
输入 x 取相反数 ?2

x

2.(2009 年,2 分)如图 6 所示的计算程序中,y 与 x 之间的函数关系 所对应的图象应为(
y

y

y 4

-2

O -4

x

-2 O

x

O -4

2

x

O

2

x

+4 输出 y

A

B

C

D

图6

3.(2010 年,2 分)一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地.已知轮船在静水中的速度为 15 km/h,水流速度为 5 km/h.轮船先从甲地顺水航行到乙地,在乙地停留一段时间后, 又从乙地逆水航行返回到甲地.设轮船从甲地出发后所用时间为 t(h) ,航行的路程为 s (km) ,则 s 与 t 的函数图象大致是(
s s


s s

O

t

O

t

O

t

O

t

A

B

C

D

16

课时 12.

一次函数

【考点链接】 1.正比例函数的一般形式是__________.一次函数的一般形式是__________________. 2. 一次函数 y ? kx ? b 的图象是经过 3. 求一次函数的解析式的方法是 ⑵ ; ⑶ 和 两点的一条 ,其基本步骤是:⑴ ;⑷ . . ;

4.一次函数 y ? kx ? b 的图象与性质 k、 的符号 b 图像的大 致位置 经过象限 性质 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限 k>0b>0 k>0 b<0 k<0 b>0 k<0b<0

y 随 x 的增大 而

y 随 x 的增大 而

y 随 x 的增大 而

y 随 x 的增大 而

5. 一次函数 y ? kx ? b 的性质 k>0 ? 直线上升 ? y 随 x 的增大而 k<0 ? 直线下降 ? y 随 x 的增大而 ; .

17

【河北三年中考试题】 1.(2008 年,8 分)如图 11,直线 l1 的解析表达式为 y ? ? 3 x ? 3 ,且 l1 与 x 轴交于点 D , 直线 l 2 经过点 A, B ,直线 l1 , l 2 交于点 C . (1)求点 D 的坐标; (2)求直线 l 2 的解析表达式; (3)求 △ A D C 的面积;
?

l1

y l2 D 3 A (4,0) B C 图 11

O
3 2

x

(4)在直线 l 2 上存在异于点 C 的另一点 P ,使得
△ A D P 与 △ A D C 的面积相等,请直接写出点 P 的坐标. ..

2.(2009 年,12 分)某公司装修需用 A 型板材 240 块、B 型板材 180 块,A 型板材规格是 60 cm× cm,B 型板材规格是 40 cm× cm.现只能购得规格是 150 cm× cm 的标准板 30 30 30 材.一张标准板材尽可能多地裁出 A 型、B 型板材,共有下列三种裁法: (图 15 是裁法一 的裁剪示意图) 裁法一 A 型板材块数 B 型板材块数 1 2 裁法二 2 m 裁法三
单位:cm

0 n

30

设所购的标准板材全部裁完,其中按裁法一裁 x 张、按裁法二裁 y 张、按裁法三裁 z 张,且所裁出的 A、B 两种型号的板材刚好够用. (1)上表中,m = ,n = ;
150

A

60

(2)分别求出 y 与 x 和 z 与 x 的函数关系式; (3)若用 Q 表示所购标准板材的张数,求 Q 与 x 的函数关系式, 并指出当 x 取何值时 Q 最小,此时按三种裁法各裁标准板材 多少张?

B B

40

40

图 15

18

课时 13.反比例函数
【考点链接】 1.反比例函数:一般地,如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y= 或 (k 为常数,k≠0)的形式,那么称 y 是 x 的反比例函数. 2. 反比例函数的图象和性质 k 的符号 k>0 y 图像的大致位置 o o x x k<0 y

经过象限 性质



象限



象限

在每一象限内 y 随 x 的增 大而

在每一象限内 y 随 x 的增大 而

3. k 的几何含义:反比例函数 y=

k x

(k≠0)中比例系数 k 的几何意义,即过双曲线 y=

k x

(k≠0)上任意一点 P 作 x 轴、y 轴垂线,设垂足分别为 A、B,则所得矩形 OAPB 的面积 为 .

19

【河北三年中考试题】
1) 1.(2008 年,3 分)点 P (2 m ? 3, 在反比例函数 y ?

1 x

的图象上,则 m ?
y



2.(2009 年,2 分)反比例函数 y 随着 x 值的增大,y 值( A.增大 C.不变 )

?

1 x

(x>0)的图象如图 3 所示,

B.减小 D.先减小后增大

O

x

图3 3.(2010 年,9 分)如图 13,在直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合,顶 点 A,C 分别在坐标轴上,顶点 B 的坐标为(4,2) .过点 D(0,3)和 E(6,0)的直线 分别与 AB,BC 交于点 M,N. (1)求直线 DE 的解析式和点 M 的坐标; (2)若反比例函数 y
? m x

(x>0)的图象经过点 M,求该反比例函数的解析式,并通

过计算判断点 N 是否在该函数的图象上; (3)若反比例函数 y
? m x

(x>0)的图象与△MNB 有公共点,请直接写出 m 的取值范围. .. y
D A M B N O 图 13 C E

x

20

课时 14.二次函数及其图像
【考点链接】 1. 二次函数 y ? a ( x ? h ) ? k 的图像和性质
2

a >0

a <0

y

图 开

象 O 口

x

对 称 轴 顶点坐标 最 增 减 性 值 当 x= 时, 有最 y 值 当 x= 时,y 有最 值

在对称轴左侧 在对称轴右侧
2

y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而

y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而
2

2. 二次函数 y ? ax
h=

? bx ? c 用配方法可化成 y ? a ? x ? h ? ? k 的形式,其中

,k =
2

.
2

3. 二次函数 y ? a ( x ? h ) ? k 的图像和 y ? ax 图像的关系.

4. 常用二次函数的解析式: (1)一般式: 5. 顶点式的几种特殊形式.

; (2)顶点式:





, ⑵
2

, ⑶
b 2a ) ?
2

, (4)
4ac ? b 4a
2

. ,其抛物线关于直

6.二次函数 y ? ax

? bx ? c 通过配方可得 y ? a ( x ?

线x ? 对称,顶点坐标为( , ). ⑴ 当 a ? 0 时,抛物线开口向 ,有最 (填“高”或“低”)点, 当 x ? 时, y 有最 (“大”或“小”)值是 ; ⑵ 当 a ? 0 时,抛物线开口向 x ? 时, y 有最 ,有最 (填“高”或“低”)点, 当 ( “大”或“小” )值是 .
21

【河北三年中考试题】 1.(2009 年,9 分)已知抛物线 y ? ax 2 ? bx 经过点 A ( ?3, 3) 和点 P (t,0) ,且 t ≠ 0. ? (1)若该抛物线的对称轴经过点 A,如图 12, 请通过观察图象,指出此时 y 的最小值, 并写出 t 的值; (2)若 t ? ? 4 ,求 a、b 的值,并指出此时抛 物线的开口方向; (3)直接写出使该抛物线开口向下的 t 的一个值. ..
P -3 O y

x

-3 A

图 12

2.(2010 年,2 分)如图 5,已知抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 的对称 轴为 x ? 2 ,点 A,B 均在抛物线上,且 AB 与 x 轴平行,其 中点 A 的坐标为(0,3) ,则点 B 的坐标为( ) A. (2,3) B. (3,2) C. (3,3) D. (4,3)
A

y

x=2
B

O 图5

x

22

课时 15.函数的综合应用
【考点链接】 1.点 A ? x 0 , y o ? 在函数 y ? ax
2

? bx ? c 的图像上.则有

. ,解方程 ;

2. 求函数 y ? kx ? b 与 x 轴的交点横坐标,即令 与 y 轴的交点纵坐标,即令 ,求 y 值 3. 求一次函数 y ? kx ? n ? k ? 0 ? 的图像 l 与二次函数 y ? ax 点,解方程组 4.二次函数 y ? ax
2 2

? bx ? c ? a ? 0 ? 的图像的交

.
? bx ? c 通过配方可得 y ? a ( x ?
b 2a ) ?
2

4ac ? b 4a

2



⑴ 当 a ? 0 时,抛物线开口向 x ? 时, y 有最 ⑵ 当 a ? 0 时,抛物线开口向 x ? 时, y 有最

,有最 (填“高”或“低”)点, 当 (“大”或“小”)值是 ; ,有最 (填“高”或“低”)点, 当 ( “大”或“小” )值是 .

5. 每件商品的利润 P = - ;商品的总利润 Q = ? . 6. 函数图像的移动规律: 若把一次函数解析式写成 y=k(x+0)+b、二次函数的解析式写成 2 y=a(x+h) +k 的形式,则用下面后的口诀“左右平移在括号,上下平移在末稍,左正右负须 牢记,上正下负错不了”。 7. 二次函数 y ? ax
2

? bx ? c 的图像特征与 a , b , c 及的符号的确定.

二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线,图象对称是关键;开口、顶点和交点, 它 们确定图象现;开口、大小由 a 断,c 与 Y 轴来相见,b 的符号较特别,符号与 a 相关联;顶 点位置先找见,Y 轴作为参考线,左同右异中为 0,牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要,一 般式配方它就现,横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反,一般、顶 点、交点式,不同表达能互换。 注意:当 x=1 时,y=a+b+c;当 x=-1 时,y=a-b+c。若 a+b+c>0,即 x=1 时,y>0; 若 a-b+c>0,即 x=-1 时,y>0。 8.函数的综合应用 ⑴利用一次函数图像解决求一次方程、一次不等式的解、比较大小等问题。 ⑵利用二次函数图像、反比例函数图像解决求二次方程、分式方程、分式不等式的解、 比较大小等问题。 ⑶利用数形结合的思路,借助函数的图像和性质,形象直观的解决有关不等式最大(小) 值、方程的解以及图形的位置关系等问题。 ⑷利用转化的思想,通过一元二次方程根的判别式来解决抛物线与 x 轴交点的问题。 ⑸通过几何图形和几何知识建立函数模型,提供设计方案或讨论方案的可行性。 ⑹建立函数模型后,往往涉及方程、不等式、相似等知识,最后必须检验与实际情况是 否相符合。 ⑺综合运用函数只是,把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解,涉及 最值问题时,要想到运用二次函数。

23

【河北三年中考试题】 1.(2008 年,12 分)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究,为投资商在甲、乙两 地生产并销售该产品提供了如下成果: 第一年的年产量为 x(吨) 所需的全部费用 y (万 时, 元)与 x 满足关系式 y ?
1 10 x ? 5 x ? 9 0 ,投入市场后当年能全部售出,且在甲、乙两地每
2

吨的售价 p甲 , p乙 (万元)均与 x 满足一次函数关系. (注:年利润=年销售额-全部费用) (1)成果表明,在甲地生产并销售 x 吨时, p甲 ? ?
1 20 x ? 1 4 ,请你用含 x 的代数式表示

甲地当年的年销售额,并求年利润 w甲 (万元)与 x 之间的函数关系式; (2)成果表明,在乙地生产并销售 x 吨时, p乙 ? ?
1 10 x ? n ( n 为常数) ,且在乙地当年

的最大年利润为 35 万元.试确定 n 的值; (3)受资金、生产能力等多种因素的影响,某投资商计划第一年生产并销售该产品 18 吨, 根据(1)(2)中的结果,请你通过计算帮他决策,选择在甲地还是乙地产销才能获得较大 , 的年利润? 参考公式:抛物线 y ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) 的顶点坐标是 ? ?
2

? ?

2 4ac ? b ? , ?. 2a 4a ?

b

2.(2010 年,12 分)某公司销售一种新型节能产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选 择一种进行销售.若只在国内销售,销售价格 y(元/件)与月销量 x(件)的函数关系式为 y =?
1 100

x+150,成本为 20 元 /件,无论销售多少,每月还需支出广告费 62500 元,设月

利润为 w 内(元) (利润 = 销售额-成本-广告费) .若只在国外销售,销售价格为 150 元/件, 受各种不确定因素影响,成本为 a 元/件(a 为常数,10≤a≤40) ,当月销量为 x(件)时, 每月还需缴纳
1 100

x2 元的附加费,设月利润为 w 外(元) (利润 = 销售额-成本-附加费) .

(1)当 x = 1000 时,y = 元/件,w 内 = 元; (2)分别求出 w 内,w 外与 x 间的函数关系式(不必写 x 的取值范围) ; (3)当 x 为何值时,在国内销售的月利润最大?若在国外销售月利润的最大值与在国 内销售月利润的最大值相同,求 a 的值; (4)如果某月要将 5000 件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在国内还 是在国外销售才能使所获月利润较大? 参考公式:抛物线 y ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) 的顶点坐标是 ( ?
2

b 2a

,

4ac ? b 4a

2

).

24

第四章

统计与概率 统计

课时 16.

【考点链接】 1.普查与抽样调查 ⑴为一特定目的而对 考察对象作的全面调查叫普查,如普查人口; ⑵为一特定目的而对 考察对象作的全面调查叫抽查,如抽查全市期末考试成绩。 2. 总体是指_________________________,个体是指_____________________, 样本是指________________________,样本的个数叫做___________. 3.平均数的计算公式________________; 加权平均数公式________________________. 4. 中位数是___________________________ 众数是_________________________ 众数、中位数与平均数是从不同角度来描述一组数据的集中趋势。 5.极差是__________________,方差的计算公式_____________________________. 标准差的计算公式:_________________________. 极差、方差和标准差都是用来衡量一组数据的波动大小,方差(或标准差)越大,说明这 组数据的波动 。 ; _.

6.几种常见的统计图: ⑴条形统计图:用长方形的高来表示数据的图形。特点是:①能够显示每组中的 ②易于比较数据之间的差别。 ⑵折线统计图: 用几条线段连接的折线来表示数据的图形。 特点是: 易于显示数据的 ⑶扇形统计图:①用一个圆代表总体,圆中的各个扇形分别代表 扇形的大小反映部分在总体中所占 。 ;

中的不同部分,

的大小,这样的统计图叫扇形统计图。②百分比

的意义:在扇形统计图中,每部分占总体的百分比等于该部分所对扇形的圆心角的度数与 的比。③扇形的圆心角=360°? 。

⑷频数分布直方图:频数分布表、频数分布直方图和频数折线图都能直观、清楚的反映 数据在各个小范围内的 ;绘制步骤是:①计算最大值与最小值的差;②决定组

距与组数,一般的分 5—12 组;③确定分点,通常把第一组的起点小半个单位;④列频数 分布表;⑤绘制频数分布直方图。

25

【河北三年中考试题】 1.(2008 年,3 分) 某班学生理化生实验操作测试成绩的统计结果如下表: 成绩/分 人数 3 1 4 1 5 2 6 2 7 8 8 9 9 15 10 12

则这些学生成绩的众数为 . 2.(2008 年,8 分)某种子培育基地用 A,B,C,D 四种型号的小麦种子共 2 000 粒进行发 芽实验,从中选出发芽率高的种子进行推广.通过实验得知,C 型号种子的发芽率为 9 5% , 根据实验数据绘制了图 10-1 和图 10-2 两幅尚不完整的统计图. (1)D 型号种子的粒数是 ; (2)请你将图 10-2 的统计图补充完整; (3)通过计算说明,应选哪一个型号的种子进行推广; (4) 若将所有已发芽的种子放到一起, 从中随机取出一粒, 求取到 B 型号发芽种子的概率. 各型号种子数的百分比 A 35% B C 20% 20% 图 10-1 800 600 400 200 0 A B C D 图 10-2 型号 发芽数/粒 630 370 470

D

3. 2010 年, 分) 乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛, ( 9 甲、 两校参赛人数相等. 比 赛结束后,发现学生成绩分别为 7 分、8 分、9 分、10 分(满分为 10 分) .依据统计数据绘 制了如下尚不完整的统计图表.
甲校成绩统计表 分 数 人 数 7 分 11 8 分 0 9 分 10 分 8 10 分 7分 72° 9 分 54 ° 8分 乙校成绩扇形统计图

(1)在图 12-1 中, 分”所在扇形的圆心角 “7 等于 °. (2)请你将图 12-2 的统计图补充完整. (3)经计算,乙校的平均分是 8.3 分,中位数 是 8 分,请写出甲校的平均分、中位数; 并从平均分和中位数的角度分析哪个学 校成绩较好. (4)如果该教育局要组织 8 人的代表队参加市 级团体赛, 为便于管理, 决定从这两所学 校中的一所挑选参赛选手, 请你分析, 应 选哪所学校?

°

图 12-1 乙校成绩条形统计图 人数 2 8 4 5

8 6 4 2 0

7分

8分

9分

10 分 分数

图 12-2

26

4. (2009 年,3 分)在一周内,小明坚持自测体温,每天 3 次.测量结果统计如下表: 体温(℃) 次 数 36.1 2 36.2 3 36.3 4 ℃. 36.4 6 36.5 3 36.6 1 36.7 2

则这些体温的中位数是

5. (2009 年,9 分)某商店在四个月的试销期内,只销售 A、B 两个品牌的电视机,共售出 400 台.试销结束后,只能经销其中的一个品牌,为作出决定,经销人员正在绘制两幅统计 图,如图 11-1 和图 11-2. (1)第四个月销量占总销量的百分比是 ; (2)在图 11-2 中补全表示 B 品牌电视机月销量的折线; (3)为跟踪调查电视机的使用情况,从该商店第四个月售出的电视机中,随机抽取 一台,求抽到 B 品牌电视机的概率; (4)经计算,两个品牌电视机月销量的平均水平相同,请你结合折线的走势进行简要 分析,判断该商店应经销哪个品牌的电视机.
电视机月销量扇形统计图 电视机月销量折线统计图
销量/台 第一个月 15% 第二个月 30% 第三个月 25% 80 70 60 第四个月 50 40 30 A 品牌 B 品牌

图 11-1

20 10 0 第一 第二 第三 第四 时间/月

图 11-2

27

课时 17.
【考点链接】 1.事件的分类: 必然事件: P=1 确定事件 事件 不可能事件:P=0

概率

不确定事件: 0<P<1 总之,任何事件 E 发生的概率 P(E)都是 0 和 1 之间(也包括 0 和 1)的数, 即 0≤P(E)≤1. 2.求概率的方法: (1)利用概率的定义直接求概率; (2)用树形图和________________求概率; (3)用相乘的方法估计一些随机事件发生的概率.

【河北三年中考试题】 1. (2008 年,2 分)同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(骰子每个面上的点数分别为 1, 2,3,4,5,6) .下列事件中是必然事件的是( ) A.两枚骰子朝上一面的点数和为 6 B.两枚骰子朝上一面的点数和不小于 2 C.两枚骰子朝上一面的点数均为偶数 D.两枚骰子朝上一面的点数均为奇数 2. (2009 年,2 分)下列事件中,属于不可能事件的是( A.某个数的绝对值小于 0 C.某两个数的和小于 0 ) B.某个数的相反数等于它本身 D.某两个负数的积大于 0

3. (2010 年,3 分)在猜一商品价格的游戏中,参与者事先 不知道该商品的价格,主持人要求他从图 8 的四张卡片中 任意拿走一张,使剩下的卡片从左到右连成一个三位数, 该数就是他猜的价格.若商品的价格是 360 元,那么他一 次就能猜中的概率是 .

3

5
图8

6

0

28

第五章

图形的认识与三角形

课时 18.几何初步及平行线、相交线
【考点链接】
1. 两点确定一条直线,两点之间 最短,即过两点有且只有一条直线。 2. 1 周角=_______,1 平角=_______,1 直角=_______. 3. 如果两个角的和等于 90 度,就说这两个角互余,同角或等角的余角相等;如果 _____________________互为补角,__________________的补角相等. 4. ___________________________________叫对顶角,对顶角___________. 5. 过直线外一点心___________条直线与已知直线平行. 6. 平行线的性质:两直线平行,_________相等,________相等,________互补. 7. 平行线的判定:________相等,或______相等,或______互补,两直线平行. 8. 平面内,过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直. 9.线段的垂直平分线: 性质:线段垂直平分线上的到这条线段的 的距离相等; 判定:到线段 的点在线段的垂直平分线上。 10.角的平分线: 性质:角平分线上的点到角 相等; 判定:到角 的点在这个角的平分线上。

【河北三年中考试题】 1. (2008 年,3 分)如图 6,直线 a ∥ b ,直线 c 与 a, b 则 ? 2 ? _____ .
?

相交.若 ?1 ? 70 , c a 1 2 图6 b

?

29

课时 19.三角形的有关概念
【考点链接】
一、三角形的分类: 1.三角形按角分为______________,______________,_____________. 2.三角形按边分为_______________,__________________. 二、三角形的性质: 1.三角形中任意两边之和____第三边,两边之差_____第三边 2.三角形的内角和为_______,外角与内角的关系:__________________. 三、三角形中的主要线段: 1.___________________________________叫三角形的中位线. 2.中位线的性质:____________________________________________. 3.三角形三条中位线将三角形分成四个面积相等的全等三角形。 4.角平分线:三角形的角平分线交于一点,这点叫三角形的内心,它到三角形三边的距离 ,内心也是三角形内切圆的圆心。 5. 三角形三边的垂直平分线: 三角形三边的垂直平分线交于一点, 这点叫做三角形的外心, 它到三角形三个顶点的距离 ,外心也是三角形外接圆的圆心。 6.三角形的中线、高线、角平分线都是____________.(线段、射线、直线) 四、等腰三角形的性质与判定: 1. 等腰三角形的两底角__________; 2. 等腰三角形底边上的______、 底边上的________和顶角的_______互相重合 (三线合一) ; 3. 有两个角相等的三角形是_________. 五、等边三角形的性质与判定: 1. 等边三角形每个角都等于_______,同样具有“三线合一”的性质; 2. 三个角相等的三角形是________,三边相等的三角形是_______,一个角等于 60°的 _______三角形是等边三角形. 六、直角三角形的性质与判定: 1. 直角三角形两锐角________. 2. 直角三角形中 30°所对的直角边等于斜边的________. 3. 直角三角形中,斜边的中线等于斜边的______. ; 4. 勾股定理:_________________________________________. 5. 勾股定理的逆定理:_________________________________________________.

30

【河北三年中考试题】 1. (2008 年,3 分) 图 9-1 是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角 三角形围成的.若 A C ? 6 , B C ? 5 ,将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延 长一倍,得到图 9-2 所示的“数学风车” ,则这个风车的外围周长是 .
A

B C

A
E D B C

图 9-1

图 9-2

图8

A′

2. (2009 年,3 分)如图 8,等边△ ABC 的边长为 1 cm,D、E 分别是 AB、AC 上的点,将 △ ADE 沿直线 DE 折叠,点 A 落在点 A ? 处,且点 A ? 在△ ABC 外部,则阴影部分图形的周 长为 cm.
F G(N) H

3. (2009 年,10 分)在图 14-1 至图 14-3 中,点 B 是线段 AC 的中点, D 是线段 CE 的中点. 点 四边形 BCGF 和 CDHN 都是正方形.AE 的中点是 M. (1)如图 14-1,点 E 在 AC 的延长线上,点 N 与 点 G 重合时,点 M 与点 C 重合, 求证:FM = MH,FM⊥MH; (2)将图 14-1 中的 CE 绕点 C 顺时针旋转一个锐 角,得到图 14-2, 求证:△FMH 是等腰直角三角形; (3)将图 14-2 中的 CE 缩短到图 14-3 的情况, △FMH 还是等腰直角三角形吗?(不必 说明理由)
A A

B

C(M)

D

E

图 14-1
F G N H B M C D E

图 14-2
F G N C A B M D E H

图 14-3 4. (2010 年,2 分)如图 1,在△ABC 中,D 是 BC 延长线上一点, ∠B = 40° ,∠ACD = 120° , 则∠A 等于( A.60° C.80° ) B.70° D.90°
B 40° 图1 120° D C A

31

课时 20.全等三角形和相似三角形
【考点链接】
一、全等三角形: 1.全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形. 2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定 除以上的方法还有________. 3. 全等三角形的性质:全等三角形___________,____________. 4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等. 5.证明三角形全等的思路: 找夹角 (1)已知两边 找直角 找 边为角的对边时,找 找夹角的另一边 边为角的邻边时, 找夹边的 找边的对角

(2)已知一边一角

找 (3)已知两角 找任意一边 二、相似三角形: 1.三边对应成_________,三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形. 2.相似三角形的判定方法 ⑴若 DE∥BC(A 型和 X 型)则______________. ⑵射影定理:若 CD 为 Rt△ABC 斜边上的高(双直角图形) 则 Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD 且 AC2=________,CD2=_______,BC2=__ ____.

A D B E C
B

E A

D

C

C

A

D

B

⑶两个角对应相等的两个三角形__________. ⑷两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似. ⑸三边对应成比例的两个三角形___________. 3.相似三角形的性质 ⑴相似三角形的对应边_________,对应角________. ⑵相似三角形的对应边的比叫做________,一般用 k 表示. ⑶相似三角形的对应角平分线,对应边的________线,对应边上的_______?线的比等于 _______比,周长之比也等于________比,面积比等于_________.

32

【河北三年中考试题】 1.(2010 年,10 分)在图 15-1 至图 15-3 中,直线 MN 与线段 AB 相交于点 O,∠1 = ∠2 = 45° . (1)如图 15-1,若 AO = OB,请写出 AO 与 BD 的数量关系和位置关系; (2)将图 15-1 中的 MN 绕点 O 顺时针旋转得到 图 15-2,其中 AO = OB. 求证:AC = BD,AC ⊥ BD; (3)将图 15-2 中的 OB 拉长为 AO 的 k 倍得到 图 15-3,求
BD AC

M D 2 O A 1 N B

的值.

图 15-1 D 2 O M

A

1

C 图 15-2

B

N

D 2 O A 1 C 图 15-3 B

M

N

33

课时 21.锐角三角函数和解直角三角形
【考点链接】
一、锐角三角函数 1.sinα ,cosα ,tanα 定义 sinα =____,cosα =_______,tanα =______ . 2.特殊角三角函数值

α b c

30° sinα cosα tanα

45°

60°

a

3.巧记特殊角的三角函数:正弦、余弦分母为 2,正切分母为 3,分子是“1,2,3;3,2,1; 3,9,27” 。 二、解直角三角形 1.解直角三角形的概念:在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形. 2.解直角三角形的类型: 已知____________;已知___________________. A 3.如图(1)解直角三角形的公式: (1)三边关系:__________________. b c (2)角关系:∠A+∠B=_____, (3) 边角关系: sinA=___,sinB=____,cosA=_______. cosB=____ , tanA=_____ , tanB=_____. C a B 4.如图(2)仰角是____________,俯角是____________. 5.如图(3)方向角:OA:_____,OB:_______,OC:_______,OD:________. 6.如图(4)坡度:AB 的坡度 iAB=_______,∠α 叫_____,tanα=i=____.

B A C
D O
70?

北 A

A

O

60? 45?

西

C 东 B

B

?

C



(图 2)

(图 3)

(图 4)

34

【河北三年中考试题】 1. (2008 年,9 分)气象台发布的卫星云图显示,代号为 W 的台风在某海岛(设为点 O )
? 的南偏东 4 5 方向的 B 点生成,测得 O B ? 1 0 0 6 k m .台风中心从点 B 以 40km/h 的速度

向正北方向移动,经 5h 后到达海面上的点 C 处.因受气旋影响,台风中心从点 C 开始以 30km/h 的速度向北偏西 6 0 方向继续移动.以 O 为原点建立如图 12 所示的直角坐标系. (1)台风中心生成点 B 的坐标为 ,台风中心转折点 C 的坐标为 ; (结果保留根号) (2)已知距台风中心 20km 的范围内均会受到台风的侵袭.如果某城市(设为点 A )位于 点 O 的正北方向且处于台风中心的移动路线上,那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多 .. 长时间? A
60
?

?

y/km

北 东 C x/km

O
45

?

图 12

B

2.(2009 年,2 分)图 4 是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其 中 AB、 CD 分 别 表 示 一 楼 、 二 楼 地 面 的 水 平 线 , ∠ABC=150° ,BC 的长是 8 m,则乘电梯从点 B 到点 C 上 升 的高度 h 是( A.
8 3 3
3

C 150° A B h

D

) B.4 m D.8 m

m m

图4

C. 4

35

第六章

四边形

课时 22.多边形与平行四边形
【考点链接】 一、四边形 1. 四边形有关知识 ⑴ n 边形的内角和为 .外角和为 . ,

⑵ 如果一个多边形的边数增加一条,那么这个多边形的内角和增加 外角和增加 . 条,n 边形的对角线有

⑶ n 边形过每一个顶点的对角线有 2. 平面图形的镶嵌

条.

⑴ 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个____________时, 就拼成一个平面图形. ⑵ 只用一种正多边形铺满地面,请你写出这样的一种正多边形____________. 3.易错知识辨析 多边形的内角和随边数的增加而增加,但多边形的外角和随边数的增加没有变化, 外角和恒为 360 ?. 二、平行四边形 1.平行四边形的性质 (1)平行四边形对边______,对角______;角平分线______;邻角______. (2)平行四边形两个邻角的平分线互相______,两个对角的平分线互相______. (填 “平行”或“垂直” ) (3)平行四边形的面积公式____________________. 2.平行四边形的判定 (1)定义法:两组对边 (2)边:两组对边 一组对边 (3)角:两组对角 (4)对角线:对角线 的四边形是平行四边形. 的四边形是平行四边形; 的四边形是平行四边形. 的四边形是平行四边形. 的四边形是平行四边形.

36

【河北三年中考试题】 1.(2010 年,2 分)如图 2,在□ABCD 中,AC 平分∠DAB,AB = 3, 则□ABCD 的周长 为( A.6 C.12 ) B.9 D.15
A D

C

B 图2

2.(2010 年,2 分)如图 4,两个正六边形的边长均为 1,其中一个正六边形的一边恰在另一 个正六边形的对角线上,则这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是 A.7 B.8 C.9 D.10

图4

37

课时 23.矩形、菱形、正方形、梯形
【考点链接】 1. 特殊的平行四边形的之间的关系







平 边



为 一角

90°矩 形

邻边

相等

平行四边形 矩形
正 方 形

平行四边形

一角为直角且一组邻边相等

一组

邻边 相

正方形
等 菱形
一 0° 为9 角
两腰相等 等腰梯形

菱形

四 边形

只有

一组 对边

平行

梯形

2. 特殊的平行四边形的判别条件 要使 ABCD 成为矩形,需增加的条件是_______ 要使 ABCD 成为菱形,需增加的条件是_______ 要使矩形 ABCD 成为正方形,需增加的条件是______ 要使菱形 ABCD 成为正方形,需增加的条件是______ 3. 特殊的平行四边形的性质 边 矩形 菱形 正方形 4. 梯形 ⑴ 梯形的面积公式是________________. ⑵ 等腰梯形的性质:边 __________________________________. 角 __________________________________. 对角线 __________________________________. ⑶ 等腰梯形的判别方法__________________________________. ⑷ 梯形的中位线长等于__________________________. 角

_____ ; _____ ; ____ ; ____ . 对角线

38

【河北三年中考试题】 1.(2009 年,2 分)如图 1,在菱形 ABCD 中,AB = 5, ∠BCD = 120° ,则对角线 AC 等于( A.20 C.10 ) B.15 D.5
C B D A

图1 2.(2010 年,3 分)把三张大小相同的正方形卡片 A, B,C 叠放在一个底面为正方形的盒底上,底面未被卡 片覆盖的部分用阴影表示.若按图 10-1 摆放时,阴影 部分的面积为 S1;若按图 10-2 摆放时,阴影部分的面 积为 S2,则 S1 S2(填“>”“<”或“=”. 、 )
A B 图 10-1 A 图 10-2 C

C B

3.(2010 年,12 分)如图 16,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,? B ? 90 ? ,AD = 6,BC = 8, AB ? 3 3 , M 是 BC 的中点. P 从点 M 出发沿 MB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀 点 点 速运动,到达点 B 后立刻以原速度沿 BM 返回;点 Q 从点 M 出发以每秒 1 个单位长的速度 在射线 MC 上匀速运动.在点 P,Q 的运动过程中,以 PQ 为边作等边三角形 EPQ,使它与 梯形 ABCD 在射线 BC 的同侧.点 P,Q 同时出发,当点 P 返回到点 M 时停止运动,点 Q 也随之停止. 设点 P,Q 运动的时间是 t 秒(t>0). (1)设 PQ 的长为 y,在点 P 从点 M 向点 B 运动的过程中,写出 y 与 t 之间的函数关 系式(不必写 t 的取值范围) . (2)当 BP = 1 时,求△EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分的面积. (3)随着时间 t 的变化,线段 AD 会有一部分被△EPQ 覆盖,被覆盖线段的长度在某 个时刻会达到最大值,请回答:该最大值能否持续一个时段?若能,直接写出 t .. 的取值范围;若不能,请说明理由. A D
E

B

P

M 图 16

Q

C

A

D

B

M (备用图)

C

39

第七章



课时 24.圆
【考点链接】
一、圆的有关概念 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是 对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的 ;圆又 是 对称图形, 是它的对称中心. 3. 垂直于弦的直径平分 ,并且平分 ;平分弦(不是直径)的 垂直于弦,并且平分 . 4. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一 组量 ,那么它们所对应的其余各组量都分别 . 5. 同弧或等弧所对的圆周角 ,都等于它所对的圆心角的 . 6. 直径所对的圆周角是 ,90°所对的弦是 . 二、与圆有关的位置关系 1. 点与圆的位置关系共有三种:① ,② ,③ ;对应的点到 圆心的距离 d 和半径 r 之间的数量关系分别为: ①d r,②d r,③d r. 2. 直线与圆的位置关系共有三种:① ,② ,③ . 对应的圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 之间的数量关系分别为: ①d r,②d r,③d r. 3. 圆与圆的位置关系共有五种:① ,② ,③ ,④ ,⑤ ;两圆 的圆心距 d 和两圆的半径 R、 R≥r) ( r 之间的数量关系分别为: ①d R-r, ②d R -r,③ R-r d R+r,④d R+r,⑤d R+r. 4. 圆的切线 过切点的半径;经过 的一端,并且 这条 的 直线是圆的切线. 5. 从圆外一点可以向圆引 条切线, 相等, 相等. 6. 三角形的三个顶点确定 个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,三角形的外接圆的圆 心叫 心,是三角形 的交点,它到 相等。 7. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ,内切圆的圆心是三角形 的交点,叫做三角形的 ,它到 相等. 三、与圆有关的计算 1. 圆的周长为 ,1°的圆心角所对的弧长为 ,n°的圆心角所对 的弧长为 ,弧长公式为 . 2. 圆的面积为 ,1°的圆心角所在的扇形面积为 ,n°的圆心角所在 的扇形面积为 S=
? ?R
2

=

=

. 的半径, l 为 的高) 。

3. 圆柱的侧面积公式:S= 2 ? rl .(其中 r 为 4. 圆柱的全面积公式:S= + 。

5. 圆锥的侧面积公式:S= ? rl .(其中 r 为 6. 圆锥的全面积公式:S= + 。

的半径, l 为

的长) 。

40

【河北三年中考试题】 1.(2008 年,2 分)如图 3,已知⊙O 的半径为 5,点 O 到弦 A B 的距离为 3,则⊙O 上到弦 A B 所在直线的距离为 2 的点有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 A

O B 图3

2.(2008 年,3 分)如图 7, A B 与⊙O 相切于点 B , C
A O 的延长线交⊙O 于点 C ,连结 B C .若 ? A ? 36 ,
?

O

则 ? C ? ______ .

?

A

B 图7
P

3.(2009 年,2 分)如图 2,四个边长为 1 的小正方形拼成一个大 正方形,A、B、O 是小正方形顶点,⊙O 的半径为 1,P 是⊙O 上 的点,且位于右上方的小正方形内,则∠APB 等于( A.30° B.45° C.60° D.90°
B



A

O

图2 4.(2009 年,8 分)图 10 是一个半圆形桥洞截面示意图,圆 心为 O,直径 AB 是河底线,弦 CD 是水位线,CD∥AB,且 CD = 24 m,OE⊥CD 于点 E.已测得 sin∠DOE = (1)求半径 OD; (2)根据需要,水面要以每小时 0.5 m 的速度下降, 则经过多长时间才能将水排干?
12 13

C

E

D B


A O

图 10

5.(2010 年,2 分)如图 3,在 5?5 正方形网格中,一条圆弧 经过 A,B,C 三点, 那么这条圆弧所在圆的圆心是( ) A.点 P B.点 Q C.点 R D.点 M

A

B C

P

Q M

R

6.(2010 年,3 分)某盏路灯照射的空间可以看成如图 9 所示 的圆锥,它的高 AO = 8 米,母线 AB 与底面半径 OB 的夹角
t 为 ? ,an ? ? 4 3

图3 A

, 则圆锥的底面积是

平方米 (结果保留 π) .

?

O

B

图9

41

7.(2009 年,10 分)如图 13-1 至图 13-5,⊙O 均作无滑动滚动,⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4 均表示⊙O 与线段 AB 或 BC 相切于端点时刻的位置,⊙O 的周长为 c. 阅读理解: (1)如图 13-1,⊙O 从⊙O1 的位置出发,沿 AB 滚动到 ⊙O2 的位置, AB = c 时, 当 ⊙O 恰好自转 1 周. (2)如图 13-2,∠ABC 相邻的补角是 n° ,⊙O 在 ∠ABC 外部沿 A-B-C 滚动,在点 B 处,必须由 ⊙O1 的位置旋转到⊙O2 的位置, ⊙O 绕点 B 旋 转的角∠O1BO2 = n° ⊙O 在点 B 处自转 , 实践应用: (1)在阅读理解的(1)中,若 AB = 2c,则⊙O 自 转 周; AB = l, 若 则⊙O 自转 周. 在
O1 A
1 2

O1 A

O

O2 B

图 13-1
O1 A B O2 n° D C

n 360

周.

图 13-2

阅读理解的(2)中,若∠ABC = 120° ,则⊙O 在点 B 处自转 在点 B 处自转 周; 若∠ABC = 60° 则⊙O , 周. c.⊙O 从

O B

O2 O3

(2)如图 13-3,∠ABC=90° ,AB=BC=

⊙O1 的位置出发,在∠ABC 外部沿 A-B-C 滚动 到⊙O4 的位置,⊙O 自转 周.

C

O4

图 13-3
B

拓展联想: (1)如图 13-4,△ABC 的周长为 l,⊙O 从与 AB 相切于点 D 的位置出发,在△ABC 外部,按顺时针方向沿三角形滚 动,又回到与 AB 相切于点 D 的位置,⊙O 自转了多少 周?请说明理由.
A

O D C

图 13-4 (2)如图 13-5,多边形的周长为 l,⊙O 从与某边相切于 点 D 的位置出发,在多边形外部,按顺时针方向沿多 边形滚动,又回到与该边相切于点 D 的位置,直接写 .. 出⊙O 自转的周数.

O

D

图 13-5

42

8.(2010 年,10 分) 观察思考 某种在同一平面进行传动的机械装置如图 14-1,图 14-2 是它的示意图.其工作原理是:滑块 Q 在平直滑道 l 上可以 左右滑动,在 Q 滑动的过程中,连杆 PQ 也随之运动,并且 PQ 带动连杆 OP 绕固定点 O 摆动.在摆动过程中,两连杆的 接点 P 在以 OP 为半径的⊙O 上运动. 数学兴趣小组为进一步研 究其中所蕴含的数学知识, 过点 O 作 OH ⊥l 于点 H, 并测得 OH = 4 分米,PQ = 3 分米,OP = 2 分米. 解决问题 (1)点 Q 与点 O 间的最小距离是 分米; 点 Q 与点 O 间的最大距离是 分米; 点 Q 在 l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间 的距离是 分米. (2)如图 14-3,小明同学说: “当点 Q 滑动到点 H 的位 置时, 与⊙O 是相切的. 你认为他的判断对吗? PQ ” 为什么? (3)①小丽同学发现: “当点 P 运动到 OH 上时,点 P 到 l 的距离最小. ”事实上,还存在着点 P 到 l 距离最大 的位置,此时,点 P 到 l 的距离是 分米; ②当 OP 绕点 O 左右摆动时, 所扫过的区域为扇形, 求这个扇形面积最大时圆心角的度数.

滑道

滑块

连杆

图 14-1

l

H

Q

P O

图 14-2

l

H (Q)

P O

图 14-3

9.(2010 年,8 分)如图 11-1,正方形 ABCD 是一个 6 ×6 网格电子屏的示意图,其中每个 小正方形的边长为 1.位于 AD 中点处的光点 P 按图 11-2 的程序移动. (1)请在图 11-1 中画出光点 P 经过的路径; (2)求光点 P 经过的路径总长(结果保留 π) .
P 输入点 P 绕点 A 顺时针旋转 90° 绕点 B 顺时针旋转 90° 绕点 C 顺时针旋转 90° 绕点 D 顺时针旋转 90° 输出点 B 图 11-1 C 图 11-2

A

D

43

第八章

图形与变换

课时 25.视图与投影
【考点链接】 1. 从 观察物体时,看到的图叫做主视图 ;从 观 察物体时,看到的图 叫做左视图 ;从 观察物体时,看到的图叫做俯视图. 2. 主视图与俯视图的 一致;主视图与左视图的 一致;俯视图与左视图的 一致. 3. 叫盲区. 4. 投影可分为平行投影与中心投影.其中 所形成的投影叫平行投影; 所形成的投影叫中心投影. 5. 利用光线是否平行或是否交于一点来判断是 投影或 投影,以及光源的位 置和物体阴影的位置.

【河北三年中考试题】 1.(2009 年,2 分)从棱长为 2 的正方体毛坯的一角, 挖去一个棱长为 1 的小正方体,得到一个如图 5 所示 的零件,则这个零件的表面积是( A.20 C.24 B.22 D.26 ) 图5

44

课时 26.轴对称与中心对称
【考点链接】
1. 如果一个图形沿一条直线对折,对折后的两部分能 是 成 的 形 ,这条直线就是它的 ,这条直线就是 . °,如果旋转后的图形能够与原来的图 图形,这个点就是它的 °,如果它能够与另一个图形 ,这个点叫做 . ,而且被对称中心 图形. ,即点 P ( x , y ) 关于原点的对称点 P1 .关于中心对称的两个图形是 . . ,那么就说 ,那么这个图形叫做 . ,那么这两个图形 。 ,折叠后重合的对应点就是 对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段 2. 如果一个图形沿一条直线折叠,如果它能与另一个图形 3. 如果两个图形关于 4. 把一个图形绕着某一个点旋转 5. 把一个图形绕着某一个点旋转 这两个图形关于这个点 做关于中心的 所 为 ,那么这个图形就

.这两个图形中的对应点叫

6. 关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过 7. 两个点关于原点对称时,它们的坐标符号

45

【河北三年中考试题】 1.(2008 年,10 分)在一平直河岸 l 同侧有 A, B 两个村庄, A, B 到 l 的距离分别是 3km 和 2km, A B ? a km ( a ? 1) .现计划在河岸 l 上建一抽水站 P ,用输水管向两个村庄供水. 方案设计 某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:图 13-1 是方案一的示意图,设该方案中管道 长度为 d 1 ,且 d 1 ? P B ? B A (k m ) (其中 B P ? l 于点 P ) ;图 13-2 是方案二的示意图,设 该方案中管道长度为 d 2 ,且 d 2 ? PA ?PB (km) (其中点 A ? 与点 A 关于 l 对称, A ? B 与 l 交 于点 P ) . A A B P 图 13-1 观察计算 (1)在方案一中, d 1 ? l C
A?

B P 图 13-2 l

A K C
A?

B P 图 13-3 l

km(用含 a 的式子表示) ;

(2)在方案二中,组长小宇为了计算 d 2 的长,作了如图 13-3 所示的辅助线,请你按小宇 同学的思路计算, d 2 ? 探索归纳 (1)①当 a ? 4 时,比较大小: d 1 _ _ _ _ _ _ _ d 2 (填“>”“=”或“<”; 、 ) ②当 a ? 6 时,比较大小: d 1 _ _ _ _ _ _ _ d 2 (填“>”“=”或“<”; 、 ) (2)请你参考右边方框中的方法指导, 就 a (当 a ? 1 时)的所有取值情况进 行分析,要使铺设的管道长度较短, 应选择方案一还是方案二? 方法指导 当不易直接比较两个正数 m 与 n 的大小时, 可以对它们的平方进行比较: ? 2 ? m ? n ? ( m ? n )( m ? n ) , m ? n ? 0 , 2 2 ? ( m ? n ) 与 ( m ? n ) 的符号相同. 2 2 当 m ? n ? 0 时, m ? n ? 0 ,即 m ? n ; 2 2 当 m ? n ? 0 时, m ? n ? 0 ,即 m ? n ; 2 2 当 m ? n ? 0 时, m ? n ? 0 ,即 m ? n ; km(用含 a 的式子表示) .

46

课时 27.平移与旋转
【考点链接】
1. 一个图形沿着一定的方向平行移动一定的距离,这样的图形运动称为______,它是由移 动的 和 所决定. 2. 平移的特征是:经过平移后的图形与原图形的对应线段 ,对应 ,图 形的 与 都没有发生变化,即平移前后的两个图形 ;且对应 点所连的线段 . 3. 图形旋转的定义:把一个图形 的图形变换,叫做旋转, 叫做旋转中心, 叫做旋转角. 4. 图形的旋转由 、 和 所决定.其中①旋转 在旋转过程中保持不动.②旋转 分为 时针和 时针. ③旋转 一般小于 360?. 5. 旋转的特征是:图形中每一点都绕着 旋转了 的角度,对应点到旋转中 心的 相等,对应 相等,对应 相等,图形的 都没有发生 变化.也就是旋转前后的两个图形 .

47

【河北三年中考试题】 1. (2008 年,2 分)有一个四等分转盘,在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”“志” 、 、 “成”“城”四个字牌,如图 5-1.若将位于上下位置的两个字牌对调,同时将位于左右位 、 置的两个字牌对调,再将转盘顺时针旋转 90 ,则完成一次变换.图 5-2,图 5-3 分别表示 第 1 次变换和第 2 次变换. 按上述规则完成第 9 次变换后, “众” 字位于转盘的位置是 ( 第 1 次变换 第 2 次变换 众 城 成 图 5-1 志 志 众 图 5-2 成 城 众 城 志 成 成 志 图 5-3 城 众 志 众 成 城 ? )
?

A.上 B.下 C.左 D.右 2. (2008 年,10 分)如图 14-1, △ A B C 的边 B C 在直线 l 上, A C ? B C ,且 AC ? BC ; △ E F P 的边 F P 也在直线 l 上,边 E F 与边 A C 重合,且 E F ? F P . (1)在图 14-1 中,请你通过观察、测量,猜想并写出 A B 与 A P 所满足的数量关系和位置 关系; E B (2) △ E F P 沿直线 l 向左平移到图 14-2 的位置时, P 交 A C 于点 Q , 将 连结 A P , Q . 猜 想并写出 B Q 与 A P 所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;
E (3) △ E F P 沿直线 l 向左平移到图 14-3 的位置时, P 的延长线交 A C 的延长线于点 Q , 将

连结 A P , B Q .你认为(2)中所猜想的 B Q 与 A P 的数量关系和位置关系还成立吗?若 成立,给出证明;若不成立,请说明理由. A A A (E) E E Q B C (F) 图 14-1 P l B F C P l F P B C l

图 14-2 Q 图 14-3

3. (2010 年,2 分)将正 方 体 骰 子 ( 相 对 面 上 的 点 数 分 别 为 1 和 6、 2 和 5、 3 和 4) 放置于水平桌面上,如图 6-1.在图 6-2 中,将骰子向右翻滚 90° ,然后在桌面上按逆时 针方向旋转 90° ,则完成一次变换.若骰子的初始位置为图 6-1 所示的状态,那么按上述 规则连续完成 10 次变换后,骰子朝上一面的点数是( )

向右翻滚 90°

逆时针旋转 90°

图 6-1

图 6-2

A.6

B.5

C.3

D.2

48


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